2.1 2.1.1　倾斜角与斜率-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“直线和圆的方程”，通过自主学习模块中的坐标系标注（原点O、点P1(x1,y1)等）及Δx、Δy变化量分析，衔接平面直角坐标系旧知，搭建从具体点坐标到直线变化关系的学习支架。 其特色是以合作探究驱动学习，如通过“前进量与升高量”任务培养数学思维，结合知识梳理、典例研析强化数学语言表达，图像标注（如坐标轴刻度、直线l1/l2/l3）发展数学眼光。分层练习设计让学生提升推理与应用能力，教师可借结构化模块高效教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 第二章 直线和圆的方程 2 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1．1　倾斜角与斜率 学习目标　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，以提升数学抽象能力．(重点)　3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，以提升数学抽象、数学运算能力(难点)． 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝ eq \f(上升高度,水平距离)＝ eq \f(DB,AD).若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小． 问题1　“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 提示：坡度＝ eq \f(铅直高度,水平宽度)，实际就是坡角的正切值，利用坡度的大小来刻画道路的倾斜程度． 问题2　在平面直角坐标系下，如何刻画直线的倾斜程度？ 提示：如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1，则在直线l上点P1平移到点P2，相当于在横轴上改变了Δx，即横坐标的改变量为Δx，在纵轴上改变了Δy，即纵坐标的改变量为Δy.因此，比值k＝ eq \f(Δy,Δx)反映了直线l的倾斜程度． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P51，分析思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的． 提示：可以． (2)请认真阅读教材P52～53，分析思考：直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？ 提示：不是，如60°<120°，但斜率分别为 eq \r(3)和－ eq \r(3)，而 eq \r(3)>－ eq \r(3).应分区间说明，当α∈[0°，90°)和α∈(90°，180°)时，上述结论在这两个区间分别成立． (3)请认真阅读教材P54，分析思考：若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量可以是(1，k)吗？ 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)任何一条直线都有倾斜角与斜率．(　　 ) (2)当直线的斜率为负值时其倾斜角为钝角．(　　 ) (3)利用过两点的直线的斜率公式可以求任意一条直线的斜率．(　　 ) (4)与y轴垂直的直线的斜率不存在，与x轴垂直的直线的斜率为0.(　　 ) 提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 　直线的倾斜角 我们发现，在图①中，经过平面直角坐标系原点的直线有无数条；在图②中，与x轴(正方向)所成的角为 eq \f(π,6)的直线也有无数条． 问题3　确定一条直线的几何要素是什么？ 提示：由初中的平面几何知识，知道两点确定一条直线；由必修一中的平面向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线． 问题4　对于平面直角坐标系中的一条直线l(图③)，如何利用坐标系确定它的位置？ 提示：利用直线l与x轴的交点和直线l与x轴正方向的夹角可以确定它的位置．(答案不唯一) 平行或重合 定义 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴 与直线l向 的方向之间所成的角α 规定 当直线l与x轴 时，它的倾斜角为0° 范围 0°≤α<180° 正向 上 例1　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　 ) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) 解析：选AC．任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确；当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误． (2)如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B，l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为 ． 解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°， 所以l3的倾斜角为 eq \f(1,2)×(90°－30°)＝30°. 答案：30° 类题通法 求直线倾斜角问题的关注点 关键：根据题意画出图形，找准倾斜角； 方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． 注意：倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.)　 【迁移运用】 1.已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ 解：由题意画出如下草图． 由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线l转动前的倾斜角为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＋90°　0°<α<90°，,α－90°　90°≤α<180°., )) 　直线的斜率与方向向量 在日常生活中，用坡度来刻画道路的倾斜程度，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比，这个比值反映了物体在水平方向的改变量和铅直方向的改变量的联系．例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度 eq \f(3,2)＞ eq \f(2,2).显然坡度越大，坡的倾斜程度就越大．实际上，生活中这样的例子很多，如水库大坝、楼梯及屋顶的坡度等． 问题5　在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：可以利用倾斜角的正切值，即k＝tan α来定义直线的倾斜程度． 