1.1 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第 口章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 第1课时空间向量及其线性运算 ·对应学生用书P 学习目标1经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量 及相关的概念，以培养数学抽象、直观想象能力.（重点）2.经历由平面 向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性 运算及其运算律，以提升数学抽象、数学运算能力.（重点、难点） 预思启慧自检明真 自主学习·新知感悟 你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞 行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风 力、重力等 问题1在滑翔过程中，飞行员受到来自不同方向、大小各 异的力，这些力在同一平面内吗？ 提示：不在 问题2我们知道，力是既有大小又有方向的量，在数学上，我们把 这些力称为什么？ 提示：向量 【自主评测】 1.教材挖掘：(1)请认真阅读教材P2~3,说一说“相等向量的起点 与终点是否相同”. 提示：两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、 终点未必相同， (2)请认真阅读教材P3~5,空间中的任意两个向量是否共面？为什 么？ 提示：共面，因为任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成 为同一平面内的两个向量· 2.判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打 “X”. (1)零向量没有方向.() (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量.() (3)空间向量的数乘运算中，1只决定向量的大小，不决定向量的方 向.（) 提示：(1)×(2)×(3)× 破壁生光蓄力冲前 合作探究·思维进阶 「探究任务一 空间向量的有关概念 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后 乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游 AD 玩，最后登上了东方明珠电视塔顶端(D)俯瞰上海美丽 的夜景.这个过程可以用平面向量来表示 问题3这位游客实际发生的位移是什么？如何表示呢？ 提示：他实际发生的位移是OD,可以用空间向量OD=OA十AB十BD 来表示 问题4平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念 吗？ 提示：平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，空间向量是平面 向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致， 知识梳理 1.定义 在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量. 2.长度或模 空间向量的大小 3.表示方法 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示. (2)字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量a的起点是A,终 点是B,也可记作AB,其模记为a或ABl: 4.几类特殊向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 Q 单位向量 任意 a的相反向量：一4 相反向量 相反 相等 AB的相反向量：BA 相等向量 相同 相等 a-b 誉温馨提示 典例研析 例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是( A.单位向量都相等 B.若a=b1,则a,b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量AB,CD满足AB>CD,则AB>CD D.相等向量其方向必相同 解析：选D.A中，单位向量长度相等，方向不确定；B中，@=b1只 能说明，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小. (2(多选)下列命题为真命题的是() A.若空间向量a,b满足a=b1,则a=b B.在正方体ABCDA1B1CD1中，必有AC=A1C1 C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.空间中，若a∥b,b∥c,则a∥c 解析：选BC.A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不 仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量与b的方向不一定相同； B为真命题，AC与AIC1的方向相同，模也相等，故AC=A1C1; C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b=0时，与c不一定 平行. 空间向量有关概念问题的关注点，(1)关键点：向量的两个要素，即大 小和方向.，(2)注意点：特殊向量的特性.，①零向量：与任意向量都共 线；，②单位向量：长度都是1，方向不一定相同；，③相反向量：方向相 反，模相等.)类题通法 【迁移运用】1. 如图所示，在平行六面体ABCDA'B'CD中，顶点连接的向量中，与 向量AA'相等的向量有 ;与向量A'B相反的向量 有 ·(要求写出所有适合条件的向量) 答案：BB,CC,DD'B'A',BA,CD,CD 「探究任务二」空间向量的线性运算 问题5空间中的向量如何进行线性运算？能用平面向量的线性运算 法则进行计算吗？ 