1.4 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量表示，系统讲解空间中点、直线、平面的向量表示及方向向量、法向量知识。通过自主学习的教材挖掘问题衔接旧知，以问题提示和知识梳理为支架，构建从点到线到面的逻辑脉络，帮助学生逐步理解空间位置关系。 其亮点在于PPT可任意编辑便于个性化教学，分层设计结合典例与变式，如例1通过坐标运算培养数学运算能力，探究任务二以问题链引导抽象平面法向量概念发展数学眼光。知识梳理与类题通法帮助学生构建逻辑体系，学生提升核心素养，教师教学更高效。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第一章 空间向量与立体几何 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1．4　空间向量的应用 1．4．1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　 空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标　1.了解空间中点、直线和平面的向量表示，以培养数学抽象能力．(重点)　2.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念，以提升数学抽象能力．(重点)　3.会求直线的方向向量与平面的法向量，以提升数学运算能力．(重点、难点) 牌楼，中国传统建筑之一．最早见于周朝，最初用于旌表节孝的纪念物，后来在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造，北京是中国牌楼最多的城市．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼曾作为多届世博会中国馆的门面建筑，吸引了世人的视线． 问题1　如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们会得到下边线与地面什么关系呢？ 提示：平行． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P26～28，分析思考下面几个问题： (1)直线的方向向量如何确定？ (2)根据空间直线的向量表示式，线段AB的中点M的向量表示式是什么？ 提示：. 提示：(1)设l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量． 提示：. (3)一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？ 提示：不一定，两个定方向向量共线时不能确定，两个定方向向量不共线时能确定． (4)如果n为平面α的一个法向量，A，B为平面α内的两点，则n与有什么关系？ 提示：n⊥，即n·＝0. 提示：不一定，两个定方向向量共线时不能确定，两个定方向向量不共线时能确定． 提示：n⊥，即n·＝0. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)直线l的方向向量a是唯一的．(　　 ) (2)直线l的方向向量a一定是单位向量．(　　 ) (3)平面α的所有法向量都平行．(　　 ) (4)若n是平面α的一个法向量，则λn(λ∈R)也是平面α的一个法向量．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　 空间中点的向量和直线的向量表示 信号塔是中国移动、中国联通、中国电信等网络运营商所建立的一种无线信号发射装置，外形像塔，所以叫作信号塔． 问题2　如何用向量表示塔顶P的位置？ 问题3　在空间直角坐标系中如何确定点P的位置？ 提示：在空间中取一定点O作为基点，空间中的任意一点P就可以用向量来表示． 提示：点P的位置用(x，y，z)表示． 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＋ta，即. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定． 方向向量 温馨提示 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 例1　(1) 已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　 ) A．0 B．1 C． D．3 解析：选A．∵A(0，y，3)，B(－1，2，z)，∴＝(－1，2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km. ∴解得∴y－z＝0. (2)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为_____________． 解析：因为DD1∥AA1，＝(0，0，1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； 因为BC1∥AD1，＝(0，1，1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)． 答案：(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一) 名师点睛 求直线的方向向量就是求与该直线共线的向量. 【迁移运用】 1.若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，直线l的一个方向向量为(2x－1，x＋1，3)，则x的值为________. 解析：易知＝(2，4，6)，又直线l的一个方向向量为(2x－1，x＋1，3)，所以，解得x＝1. 答案：1 　空间中平面的向量表示 如图，设两条直线相交于点O，它们确定平面α，对应的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点． 问题4　点P在平面α内的充要条件是什么？ 问题5　平面α的法向量满足什么条件？ 问题6　如何选取平面的法向量？ 提示：存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 提示：平面α的法向量n与平面α内的任意向量都垂直，如n⊥a，n⊥b. 提示：平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量，即只需作一条垂直于平面的直线，选取该直线的方向向量即可． 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 4．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P＝0}． 不共线 法向量 温馨提示 　 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． (链接教材：人A版教材P28例1)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都等于2，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． ∠CBA＝60°，建立适当的空间直角坐标系． (1)写出平面BDD1B1的一个法向量； (2)求平面OC1B1的一个法向量． 