问题6　结合问题5的结论，试借助向量的方法求解以下直线倾斜角的正切值：①直线过O(0，0)，P( eq \r(3)，1)；②直线过P1(－1，1)，P2( eq \r(2)，0)；③直线过P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 提示：对于①，向量＝( eq \r(3)，1)，由正切函数的定义，tan α1＝ eq \f(1,\r(3))＝ eq \f(\r(3),3)； 对于②，向量＝( eq \r(2)＋1，－1)，可平移使＝＝( eq \r(2)＋1，－1)，于是tan α2＝ eq \f(－1,\r(2)＋1)＝1－ eq \r(2)； 对于③，类比②可知tan α＝ eq \f(y2－y1,x2－x1). eq \f(y2－y1,x2－x1) eq \f(y,x) 1．斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k来表示，即k＝ ． 2．斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝ ． 3．若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝ ． 正切值 tan α 例2　(1)(链接教材：人A版教材P55练习T1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为 ． (2)若过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为 ． (3)(链接教材：人A版教材P55练习T5)已知直线l的方向向量的坐标为(1， eq \r(3))，则直线l的倾斜角为 ． 解析：(1)k＝tan 120°＝－ eq \r(3). (2)由斜率公式k＝ eq \f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1. (3)设直线l的斜率为k， 则k＝ eq \r(3)，所以直线的倾斜角为 eq \f(π,3). 答案：(1)－ eq \r(3)　(2)1　(3) eq \f(π,3) eq \x(,1.求直线的斜率的两种方法,(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α.,(2)利用斜率公式：k＝\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2).,2.直线的方向向量问题的解题策略,(1)直线的方向向量与直线上任意两点对应的向量平行；,(2)利用直线的方向向量与斜率的关系可以解决求值的问题．) 类题通法 1．求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (2)利用斜率公式：k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2). 2．直线的方向向量问题的解题策略 (1)直线的方向向量与直线上任意两点对应的向量平行； (2)利用直线的方向向量与斜率的关系可以解决求值的问题. 【迁移运用】 2.已知直线l的斜率的取值范围为(－∞，－1]，直线l的方向向量为(2，3m)，则m的取值范围为 ． 解析：由题意知k＝ eq \f(3m,2)，且k∈(－∞，－1]，所以 eq \f(3m,2)≤－1， 解得m≤－ eq \f(2,3)， 所以m的取值范围为(－∞，－ eq \f(2,3)]. 答案：(－∞，－ eq \f(2,3)] 3．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(－2，3)，D(2，3)； (3)P(a，2)，Q(3，6). 解：(1)存在．直线AB的斜率kAB＝ eq \f(5－3,4－2)＝1，即tan α＝1， 又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°. (2)存在．直线CD的斜率kCD＝ eq \f(3－3,2＋2)＝0，即tan α＝0， 又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝0°. (3)当a＝3时，斜率不存在，则倾斜角α＝90°； 当a≠3时，直线的斜率k＝ eq \f(4,3－a)且倾斜角α满足tan α＝ eq \f(4,3－a). 　直线的倾斜角与斜率的应用 问题7　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？ 提示：由正切函数图象及单调性，当倾斜角为锐角时，斜率为正，且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且斜率随着倾斜角的增大而增大． 增大 － eq \r(3) － eq \f(\r(3),3) 1．设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k的增减性 随α的增大而 随α的增大而 2.下面特殊角的正切值要熟记： 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 eq \f(\r(3),3) 1 eq \r(3) －1 k<0 增大 eq \x(,(1)根据正切函数在[0，π）上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的，即可以用k的值判定倾斜角的情况．,(2)正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意90°倾斜角没有斜率．) 温馨提示 (1)根据正切函数在[0，π)上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的，即可以用k的值判定倾斜角的情况． (2)正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意90°倾斜角没有斜率. 例3　(链接教材：人A版教材P55练习T3)已知两点A(4，－3)，B(3，2 eq \r(3))，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围． 解：如图，由题意可知kPA＝ eq \f(－3－0,4－1)＝－1，kPB＝ eq \f(2\r(3)－0,3－1)＝ eq \r(3)， 要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是[－1， eq \r(3)]. 变式演练　1.(变条件)本题若将条件中“A(4，－3)”改为“A(－3，4)”，结论不变，如何求解？ 解：如图，由题意可知kPA＝ eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝ eq \f(2\r(3)－0,3－1)＝ eq \r(3)， 要使l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\co1(－∞，－1]∪[\r(3)))，＋∞). 2．(变结论)本题若条件不变，而将结论“求直线l的斜率k的取值范围．”改为“求直线l的倾斜角α的取值范围．”如何求解？ 解：如图，由题意可知kPA＝ eq \f(－3－0,4－1)＝－1，kPB＝ eq \f(2\r(3)－0,3－1)＝ eq \r(3)， PB的倾斜角是60°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是0°≤α≤60°或135°≤α＜180°. eq \x(,过定点和线段有交点的直线的斜率（倾斜角）的取值范围问题的解题步骤,(1)连接PA，PB（若直线PA，PB的斜率均存在）；,(2)由k＝\f(y2－y1,x2－x1)，求出kPA，kPB；,(3)结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率（倾斜角）的取值范围．) 类题通法 过定点和线段有交点的直线的斜率(倾斜角)的取值范围问题的解题步骤 (1)连接PA，PB(若直线PA，PB的斜率均存在)； (2)由k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)，求出kPA，kPB； (3)结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率(倾斜角)的取值范围. 1．若直线斜率的绝对值等于 eq \r(3)，则直线的倾斜角为(　　 ) A．60° B．30° C．120° D．60°或120° 解析：选D．k＝ eq \r(3)时，α＝60°；k＝－ eq \r(3)时，α＝120°. 2．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　 ) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析：选D．如图1，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α； 如图2，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 3．已知斜率为 eq \r(3)的直线逆时针旋转150°得到另一条直线，则其斜率为 ． 解析：斜率为 eq \r(3)的直线倾斜角为60°， 则另一条直线的倾斜角为30°，其斜率为 eq \f(\r(3),3). 答案： eq \f(\r(3),3) 4．若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 解析：由题意知，kAB＝ eq \f(2t－(1＋t),3－(1－t))＝ eq \f(t－1,t＋2). 因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝ eq \f(t－1,t＋2)<0，解得－2<t<1. 答案：(－2，1) 倾斜角与斜率之间的关系 (链接教材P53“探究”栏目) (1)当直线的倾斜角α＝0°时，斜率k＝0，直线与x轴平行或重合； (2)当0°<α<90°时，斜率k>0，且由正切函数的单调性可知，k值随着倾斜角的增大而增大，由0趋近于＋∞(如图所示)； (3)当α＝90°时，斜率k不存在(此时直线是存在的，直线与x轴垂直)； (4)当90°<α<180°时，斜率k<0，且由正切函数的单调性可知，k值随着倾斜角的增大而增大，由－∞趋近于0(如图所示). 【基础巩固】 1．过点A(－ eq \r(3)， eq \r(2))与点B(－ eq \r(2)， eq \r(3))的直线的倾斜角为(　　 ) A．45° B．135° C．45°或135° D．60° 解析：选A．kAB＝ eq \f(\r(3)－\r(2),－\r(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3))))＝ eq \f(\r(3)－\r(2),\r(3)－\r(2))＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以直线的倾斜角为45°. 2．如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(　　 ) A．k1<k2<k3 B．k1<k3<k2 C．k2<k1<k3 D．k3<k2<k1 解析：选A．根据“当直线的倾斜角α∈[0， eq \f(π,2))时，直线的倾斜程度越大，斜率越大”可知选项A正确． 3．过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝(　　 ) A．－ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(3),2) C．－1 D．1 解析：选C．(方法一)由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得＝(－2，－3－y).又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)，因此n∥，所以(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1. (方法二)由直线的方向向量为n＝(－1，－1)得，直线的斜率为 eq \f(－1,－1)＝1，所以 eq \f(y－(－3),4－2)＝1，解得y＝－1. 4．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 解析：选ABC．由直线的倾斜角和斜率的定义知，A，B，C正确，D错误． 5．(多选)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　 ) A．(0，－4) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－8) 解析：选BD．设B(x，0)或(0，y)，因为kAB＝ eq \f(4,3－x)或kAB＝ eq \f(4－y,3)，所以 eq \f(4,3－x)＝4或 eq \f(4－y,3)＝4，所以x＝2，y＝－8，所以点B的坐标为(2，0)或(0，－8). 6．若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝ ． 解析：因为A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上， 所以kAB＝kAC， kAB＝ eq \f(3－(－3),4－2)＝3，kAC＝ eq \f(k－(－3),5－2)＝ eq \f(k＋3,3)，所以3＝ eq \f(k＋3,3)，即k＝6. 答案：6 7．已知直线l的倾斜角α∈[ eq \f(π,4)， eq \f(2π,3)]，则该直线的斜率k的取值范围是 ． 解析：由倾斜角和斜率的关系为k＝tan α，结合y＝tan α的图象性质，知当 eq \f(π,4)≤α< eq \f(π,2)时，k≥1；当 eq \f(π,2)<α≤ eq \f(2π,3)时，k≤－ eq \r(3)；当α＝ eq \f(π,2)时，k不存在，所以k∈(－∞，－ eq \r(3)]∪[1，＋∞). 答案：(－∞，－ eq \r(3)]∪[1，＋∞) 8．已知坐标平面△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1，1)，B(1，1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率． 解：kAB＝ eq \f(1－1,1－(－1))＝0，kAC＝ eq \f(－1－1,1－(－1))＝－1. ∵B，C两点的横坐标相等， ∴直线BC的斜率不存在． 9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时． (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线l的方向向量的坐标为(3，1). (4)直线的倾斜角为45°？ (5)直线的倾斜角为锐角？ 解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝ eq \f(1－m,m＋1)＝0，∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1. (3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)，故k＝ eq \f(1,3)，即 eq \f(1－m,m＋1)＝ eq \f(1,3)，解得m＝ eq \f(1,2). (4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即 eq \f(1－m,m＋1)＝1，解得m＝0. (5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即 eq \f(1－m,m＋1)>0，解得－1<m<1. 【综合运用】 10．若点P(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则 eq \f(y－2,x－1)的取值范围是(　　 ) A．[ eq \f(1,2)，1] B．( eq \f(1,2)，1) C．[ eq \f(1,4)，1] D．( eq \f(1,4)，1) 解析：选D．根据已知的条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求 eq \f(y－2,x－1)的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1，2)的直线的斜率．由已知，得kAM＝ eq \f(1,4)，kBM＝1，kCM＝ eq \f(2,3).利用图象(图略)，可得 eq \f(y－2,x－1)的取值范围是( eq \f(1,4)，1). 11．(知识融合)设直线l的方程为x＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ． 解析：当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角α＝ eq \f(π,2)； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝tan α＝－ eq \f(1,cos θ). ∵cos θ∈[－1，1]且cos θ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞). 又α∈[0，π)，∴α∈[ eq \f(π,4)， eq \f(π,2))∪( eq \f(π,2)， eq \f(3π,4)]. 综上可知，倾斜角α的取值范围是[ eq \f(π,4)， eq \f(3π,4)]. 答案：[ eq \f(π,4)， eq \f(3π,4)] 12．已知A( eq \r(3)，0)，B(2，1)，直线l过点P(0，－1)，若直线l与线段AB总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ，倾斜角α的取值范围是 ． 解析：如图，若直线l与线段AB总有公共点，则kPA≤kl≤kPB， 因为A( eq \r(3)，0)，B(2，1)，P(0，－1)， 所以kPA＝ eq \f(0－(－1),\r(3)－0)＝ eq \f(\r(3),3)，kPB＝ eq \f(1－(－1),2－0)＝1， 所以 eq \f(\r(3),3)≤kl≤1，即 eq \f(\r(3),3)≤tan α≤1， 因为α∈[0，π)，所以 eq \f(π,6)≤α≤ eq \f(π,4). 答案： [ eq \f(\r(3),3)，1]　[ eq \f(π,6)， eq \f(π,4)] 13．如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 解：在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以斜率kOD＝kBC＝tan 60°＝ eq \r(3)； 因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以斜率kOB＝kCD＝0； 由菱形的性质知，∠COB＝ eq \f(1,2)×60°＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以两条对角线的斜率分别为： kOC＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3)，kBD＝tan 120°＝－ eq \r(3). 14．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求 eq \f(y＋3,x＋2)的最大值与最小值． 解：如图所示， 由 eq \f(y＋3,x＋2)＝ eq \f(y－(－3),x－(－2))的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k， 由图可知kPA≤k≤kPB．由已知可得A(1，1)，B(－1，5)， ∴kPA＝ eq \f(1－(－3),1－(－2))＝ eq \f(4,3)，kPB＝ eq \f(5－(－3),－1－(－2))＝8， ∴ eq \f(4,3)≤k≤8. 故 eq \f(y＋3,x＋2)(－1≤x≤1)的最大值为8，最小值为 eq \f(4,3). 【创新探索】 15．已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，试用图示法比较 eq \f(f(a),a)， eq \f(f(b),b)， eq \f(f(c),c)的大小关系． 解： eq \f(f(x),x)表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以我们可以赋予 eq \f(f(a),a)， eq \f(f(b),b)， eq \f((c),c)几何意义：表示3个斜率．作函数f(x)＝log2(x＋1)的图象如图所示． 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与原点相连， 可得 eq \f(f(c),c)> eq \f(f(b),b)> eq \f(f(a),a). $