1.1 1.1.2 空间向量的数量积运算-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

1．1.2　空间向量的数量积运算　　► 对应学生用书P9 学习目标　1.理解空间两个向量夹角的定义，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律，会求空间向量的数量积，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点)　3.掌握投影向量的概念，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　4.能够运用空间向量的数量积解决夹角、距离、垂直问题，以提升逻辑思维、数学运算能力．(重点、难点) 　　在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，且任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量． 问题1　两个空间向量的夹角和数量积是否可以像平面向量那样来定义呢？ 提示：可以． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P6，分析一下：对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉有怎样的关系？ 提示：〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉． (2)请认真阅读教材P7，分析一下：对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？ 提示：不能．例如，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，·＝·＝0，但，不相等． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)向量与的夹角等于向量与的夹角．(　　 ) (2)若a·a＝|a|2，则|a|＝±.(　　 ) (3)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)× 　 空间向量的夹角与数量积的概念 　　　如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝F·s＝|F| |s|·cos θ. 为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引进了“数量积”的概念． 问题2　θ是哪两个量的夹角？ 提示：θ是力F与位移s的夹角． 问题3　任意两个向量的数量积是向量吗？两个向量的数量积一定是非负数吗？ 提示：不是向量，两个向量的数量积是实数，不一定是非负数． 一、空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π．特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 二、空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉. 温馨提示 两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或π时，a∥b(a，b为非零向量). 例1　(链接教材：人A版教材P8练习T1)如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，求向量分别与向量的夹角． 解：连接BD(图略)， 则在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，∠D′AC＝60°， 所以〈〉＝〈〉＝45°，〈〉＝180°－〈〉＝135°，〈〉＝∠D′AC＝60°，〈〉＝180°－〈〉＝180°－60°＝120°，〈〉＝〈〉＝90°. 类题通法 　 (1)求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错． (2)对空间任意两个非零向量a，b有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉； ②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉； ③〈－a，－b〉＝〈a，b〉. 【迁移运用】 1.(1)在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C.〈〉＝180°－〈〉＝180°－60°＝120°. (2)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇒/ 〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件． 　空间向量数量积的性质，运算律 　　　学校运动会上，小红和小明在玩一场特殊的“数学拔河比赛”．他们各自拉着一根绳子，但绳子的方向可以任意调整(模拟空间向量).裁判需要根据他们的拉力方向和大小计算谁的贡献更大，并判断他们是否在“合作”或“对抗”． 问题4　小红用向量a＝(3，0，4)的力拉绳子，小明用向量b＝(2，5，－1)的力拉绳子．如果交换两人的拉力顺序，总“合作效果”(数量积)会改变吗？ 提示：不会．a·b＝3×2＋0×5＋4×(－1)＝2，b·a＝2×3＋5×0＋(－1)×4＝2，数量积结果相同． 问题5　数量积的运算满足除法吗？数量积的运算满足结合律吗？ 提示：不满足除法，即对于向量a，b，若a·b＝k，不能得到a＝(或b＝).例如当非零向量a，b垂直时，a·b＝0，但a＝显然是没有意义的． 不满足结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c). 1．性质与运算律 性质 a⊥b⇔a·b＝0； a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2 运算律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； a·b＝b·a(交换律)； (a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) 2.重要结论 (1)|a|＝＝； (2)若a，b为非零向量，则cos 〈a，b〉＝； (3)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立). 温馨提示 (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π. (3)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即 角度一　 空间向量的数量积运算 例2　(链接教材：人A版教材P8练习T2)(多选)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，体对角线AC1和BD1相交于点O，则(　　 ) A．＝4 B． C．＝2 D．＝4 解析：选AC.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB⊥AD，AA1⊥AB，AA1⊥AD，且AA1＝AB＝AD＝2，所以·＝4，故A正确； ·＝4，故B错误； ·＝2，故C正确； ·＝－4，故D错误． 类题通法 　 求空间向量数量积的步骤 (1)将各个向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； (3)代入a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A．因为p⊥q且|p|＝|q|＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. (2)已知正四面体D­ABC的各棱长为1，点E是AB的中点，则的值为(　　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.如图所示，正四面体D­ABC的棱长是1，E是AB的中点． 所以＝·×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＝. 角度二　 空间向量数量积求角度和距离 例3　(1)(链接教材：人A版教材P9练习T3)已知在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　 ) A．