解：(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， 所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1， 所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O， 所以O1O⊥底面ABCD. 因为四棱柱的所有棱长都相等， 所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD. 又O1O⊥底面ABCD， 所以OB，OC，OO1两两垂直． 如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 因为∠CBA＝60°，所以OB＝ eq \r(3)，OC＝1， 所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2). (1)平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0). (2)设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)， 则m⊥，m⊥， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋2z＝0，,y＋2z＝0，)) 取z＝－ eq \r(3)，则x＝2，y＝2 eq \r(3)， 所以m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2\r(3)，－\r(3)))，即平面OC1B1的一个法向量为(2，2 eq \r(3)，－ eq \r(3)). 变式探究　1.(变结论)本例条件不变，分别求出平面A1BC和平面A1CD的法向量． 解：A1(0，－1，2)，B，C(0，1，0)，D. 所以＝(0，2，－2)，. 设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 取x1＝，则y1＝z1＝3， 故n1＝，即平面A1BC的法向量为. 设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则即 取x2＝，则y2＝z2＝－3， 故n2＝，即平面A1CD的法向量为. 2．(变条件和结论)本例中，将“四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都等于2”改为“四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等”，“∠CBA＝60°”改为“∠CBA＝90°”，设E，F分别是棱BC，CD的中点，分别求出平面AB1E、平面AD1F的一个法向量． 解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设此棱柱的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E，D1(0，1，1)，F＝(1，0，1)，＝(0，1，1)． 设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1， 所以n1＝(－1，2，1)，即平面AB1E的一个法向量为(－1，2，1)． 设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则即 令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1， 所以n2＝(2，－1，1)，即平面AD1F的一个法向量为(2，－1，1)． 类题通法 　 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z). (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 1．若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　 ) A．(－3，0，－6) B．(9，0，－6) C．(－2，0，2) D．(－2，1，3) 解析：选B．＝(3，0，－2)＝ eq \f(1,3)(9，0，－6). 2．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　 ) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：选B．由题知n＝－2a，故直线l⊥α. 3．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m等于________． 解析：∵l∥α，平面α的法向量为， ∴(2，m，1)·＝0， 即2＋m＋2＝0，∴m＝－8. 答案：－8 4．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC的一个法向量为________(写出一个正确的即可)． 解析：由已知可得＝(0，2，0)－(1，0，0)＝(－1，2，0)，＝(0，0，3)－(1，0，0)＝(－1，0，3)． 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 不妨令x＝6，则y＝3，z＝2. 因此，可取n＝(6，3，2)为平面ABC的一个法向量． 答案：(6，3，2)(答案不唯一) 【基础巩固】 1．设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　 ) A．(－1，－2，5) B．(－1，1，－1) C．(1，1，1) D．(1，－1，－1) 解析：选B．因为(－1，1，－1)·(1，2，1)＝－1＋2－1＝0，(－1，1，－1)·(－1，1，2)＝1＋1－2＝0，所以向量(－1，1，－1)是此平面的法向量． 2．在平面ABCD中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，3)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABCD的法向量，则y2等于(　　 ) A．2 B．0 C．1 D．无意义 解析：选C．由题意得＝(1，1，0)，＝(－1，－1，2)，又a为平面ABCD的法向量， 所以即 解得y＝1，所以y2＝1. 3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　 ) A．(1，－1，3) B．(1，－1，－3) C．(2，－3，6) D．(－2，3，－6) 解析：选A．设正方体的棱长为1，平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则A(1，0，0)，E，F，所以＝＝ 则即取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n＝(1，－1，3)． 4．(多选)(易错题)在如图所示的坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为棱长为1的正方体，下列结论中，正确的是(　　 ) A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1) B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1) C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) 解析：选ABC．