提示：能，因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意 两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起，点重合.因为两条相交直 线确定一个平面，所以平移后的向量是在同一个平面内的，接着就可以利 用平面向量的运算法则来进行线性运算 问题6平面向量所满足的运算律（结合律、交换律和分配律）在空间 中是否也满足？ 提示：满足 知识梳理 加法 a+b=0A+AB-OB 减法 a-b=0A-OC=CA 当>0时， la=OA-PO: 0 M A 数乘 当<0时， Aa(λ>0) λa(A<0) 0 a=1OA=MN; 当1=0时，1a=0 交换律：a+b=b+a; 运算律 结合律：(a十b)+e=a+(b+c),ua)=(o)a: 分配律：(+0)a=a+ua,(a+b)=a十b 脊温馨提示 典例研析 角度一空间向量的线性运算 例2(1)（多选）已知m,n是实数，a,b是空间任意向量，下列命题 正确的是() A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 解析：选AB.m(a-b)=ma一mb,A对；(m-n)a=ma一na,B对；若 m=0,则a,b不一定相等，C错；若a=0,则m,n不一定相等，D错. (2)(一题多解)化简(AB-CD)-(AC-BD)= [思路点拨] 构想 转化 反思 转化为 AB-CD-AC+BD=AB 加法运算 十DC+CA+BD 是如何使用向量加减法 转化为 (AB-CD)-(AC-BD)= 运算法则的？ 减法运算 (AB-AC)+(BD-CD) 解析：法一（转化为加法运算）(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC +BD=AB+DC+CA+BD=AB+BD+DC+CA=0. 法二（转化为减法运算）(AB-CD)-(AC-BD)=(AB-AC+(BD CD)=CB+BC=0. 答案：0 空间向量线性运算的技巧，(1)数形结合：要结合具体图形，利用三角 形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.，(2)巧用相反向 量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用 相反向量可使向量首尾相接.，(3)巧用平移：运算时，务必注意和向量、 差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.) 膏类题通法 【迁移运用】2.如图，在正方体ABCDA B1CD,中. (1)化简：AB+CCI+BIDI; (2)若AA1+x十BC+C1D+D1A1=0,则x可以是图 中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个） (1)AB+CCI+BIDI=AB+BB1+BIDI=ABI+BIDI=ADI. (2)因为BC=B1C1,D1A1=DA, AAI+x+BC+CID+DIAI=AAI+x+BICI+CID+DA-0, 所以AA1+x+B1A=0, 所以x=A1B1. 又因为A1B1=AB=DC=D1CI, 所以x可以是AIB1,AB,DC,D1CI中的任一个. 角度二空间向量线性运算的应用 例3（链接教材：人A版教材P5练习T3)如图所示，在平行 A B 六面体ABCDA1B1CD1中，设AA1=a,AB=b,AD= c,M,N,P分别是AA1,BC,CD1的中点，试用a,b,c表示 M D 以下各向量： ①AP;②AIN;③MP. 解：①P是CD1的中点，.AP=AA1+AID1+D1P=a+AD十 DICI=a+c+AB=a+b+c. ②.N是BC的中点，∴.AIN=AIA+AB+BN=-a+b+BC=-a+b +AD=-a+b+c. ③.M是AA1的中点，.MP=MA+AP=A1A+AP=-a+=M+b+c. 【迁移运用】3.如图，已知正四棱锥PABCD 中，点O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点. (I)若OQ=PQ+xPC+yPA,求x,y的值； A (2)若PA=mPO+nPQ+PD,求m,n的值， 解：(1)因为OQ=PQ-PO=PQ-(PA+PC)=P2 一PA-PC,所以x=y=一· (2)因为O为AC中点，Q为CD中点， 所以PA+PC=2PO,PC+PD=2PQ, 所以PA=2PO-PC,PC=2PQ-PD, 所以PA=2PO-2PQ+PD, 所以m=2,n=-2. 知行合一行稳致远 学以致用·课堂评价 1.(多选)下列命题中，真命题是() A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 解析：选ABC.容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或 相反向量 2.化简PM-PN+MN所得的结果是() A.PM B.NP C.0 D.MN 解析：选C.PM-PN+M=NM+M=NM-NM=0. 3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点，且AO+OB=DO+OC,则四 边形ABCD是( ) A.平行四边形B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 解析：选A.,AO+OB=DO+OC，,.AB=DC,∴.AB‖DC且AB= DC,∴四边形ABCD为平行四边形. 4.设A,B,C,D为空间任意四点，则AC-BC+BD= 解析：AC-BC+BD=AC+CB+BD=AD】 答案：AD ◆教材深度学习 空间向量加法运算的推广一多边形法则 (链接教材P3“探究”栏目) (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的 终点的向量，即A1A2十A2A3十A3A4+…+An-1Am=A1An.因此，求空间若 干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量. (2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即A1A2+A2A3+A3A4+…+AnA1=0. An-