6 B． C．3 D． 解析：选B．设＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 因此a·b＝b·c＝c·a＝. 由＝a＋b＋c， 得2＝＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6，所以＝. (2)已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________． 解析：由已知得， 因此＝＝， ＝. 又因为·×2－2＝－2， 所以cos 〈〉＝， 故异面直线OE与BF所成角的余弦值为－. 答案：－ 类题通法 1．用数量积求两点间距离的步骤 (1)将两点确定的线段用向量表示； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a·a＝|a|2，求|a|. 2．利用数量积求异面直线所成角的方法步骤 (1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量； (2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题； (3)利用数量积求角的大小. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.(1)已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a－b＋2c|等于(　　 ) A．5 B．6 C． D． 解析：选C.由题意，得a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1，所以|a－b＋2c|＝ ＝ ＝＝. (2)如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离． 解：＝＋]＝， 所以＝2. 所以＝，即E，F间的距离为. (3)如图，已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，四边形ABB1A1和BB1C1C都是正方形，若AB＝a， ①求向量与所成的角； ②求异面直线BA1与AC所成的角． 解：因为， 所以＝·＝. 因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 所以＝0且＝－a2，所以＝－a2. 又＝〉，所以cos 〈〉＝. ①因为〈〉∈[0，π]，所以〈〉＝120°，即向量与所成的角为120°. ②因为异面直线所成的角是锐角或直角， 所以异面直线BA1与AC所成的角为60°. 角度三　用数量积证明空间垂直关系 例4　如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD. (1)求证：CC1⊥BD； (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明． 解：(1)证明：设＝c. 依题意有|a|＝＝a－b. 设的两两夹角均为θ， 于是＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c||a|·cos θ－|c||b|cos θ＝0， ∴CC1⊥BD. (2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥BD，A1C⊥DC1. 由＝· ＝(a＋b＋c)·(a－c) ＝ ＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ ＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0， 得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|＝|b|时，A1C⊥BD. ∴当＝1时，A1C⊥平面C1BD. 类题通法 用数量积证明两直线垂直的关注点 (1) 关键：取两直线的方向向量，将其用一组容易求数量积的不共面向量线性表示； (2)方法：证两直线方向向量的数量积为0. 【迁移运用】 4.如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC. 证明：因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB. 又·＝＝·cos ∠AOB＝0， 所以⊥，即OA⊥BC. 　投影向量 在测量树的高度时，我们常利用阳光下的影子测量其高度，如图所示． 问题6　如何求在上的投影向量？ 提示：根据平面数量积的几何意义，在上的投影向量为. 问题7　平面向量数量积的投影定义，在空间中还成立吗？ 提示：根据空间向量数量积公式可知，依然成立． 1．向量a在向量b上的投影向量：将向量a，b平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 2．向量a在平面β上的投影向量：分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 例5　(1)已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为(　　 ) A．2 B．－2 C．－ D． 解析：选B.由题意，|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e方向上的投影为＝＝4×(－)＝－2. (2)在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则在上的投影向量为(　　 ) A. B． C． D． 解析：选B.在四面体中，因为∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD， 设AC＝2，BD＝1，且， 则＝·＝2， 在上的投影向量为. 名师点睛　 根据投影向量的定义可得|a|cos 〈a，b〉＝，此结论可用于求解空间中的距离问题. 　 【迁移运用】 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量在向量上的投影向量是______，向量在平面BDD1B1上的投影向量是______． 解析：设B1D1∩A1C1＝O1，如图，由正方体的性质得AB∥A1B1，AB＝A1B1，B1O1⊥A1C1， 向量在向量上的投影向量是. 如图，连接AC，交BD于点O，易知AC⊥BD，线面垂直性质有AC⊥， 由BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，则AC⊥平面BDD1B1， 所以在平面BDD1B1上的投影向量就是，易知. 答案： 1．(多选)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　 ) A．与 B．与 C．与 D．与 解析：选AD.选项A，D中的向量的夹角为45°，选项B，C中的向量的夹角为135°. 2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈〉的值为(　　 ) A． B． C．－ D．0 解析：选D.·＝＝cos ∠AOB＝＝0， 所以⊥，所以cos 〈〉＝0. 3．已知|a|＝1，且a－b与a垂直，a与b的夹角为45°，则|b|＝________． 解析：∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0， ∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos 〈a，b〉＝0. ∴1－|b|×＝0，解得|b|＝. 答案： 4．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，＝________． 解析：方法一　连接A1D，PD(图略)， 则∠PA1D就是与所成的角， 在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝， 即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°， 即与所成角的大小为60°， 因此×cos 60°＝1. 方法二　根据向量的线性运算可得＝·＝1. 由题意可得PA1＝B1C＝， 则×cos 〈〉＝1， 从而〈〉＝60°. 答案：60°　1 学科网（北京）股份有限公司 $