DD1∥AA1，＝(0，0，1)，故A正确； BC1∥AD1，＝(0，1，1)，故B正确； 直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故C正确； C1点坐标为(1，1，1)，与平面B1CD不垂直，故D错误． 5．已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________． 解析：因为直线的方向向量平行，所以 eq \f(x,－5)＝ eq \f(y,3)＝ eq \f(8,2)，所以x＝－20，y＝12. 答案：－20　12 6．已知直线l的方向向量为a＝(－3，m，2)，平面α的法向量为b＝(n，3，4)，且l⊥α，则2m＋n＝________． 解析：因为l⊥α，所以a∥b， 所以有 eq \f(－3,n)＝ eq \f(m,3)＝ eq \f(2,4)⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,2)，,n＝－6))⇒2m＋n＝2× eq \f(3,2)－6＝－3. 答案：－3 7．若M(2，0，－1)，N在直线l上，则直线l的方向向量的单位向量为________. 解析：因为M(2，0，－1)，N，所以＝，所以＝4， 答案： 8．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a＝________． 解析：设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，又＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)， 所以取x＝1，得n＝(1，1，1)， 因为P(a，1，1)在平面ABC内，则n·＝a－1＋1＋1＝0，解得a＝－1. 答案：－1 9．在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点． (1)求平面ABC的一个法向量； (2)求x，y，z满足的关系式． 解：(1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)．因为＝(2，4，－1)，＝(2，2，1)， 所以所以 令b＝2，则a＝－3，c＝2.所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2)． (2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点， 所以⊥n，所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，所以3x－2y－2z－1＝0. 故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0. 10．已知点M(3，1，2)，N(1，－5，－4)，A(4，1，3)，C为线段AB上一点，且是直线AB的方向向量，则点C的坐标为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C．因为C在线段AB上，所以∥， 又是直线AB的方向向量，所以∥，所以∥. 设C(x，y，z)，因为＝(－2，－6，－6)，＝(x－4，y－1，z－3)，且， 所以(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－6)，即 解得x＝，y＝－1，z＝1，所以点C的坐标是. 11．(多选)已知空间中的三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列说法不正确的是(　　 ) A．不是直线AB的一个方向向量 B．直线AB的一个单位方向向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) 解析：选BC．易知＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，所以不存在实数λ，使得，故A正确； 因为＝(2，1，0)，所以与不共线，所以B错误； 易知＝(－3，1，1)，所以cos 〈〉＝，所以C错误； 12．(开放性问题)四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面的中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，则平面OCB1的一个法向量为n＝________. 解析：建立空间直角坐标系如图， 因为四边形ABCD是正方形，且AB＝，所以AO＝OC＝1， 因为A1O⊥平面ABCD，且AO⊂平面ABCD， 所以AO⊥A1O，所以OA1＝＝1， 所以O(0，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，即＝(0，1，0)，＝(1，1，1)， 设向量n＝(x，y，z)是平面OCB1的法向量， 所以 取x＝1，则z＝－1，故n＝(1，0，－1)． 答案：(1，0，－1)(答案不唯一) 13．若A是平面α内三点，设平面α的一个法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________. 解析：由已知得，＝， ∵a是平面α的法向量， ∴a·＝0， 即解得 ∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)． 答案：2∶3∶(－4) 14．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)． (1)写出直线BD的一个方向向量； (2)求证：是平面ABCD的法向量； (3)求平行四边形ABCD的面积． 解：(1)＝(4，2，0)－(2，－1，－4)＝(2，3，4)，故直线BD的一个方向向量可以是(2，3，4)．(答案不唯一) (2)因为＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝0，＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD，又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以AP⊥平面ABCD，所以是平面ABCD的法向量． (3)因为＝＝＝(2，－1，－4)·(4，2，0)＝6， 所以cos ＝， 故sin ＝， 所以S▱ABCD＝＝8. 【创新探索】 15．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF，以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系Exyz，则平面CDF的一个法向量n＝________，EG＝________. 解析：由题意得A(0，0，2)，C(2，4，0)，D(0，2，2)，F(0，3，0)，＝(2，1，0)，＝(0，－1，2)， 设平面CDF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝－1，得n＝(－1，2，1)． 设，G(a，b，0)，则(a，b，0)＝(2λ，4λ，0)，所以a＝2λ，b＝4λ，＝(2λ，4λ，－2)， 因为AG∥平面CDF，所以·n＝－2λ＋8λ－2＝0，解得λ＝，所以G， 所以EG＝. 答案：(－1，2，1)　 $