2.3 2.3.1　两条直线的交点坐标-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点坐标与位置关系判断”，通过具体方程组实例导入，衔接平面几何定性研究与代数定量分析，自主学习设提示与评测，搭建从方程求解到几何意义理解的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，结合数学运算（如解方程组求交点）、逻辑推理（通过系数关系判断位置关系）培养核心素养，典例链接教材且一题多解，课后分层练覆盖基础到创新。PPT可编辑方便教师个性化教学，助力学生提升运算与推理能力，提高课堂效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第二章 直线和圆的方程 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3．1　两条直线的交点坐标 学习目标　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，以培养数学运算能力．(重点)　2.会根据直线方程判定两条直线的位置关系，以提升逻辑推理、数学运算能力．(重点) 在平面几何中，我们对直线作了定性研究．引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一个点的坐标所满足的一个关系式．这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等． 问题1　已知 l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0，请求解此方程组，并思考方程组的解相当于什么． 提示：解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，)) 所以它们可以抽象成直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1). 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P70，分析思考： 若直线l1：a1x＋b1y＋2＝0和直线l2：a2x＋b2y＋2＝0的交点是P(3，4)，则点P在l1，l2上吗？由此能求出过A(a1，b1)，B(a2，b2)两点的直线的方程吗？ 提示：点P在l1，l2上，由已知得3a1＋4b1＋2＝0且3a2＋4b2＋2＝0，所以A，B都在直线3x＋4y＋2＝0上，所以过点A，B两点的直线的方程是3x＋4y＋2＝0. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)由两条直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　 ) (2)若两条直线的斜率不相等，则两直线一定相交．(　　 ) (3)两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0.(　　 ) (4)方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，表示经过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的所有直线．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　求相交直线的交点坐标 问题2　关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＋c1＝0，,a2x＋b2y＋c2＝0))的解如何求？ 提示：加减消元法或代入消元法． 问题3　已知两条直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示：直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上，满足直线l1的方程3x＋4y－2＝0，也满足直线l2的方程2x＋y＋2＝0， 即交点坐标是方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0))的解． 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标是方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解． eq \x(,(1)解方程组时需注意消元法的使用，可用加减消元或代入消元．,(2)图象可以大致判断交点位置，解方程组更为准确．) 温馨提示 (1)解方程组时需注意消元法的使用，可用加减消元或代入消元． (2)图象可以大致判断交点位置，解方程组更为准确. 例1　(链接教材：人A版教材P71例2)求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 解：由方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即l1与l2的交点坐标为(－2，2). ∵直线l也过坐标原点，∴其斜率k＝ eq \f(2,－2)＝－1.故直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0. eq \x(,(1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系．,(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必须满足其他直线．) 类题通法 　 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． (2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必须满足其他直线. 【迁移运用】 1.(1)当0<k< eq \f(1,2)时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点在(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B．由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kx－y－k＋1＝0，,ky－x－2k＝0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1)．)) 当0<k< eq \f(1,2)时，∵ eq \f(k,k－1)<0， eq \f(2k－1,k－1)>0，∴交点在第二象限． (2)(一题多解)若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为(　　 ) A．－24 B．6 C．±6 D．24 解析：选C．法一　联立方程得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y－k＝0，,x－ky＋12＝0，)) 消去y得x＝ eq \f(k2－36,3＋2k) (k≠－). 由题意知 eq \f(k2－36,3＋2k)＝0，解得k＝±6. 法二　显然k≠0，在2x＋3y－k＝0中， 令x＝0，得y＝ eq \f(k,3)， 在x－ky＋12＝0中，令x＝0，得y＝ eq \f(12,k)， 由题意可得 eq \f(12,k)＝ eq \f(k,3)，解得k＝±6. 　利用直线的交点判断两直线的位置关系 问题4　设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，① l2：A2x＋B2y＋C2＝0.② 由①×B2－②×B1，得(A1B2－A2B1)x＝－(C1B2－C2B1).③ 当A1B2－A2B1≠0时，方程③的解为x＝－ eq \f(C1B2－C2B1,A1B2－A2B1)，l1与l2相交，还有其他情况吗？ 提示：当A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0时，方程③无解，l1∥l2； 当A1B2－A2B1＝C1B2－C2B1＝0时，方程③有无数个解，l1与l2重合． 相交 平行 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A eq \o\al(2,1)＋B eq \o\al(2,1)≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A eq \o\al(2,2)＋B eq \o\al(2,2)≠0)： 方程组的解 一组 无数组 直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个 直线l1与l2的位置关系 重合 无解 无数个 例2　(链接教材：人A版教材P72练习T1)判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标． (1)l1：3x－y＋4＝0，l2：x＋3y＋2＝0； (2)l1：3x－5y＋10＝0，l2：9x－15y＋30＝0. 解：(1)解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＋4＝0，,x＋3y＋2＝0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(7,5)，,y＝－\f(1,5)．)) 所以这两条直线相交，交点坐标是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)，－\f(1,5))). (2)由9x－15y＋30＝0能化为方程3x－5y＋10＝0可知， 方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－5y＋10＝0，,9x－15y＋30＝0))有无数组解，所以这两条直线重合． eq \x(,1.判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．,\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.,2.虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．) 类题通法 1．判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 2．虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. 【迁移运用】 2.已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________． 解析：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝2a＋1，,2x＋3y＝a))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(2a＋3,7)，,y＝\f(a－2,7)，)) 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2a＋3,7)>0，,\f(a－2,7)<0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>－\f(3,2)，,a<2.))所以－ eq \f(3,2)<a<2. 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2)) 　直线系过定点问题 问题5　在直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，如果k为变量，则该直线恒过定点吗？ 提示：恒过点(x0，y0). 问题6　 方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0代表直线吗？它有什么特征？ 提示：化成(A1＋λA2)x＋(B1＋λB2)y＋(C1＋λC2)＝0，即为直线方程；表示恒过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点． Bx－Ay＋λ＝0 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为 (λ≠C). 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为 ． 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). eq \x(,一般情况下，若直线方程中含有一个参数，则该直线过定点．) 温馨提示 一般情况下，若直线方程中含有一个参数，则该直线过定点. Ax＋By＋λ＝0 角度一　定点的求解 例3　求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点． 证明：法一　取m＝1时，直线方程为y＝－4； 取m＝ eq \f(1,2)时，直线方程为x＝9. 两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程，左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5＝右边． 故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4). 法二　原方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意m都成立， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,x＋y－5＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4，)) 所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4). 类题通法 解含参数的直线恒过定点问题的策略一 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0). 【迁移运用】 3.若a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0，求证：直线ax＋by＋c＝0必过一个定点． 证明：因为a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0， 不妨设b≠0，则a＝－(b＋c). 代入直线方程ax＋by＋c＝0，得－(b＋c)x＋by＋c＝0，即(x－y)＋ eq \f(c,b)(x－1)＝0， 此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程(不包括直线x－1＝0). 解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x－y＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，)) 即两条直线的交点的坐标为(1，1). 故直线ax＋by＋c＝0必过定点(1，1). 例4　(链接教材：人A版教材P72练习T3)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 解：法一　由方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2). 设l：4x＋3y＋c＝0，将(0，2)代入得c＝－6，∴l：4x＋3y－6＝0. 法二　设l：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0　*， ∵l3的斜率为 eq \f(3,4)，∴－ eq \f(1＋λ,λ－2)＝－ eq \f(4,3)，得λ＝11，代入*中，整理得4x＋3y－6＝0. 类题通法 解含参数的直线恒过定点问题的策略二 含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得． 若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0). 【迁移运用】 4.求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标． 解：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0. 由于m取值的任意性，所以有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，,－x＋3y＋11＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3.)) 所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　 ) A．(3，2) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 解析：选B．解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.)) 2．直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的位置关系(　　 ) A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 解析：选A．由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))此方程组有唯一解，又因为3×2＋4×1≠0，所以两直线不垂直． 3．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　 ) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3，1) D．(－2，1) 解析：选C．直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0， 令 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1＝0，,－x－3y＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1，)) ∴直线l恒过定点(－3，1). 4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________． 解析：法一　由方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＋4＝0，,x＋y－4＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4，)) ∴交点坐标为(0，4)， 即y－4＝－2x，∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 法二　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴k＝ eq \f(3＋λ,1－λ)＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 答案：2x＋y－4＝0 直线系方程 (链接教材P67“习题2.2T11结论”栏目) 具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程，其特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定系数(也称参变量). 名师点拨 (1)已知直线的纵截距b，常设该直线的方程为y＝kx＋b(不适用于斜率不存在的直线)； (2)已知直线的横截距a，常设该直线的方程为x＝ky＋a(不适用于斜率为0的直线)； (3)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋m＝0(其中m为参数且m≠C)； (4)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋m＝0(其中m为参数)； (5)设点P0(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，则这条直线的方程还可以写成A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 因此有如下结论：①过点P(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0； ②过点P(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0. 其中点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上． 对于选择题、填空题，利用上述结论非常简便． 【基础巩固】 1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　 ) A．(－4，－3) B．(4，3) C．(－4，3) D．(3，4) 解析：选C．由方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y＋6＝0，,2x＋5y－7＝0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3.)) 2．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　 ) A．12 B．10 C．－8 D．－6 解析：选B．将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 3．(多选)下列选项中，正确的有(　　 ) A．直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1，3) B．直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2，1) C．直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3交点坐标为(－2，2) D．直线l1：x－2y＋1＝0和l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 解析：选AD．方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x＋y－5＝0))的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1，3)，A正确； 方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,2x－4y＋8＝0))有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误； 方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋2＝0，,2x＋y－3＝0))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误； 方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y＝x))的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.)) 方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x，,2x＋y－3＝0))的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.)) 方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,2x＋y－3＝0))的解也为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.)) 所以三条直线两两相交且交于同一点(1，1)，D正确． 4．(易错题)直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为(　　 ) A．－1或2 B．0或3 C．－1或0 D．－1或3 解析：选C．两直线无公共点，即两直线平行． 当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点． 当a≠0时， eq \f(a－2,1)＝ eq \f(3a,a2)≠ eq \f(2a,6)，解得a＝－1. 综上，a＝0或a＝－1. 5．△ABC的三个顶点分别为A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于(　　 ) A． eq \r(3) B．1＋ eq \f(\r(2),2) C．1＋ eq \f(\r(3),3) D．2－ eq \f(\r(2),2) 解析：选A．lAC： eq \f(x,2)＋ eq \f(y,3)＝1，即3x＋2y－6＝0. 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6＝0，,x＝a))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝\f(6－3a,2)，)) 因为S△ABC＝ eq \f(9,2)， 所以 eq \f(1,2)×a×(3－ eq \f(6－3a,2))＝ eq \f(9,4)， 得a＝ eq \r(3)或a＝－ eq \r(3)(舍去). 6．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝________． 解析：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点(1，m)在直线上，所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2. 答案：－2 7．已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝________；若曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________． 解析：因为l1∥l2，所以k2－1＝0，即k＝±1，经检验k＝1. y＝|x|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，)) 直线l1化为y＝－kx＋1，恒过(0，1)，画出函数图象，如图，因为曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点， 所以－k＝0或0<－k<1或－1<－k<0， 即－1<k<1. 答案：1　(－1，1) 8．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________． 解析：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y＋6＝0，,2x＋5y－7＝0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3，)) ①若所求直线在两坐标轴上的截距都为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－4，3)，得k＝－ eq \f(3,4)，∴3x＋4y＝0； ②若所求直线在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,a)＝1. 代入(－4，3)，得a＝－1. ∴x＋y＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 答案：x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 9．求经过直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点M，且满足下列条件的直线方程： (1)与直线2x＋y＋5＝0平行； (2)与直线2x＋y＋5＝0垂直． 解：法一　由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，,2x－3y＋8＝0))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，)) 所以交点M的坐标为(－1，2). (1)斜率k＝－2，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0. (2)斜率k＝ eq \f(1,2)，由点斜式得所求直线方程为y－2＝ eq \f(1,2)(x＋1)， 即x－2y＋5＝0. 法二　设直线方程为(3x＋4y－5)＋λ(2x－3y＋8)＝0， 即(3＋2λ)x＋(4－3λ)y＋(－5＋8λ)＝0.(*) (1)因为与直线2x＋y＋5＝0平行， 所以(3＋2λ)×1－(4－3λ)×2＝0，解得λ＝ eq \f(5,8). 经检验λ＝ eq \f(5,8)符合题意． 代入(*)式化简得2x＋y＝0. (2)因为与直线2x＋y＋5＝0垂直， 所以2×(3＋2λ)＋1×(4－3λ)＝0，解得λ＝－10. 代入(*)式化简得x－2y＋5＝0. 【综合运用】 10．已知a，b满足2a＋b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(　　 ) A．(－ eq \f(1,3)，2) B．( eq \f(1,6)， eq \f(1,2)) C．( eq \f(1,2)， eq \f(1,6)) D．(2，－ eq \f(1,3)) 解析：选D．由2a＋b＝1，得b＝1－2a， 代入直线方程ax＋3y＋b＝0中，得ax＋3y＋1－2a＝0，即a(x－2)＋3y＋1＝0， 令 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,3y＋1＝0，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－\f(1,3)，)) 所以该直线必过定点(2，－ eq \f(1,3)). 11．若直线l：y＝kx－ eq \r(3)与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　 ) A．{θ|0°<θ<60°} B．{θ|30°<θ<60°} C．{θ|30°<θ<90°} D．{θ|60°<θ<90°} 解析：选C．由题可知k≠－1， 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－\r(3)，,x＋y－3＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(3＋\r(3),1＋k)，,y＝\f(3k－\r(3),1＋k)，)) ∴两直线的交点坐标为( eq \f(3＋\r(3),1＋k)， eq \f(3k－\r(3),1＋k)). ∵两直线的交点在第一象限， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),1＋k)>0，,\f(3k－\r(3),1＋k)>0，))解得k> eq \f(\r(3),3). 又直线l的倾斜角为θ，则tan θ> eq \f(\r(3),3)， ∴30°<θ<90°. 12．(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值可以为(　　 ) A．－ eq \f(4,3) B．－ eq \f(2,3) C． eq \f(2,3) D．2 解析：选ABC．设三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0分别为l1，l2，l3，斜率分别为k1，k2，k3，且k1＝ eq \f(2,3)，k2＝－ eq \f(4,3)，k3＝m， 当l3∥l1时，k3＝k1即m＝ eq \f(2,3)，l1，l2，l3不能构成三角形； 当l3∥l2时，k3＝k2即m＝－ eq \f(4,3)，l1，l2，l3不能构成三角形； 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,4x＋3y＋5＝0))可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(1,3)，)) 所以直线l1，l2的交点为(－1，－ eq \f(1,3))， 当直线l3过直线l1，l2的交点(－1，－ eq \f(1,3))时，l1，l2，l3不能构成三角形， 此时－m＋ eq \f(1,3)－1＝0，可得m＝－ eq \f(2,3)， 综上所述，实数m的取值集合为{－ eq \f(4,3)，－ eq \f(2,3)， eq \f(2,3)}． 13．(2025·湖南长沙期末模拟)设直线l1：x＝0，l2：3x－4y＝0，点A的坐标为(1，1)，过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N(M，N的纵坐标均为正数). (1)点A是M，N中点，求斜率k； (2)求△MON(O为坐标原点)面积的最小值． 解：(1)由题意可得直线l的方程为y－1＝k(x－1)，如图所示， 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1＝k(x－1)，,x＝0，))解得M(0，1－k)， 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1＝k(x－1)，,3x－4y＝0，)) 解得N( eq \f(4(k－1),4k－3)， eq \f(3(k－1),4k－3))， 又点A是M，N中点，可得 eq \f(4(k－1),4k－3)＋0＝2，且 eq \f(3(k－1),4k－3)＋1－k＝2， 解得k＝ eq \f(1,2). (2)因为M，N的纵坐标均为正数， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－k>0，,\f(3(k－1),4k－3)>0，))解得k< eq \f(3,4)， 易知△MON的面积为S＝ eq \f(1,2)|OM||xN|＝ eq \f(1,2)×|1－k|×| eq \f(4(k－1),4k－3)|＝ eq \f(2(k－1)2,3－4k)， 令3－4k＝t，则t>0， 因此S＝ eq \f(2(\f(3－t,4)－1)2,t)＝ eq \f((1＋t)2,8t)＝ eq \f(1,8)(t＋ eq \f(1,t)＋2)≥ eq \f(1,8)(2 eq \r(t·\f(1,t))＋2)＝ eq \f(1,2)， 当且仅当t＝ eq \f(1,t)时，即t＝1时，等号成立，此时k＝ eq \f(1,2)， 所以S的最小值为 eq \f(1,2)，即△MON的面积的最小值为 eq \f(1,2). 14．(2025·湖北武汉高二期末模拟)已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的k值． 解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝ eq \f(1,2)×(2k2＋2－2)×4＋(4－k＋4)×2× eq \f(1,2)＝4k2－k＋8(0＜k＜4)，故四边形面积最小时，k＝ eq \f(1,8). 【创新探索】 15．如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 解：设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为， 由条件得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x0－5y0＋8＝0，,\f(x0－8,2)＋\f(2(y0＋2),2)－5＝0，)) 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x0－5y0＋8＝0，,x0＋2y0－14＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝6，,y0＝4，))即B(6，4). 同理可求得C点的坐标为(5，0). 故所求直线BC的方程为 eq \f(y－0,4－0)＝ eq \f(x－5,6－5)，即4x－y－20＝0. $