精品解析：天津市静海区第六中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测数学试卷

静海六中2025-2026学年度第一学期第二次质量检测 高二年级数学试卷 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分150分.考试时间120分钟. 十年寒窗苦读，理想即将实现.数学老师祝考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共45分） 一、选择题（本大题共9小题，共45分） 1. 已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 圆与圆的公切线的条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的离心率为，则（ ） A. 8 B. 2或8 C. 4或8 D. 8或12 8. 设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则下列正确的有（ ） ① ②椭圆离心率为 ③圆与圆相切 ④的最大值为4 A. ①③ B. ①②③ C. ③④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. 已知两条平行直线与间的距离为4，则的值为___________ 11. 求点关于直线的对称点_____. 12. 直三棱柱中，，分别是的中点，，则所成角的余弦值为___________ 13. 直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为_____. 14. 若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为_____. 15. 已知点为圆上一点，则的最大值为_____，求取值范围为_____. 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知圆经过点，，且圆心在上，圆. （1）求圆的标准方程 （2）判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知圆经过、、三点 （1）求圆的标准方程. （2）求点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程. 19. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为，直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的面积. 20. 已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． （1）求的方程； （2）设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海六中2025-2026学年度第一学期第二次质量检测 高二年级数学试卷 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分150分.考试时间120分钟. 十年寒窗苦读，理想即将实现.数学老师祝考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共45分） 一、选择题（本大题共9小题，共45分） 1. 已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据斜率和倾斜角的关系即 得到答案. 【详解】由直线的倾斜角与斜率的关系得， 所以直线 的斜率为 ； 故选：B. 2. 已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题与关于点对称问题直接求解. 【详解】设点关于平面对称的点为，易知两个点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标相反，故点； 设点关于点对称的点为，则点为线段的中点，故有：，解得，即. 故选：A. 3. 圆与圆的公切线的条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系即可得解. 【详解】两圆的圆心分别为，则两圆的圆心距， 又半径分别为，所以，则两圆外离，因此它们有4条公切线. 故选：D 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，属于基础题. 4. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入点坐标并结合二元二次方程为圆的条件即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 6. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线过定点坐标，记点，点，求出，即可得解. 【详解】直线，即， 令，解得，所以直线恒过点， 不妨记点，点， 又，， 当直线与垂直时点到直线的最大距离，最大距离为， 此时，解得，符合题意； 故选：B 7. 椭圆的离心率为，则（ ） A. 8 B. 2或8 C. 4或8 D. 8或12 【答案】B 【解析】 【分析】分焦点在轴与轴两种情况讨论，分别确定，，再由离心率公式得到方程，解得即可. 【详解】当焦点在轴时，，则，， 所以，解得. 当焦点在轴时，，则，， 所以，解得. 所以或, 故选：B． 8. 设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：利用椭圆焦点三角形的二级结论直接计算即可. 解法二：设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积. 【详解】解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式. 解法二：由椭圆方程可知：， 设， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 故选：C. 9. 已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则下列正确的有（ ） ① ②椭圆离心率为 ③圆与圆相切 ④的最大值为4 A. ①③ B. ①②③ C. ③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】设，联立与椭圆方程，求出，即可求出、从而求出，即可判断①②，求出圆心坐标与半径，即可求出圆心距，从而判断③，设点，其中，表示出，结合二次函数的性质求出，即可求出的最大值，即可判断④. 