1.4 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）
2025-12-05
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107页
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教辅
资源信息
| 学段 | 高中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 高中数学人教A版选择性必修第一册 |
| 年级 | 高二 |
| 章节 | 1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 6.94 MB |
| 发布时间 | 2025-12-05 |
| 更新时间 | 2025-12-09 |
| 作者 | 山东正禾大教育科技有限公司 |
| 品牌系列 | 正禾一本通·高中同步课堂高效讲义 |
| 审核时间 | 2025-12-05 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/55251713.html |
| 价格 | 5.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，以“自主学习·新知感悟”铺垫基础，“合作探究·思维进阶”通过探究任务（如线面角分析）深化理解，结合知识梳理和典例研析构建学习支架，帮助学生衔接前后知识逻辑。
其亮点在于PPT支持任意编辑方便教师调整，分层设计（自主、探究、评价、分层练）适配不同需求。创新探索题引入球面三角学，培养数学眼光的空间观念与创新意识；典例研析中法向量推导步骤（如设n=(x,y,z)求坐标）强化数学思维的推理与运算能力。学生能循序渐进掌握知识，教师可高效开展分层教学与探究活动。
内容正文：
《正禾一本通》
高中同步高效导学案
数学（人教）·选择性必修一
1
《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下：
在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。
第一章 空间向量与立体几何
3
目
录
自主学习·新知感悟
合作探究·思维进阶
学以致用·课堂评价
课后分层练
自主学习·新知感悟
合作探究·思维进阶
学以致用·课堂评价
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1．4 空间向量的应用
1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 用空间向量研究夹角问题
学习目标 1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的向量表示，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点) 2.能用向量方法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的大小，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点)
若异面直线 l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|= ＝ ．
温馨提示
两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
例1 (链接教材：人A版教材P36例7)在三棱锥PABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角PBCA的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
类题通法
求异面直线所成角的关注点
(1)原理：空间向量的夹角公式；
(2)方法：坐标法、基向量法；
(3)注意：由于两异面直线所成角θ 的范围是(0， eq \f(π,2)]，而两向量夹角α 的范围是[0，π]，故cos θ＝|cos α| .
提示：由已知得AB⊥平面BCD，所以∠ACB就是AC与平面BCD所成的角．
因为AB＝BC，则∠ACB＝45°，所以直线AC与平面BCD所成的
角是45°.
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|= ＝ ．
温馨提示
(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决．
(2)线面角的范围为[0， eq \f(π,2)].
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
例2 (链接教材：人A版教材P32例4)
如图，直三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1为正方形，2AB＝BC＝2，E，F分别为AC，CC1的中点，BF⊥A1B1.证明：BF⊥平面A1B1E.
类题通法
向量法求线面角的一般步骤
1．两平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中
的二面角称为平面α与平面 β的夹角．
2．两平面夹角的计算
设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ ＝ ．
温馨提示
(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题．
(2)两平面的夹角的范围是[0， eq \f(π,2)]，二面角的范围是[0，π].
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念.
例3 (链接教材：人A版教材P38练习T4)如图所示，在三棱锥SABC中，O为BC的中点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，求平面ASC与平面BSC夹角的余弦值．
类题通法
求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉(当〈n1，n2〉∈[0， eq \f(π,2)]时)或π－〈n1，n2〉(当〈n1，n2〉∈( eq \f(π,2)，π]时).
解析：平面xOy的一个法向量为n＝(0，0，1)，
设平面α的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则即3x＝4y＝az，取z＝1，则x＝，所以m＝.
由题意得|cos 〈n，m〉|＝.又因为a>0，所以a＝.
【创新探索】
14．(2025·安徽合肥高二期末模拟)球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形，若设二面角COAB，AOBC，BOCA分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为S球面△ABC＝(α＋β＋γ－π)R2.
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