1.1 1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第2课时　共线向量与共面向量　　　► 对应学生用书P5 学习目标　1.掌握共线向量定理，会证明空间三点共线，以培养数学抽象、逻辑推理能力．(重点)　2. 掌握共面向量定理，会证明空间四点共面，以提升数学抽象、逻辑推理能力．(重点、难点) 　 共线向量 如图，在同一个平面内的三个非零向量a，b，c是一组共线向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出＝a，＝b，＝c，则向量b，c都可以平移到直线l上．这说明同一平面内，一组共线向量的有向线段所在的直线互相平行或重合． 问题1　平面向量共线的充要条件是什么？你能类比得出空间向量共线的充要条件吗？ 提示：对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 1．定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 2．两个空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 3．直线l的方向向量 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 温馨提示 (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上. 例1　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 解：方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴.① 又∵，② ①＋②得2， ∴∥，即与共线． 方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴－＝＝＝. ∴∥，即与共线. 类题通法 1．判断向量a，b共线的方法 (1)定义法，即证明a，b所在直线平行或重合． (2)利用“a＝λb⇒a∥b”判断． 2．证明空间三点P，A，B共线的思路 (1)． (2) (3) 　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.(1)已知A，B，P三点共线，O为直线外空间任意一点，若，求证：α＋β＝1. 证明：由A，B，P三点共线，得， 即＝t，整理得＝(1－t). 又因为， 所以α＝1－t，β＝t，所以α＋β＝1. (2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且.求证：∥. 证明：因为E，H分别是边AB，AD的中点， 所以， 则＝＝＝，所以∥. 　空间向量的共面问题 问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 提示：不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面． 问题3　对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb? 提示：共面；共面． 1．共面向量定义：平行于同一个平面的向量． 2．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 角度一　 共面的判断 例2　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝AE.求证：向量共面． 证明：因为M在BD上，且BM＝BD， 所以. 同理. 所以. 又与不共线， 根据向量共面的充要条件可知共面． 类题通法 1. 证明三个向量共面，就是证明其中一个向量由另外两个向量 的线性运算得出． 2.证明四点P，M，A，B共面的等价结论 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面． 证明：设＝c，则＝b－a， 因为M为DD1的中点，所以， 又因为AN∶NC＝2， 所以(b＋c)， 所以(b＋c)－a＝(b－a)＋＝， 所以为共面向量． 又因为三个向量有相同的起点A1， 所以A1，B，N，M四点共面． 角度二　由共面求参数 例3　平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足，则x＋3y等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.由点A，B，C，D共面得x＋y＝，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，联立方程组解得x＝，y＝，所以x＋3y＝. 类题通法 若已知点P在平面ABC内，则有，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1. 证明：①充分性： ∵可变形为＝(1－y－z)， ∴＝y＋z， ∴， ∴点P与A，B，C共面． ②必要性： ∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C， ∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n， ∴＝(1－m－n)， ∵，点O在平面ABC外， ∴不共面， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n， ∴x＋y＋z＝1. 1．下列命题中正确的是(　　 ) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量与满足＝0，则∥ D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 解析：选C.A中，若b＝0，则a与c不一定共线，故A错误； B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故B错误； C中，∵＝0，∴，∴与共线，故∥，故C正确； D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb，故D错误． 2．(易错题)对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　 ) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析：选A．由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量． 3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x的值为(　　 ) A．1 B．0 C．3 D． 解析：选D.∵，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＝1，∴x＝. 4．设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________． 解析：因为＝a－2b， 所以＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b， 因为A，B，D三点共线， 所以存在实数λ，使得即9a＋mb＝λ(－3a＋b)． 因为a与b不共线，所以解得m＝λ＝－3. 答案：－3 空间中P，A，B，C四点共面的充要条件 (链接教材P4“探究”栏目) (1)存在有序实数对(x，y)，使(A，B，C三点不共线)或对空间任意一点O，有(A，B，C三点不共线)． (2)对空间任意一点O(O∉平面ABC)，存在有序实数组(x，y，z)，使(A，B，C三点不共线)，其中x＋y＋z=1. 注意：若O∈平面ABC，则必要性不成立．例如，在平行四边形OABC中，，若，则P，A，B，C四点共面，但不满足x＋y＋z=1. 学科网（北京）股份有限公司 $