【详解】对于①：设，则由，解得，所以，解得， 所以，则椭圆， 由椭圆的定义，可得，故①正确； 对于②：椭圆离心率，故②错误； 对于③：圆的圆心为，半径， 圆，即，则圆心为，半径， 因为，所以两圆内切，故③正确； 对于④：设点，其中，则满足，可得， 则 ， 当时，取得最大值，且， 故，故④错误； 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. 已知两条平行直线与间的距离为4，则的值为___________ 【答案】-2 【解析】 【分析】由两平行线间的距离公式计算求解. 【详解】由已知得，所以，解得或， 又，所以. 故答案为：. 11. 求点关于直线的对称点_____. 【答案】 【解析】 【分析】设出对称点为，根据对称点求解的方法得到方程组，解出即可. 【详解】设对称点为，由题意可知， 解得，所以对称点为. 故答案为：. 12. 直三棱柱中，，分别是的中点，，则所成角的余弦值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【详解】依题意可知两两相互垂直， 由此建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则， 设与所成角为，则. 故答案为： 13. 直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为_____. 【答案】或或 【解析】 【分析】考虑直线过原点、不过原点且在两坐标轴上的截距相等、不过原点且截距相反三种情况即可. 【详解】①若直线过原点，则直线，即； ②若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，则可设直线，代入点，得，即，此时直线； ③若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相反，则可设直线，代入点，得，即，此时直线； 故答案为：或或. 14. 若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法得，再代入点坐标即可得答案. 【详解】易知，设椭圆中心为， 不妨设坐标分别为，则有： . 两式作差可得：， 的中点为， . 即， 解得. 故可设直线的点斜式：， 整理得直线的方程为：. 故答案为：. 15. 已知点为圆上一点，则的最大值为_____，求取值范围为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可求出圆心坐标与半径，记圆心为，又表示点到的距离的平方，求出，即可求出的最大值，令，再由圆心到直线的距离，求出的取值范围. 【详解】圆，即， 记圆心为，半径， 点为圆上的点，表示点到的距离的平方， 又，所以，所以的最大值为； 令，则，即， 又直线与圆：有公共点， 所以圆心到直线的距离， 整理得，解得，即取值范围为. 故答案为：；. 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知圆经过点，，且圆心在上，圆. （1）求圆的标准方程 （2）判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长. 【答案】（1） （2）两圆相交，公共弦所在直线方程为，公共弦长为. 【解析】 【分析】（1）运用圆心在弦的中垂线上，再求交点可得圆心，再由圆心及圆上一点确定半径，进而得到圆的方程； （2）运用圆心距和两个圆半径的关系，判定位置关系，将两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，再结合弦长公式计算公共弦长即可. 【小问1详解】 的中点坐标，且直线的斜率为， 故直线的垂直平分线的斜率为， 因此直线的垂直平分线的方程， 即，联立方程，解得，即圆心. 又， 故圆. 【小问2详解】 圆与圆的位置关系为相交. 由题可知，圆的圆心，. 故， 又， 故两圆的位置关系为相交. 设交点为， ，， 两圆方程作差得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为：. 又圆心到直线的距离为， 则公共弦长. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意， 设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 解得，即. 18. 已知圆经过、、三点 （1）求圆的标准方程. （2）求点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标得到方程组，求出、、，即可得解； （2）设中点为，圆上任一点，利用相关点法计算可得. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为，即； 【小问2详解】 设中点为，圆上任一点， 因为，所以 整理得 ， 代入圆的方程得，整理得， 所以中点的轨迹方程为； 19. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为，直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由轴上的焦点可确定，已知离心率可进一步确定，再由确定后即可确定椭圆方程； （2）可将的面积转化为两个等底三角形的面积之和，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出直线与椭圆的两个交点横坐标之差的绝对值作为高，再应用三角形面积公式，即可得解. 【小问1详解】 由题可知，又，故，又因为，可得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线与轴的交点为点， 则. 联立直线与椭圆，整理得. 得，则，则 =. 20. 已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． （1）求的方程； （2）设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义个焦半径公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分两种情况讨论，①直线与轴重合，求出的值；②直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求出的取值范围，综合可得答案. 【小问1详解】 因为是椭圆上任意一点，且的周长为，则，可得， 设点，则且，所以，， 易知，则 ， 所以，的最小值为，所以，，解得，则， 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 如下图所示： 若直线与轴重合时，此时，，则， 若直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以， . 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $