1.1 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“空间向量与立体几何”，通过平面向量到空间向量的推广过程，以“自主学习·新知感悟—合作探究·思维进阶—学以致用·课堂评价—课后分层练”为学习支架，引导学生从概念建构到运算应用逐步深入，明确培养数学抽象、直观想象等核心素养。 其亮点在于PPT支持任意编辑便于个性化教学，知识梳理与典例研析结合，分层设计兼顾基础与提升，通过探究任务发展数学运算能力，助力学生思维进阶，也为教师提供高效教学资源。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第一章 空间向量与立体几何 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1．1　空间向量及其运算 1．1．1　空间向量及其线性运算 第1课时　空间向量及其线性运算 学习目标　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量及相关的概念，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.经历由平面向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点) 你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等. 问题1　在滑翔过程中，飞行员受到来自不同方向、大小各异的力，这些力在同一平面内吗？ 提示：不在． 问题2　我们知道，力是既有大小又有方向的量，在数学上，我们把这些力称为什么？ 提示：向量． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P2～3，说一说“相等向量的起点与终点是否相同”． (2)请认真阅读教材P3～5，空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示：两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同． 提示：共面，因为任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)零向量没有方向．(　　 ) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．(　　 ) (3)空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)× 　 空间向量的有关概念 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，最后登上了东方明珠电视塔顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景．这个过程可以用平面向量来表示． 问题3　这位游客实际发生的位移是什么？如何表示呢？ 提示：他实际发生的位移是，可以用空间向量＝＋＋来表示． 问题4　平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示：平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致. 有向线段 1．定义 在空间，具有 和 的量叫做空间向量． 2．长度或模 空间向量的 ． 3．表示方法 (1)几何表示法：空间向量用 表示． (2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作 ，其模记为 或 ． 大小 方向 大小 1 相反 －a 相等 4．几类特殊向量 名称 方向 模 记法 零向量 单位向量 任意 相反向量 相等 a的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 a＝b 任意 0 0 温馨提示 (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外). 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　 ) A．单位向量都相等 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量满足> D．相等向量其方向必相同 解析：选D．A中，单位向量长度相等，方向不确定；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小． (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　 ) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有 C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c 解析：选BC．A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行． 类题通法 　 空间向量有关概念问题的关注点 (1)关键点：向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：特殊向量的特性． ①零向量：与任意向量都共线； ②单位向量：长度都是1，方向不一定相同； ③相反向量：方向相反，模相等. 【迁移运用】 1.如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) 答案： 　空间向量的线性运算 问题5　空间中的向量如何进行线性运算？能用平面向量的线性运算法则进行计算吗？ 问题6　平面向量所满足的运算律(结合律、交换律和分配律)在空间中是否也满足？ 提示：能，因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后的向量是在同一个平面内的，接着就可以利用平面向量的运算法则来进行线性运算． 提示：满足． 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时， λa＝λ； 当λ<0时， λa＝λ； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 温馨提示 　 (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (4)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (5)向量λa与向量a一定是共线向量. 　　　　　　　　　　　　　　　　 角度一　空间向量的线性运算 例2　(1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是(　　 ) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 解析：选AB．m(a－b)＝ma－mb，A对；(m－n)a＝ma－na，B对；若m＝0，则a，b不一定相等，C错；若a＝0，则m，n不一定相等，D错． (2)(一题多解)化简－＝________． [思路点拨] 构想 转化 反思 转化为 加法运算 是如何使用向量加减法运算法则的？ 转化为 减法运算 －＝＋ 解析：法一(转化为加法运算)　－＝＝0. 法二(转化为减法运算)　－＝＋＝＝0. 答案：0 类题通法 　 空间向量线性运算的技巧 (1)数形结合：要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (3)巧用平移：运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 【迁移运用】 2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， (1)化简：； (2)若＝0，则x可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？(至少写出两个) 解：(1). (2)因为， 所以＝0， 所以＝0， 所以x＝. 又因为， 所以x可以是中的任一个． 角度二　空间向量线性运算的应用 例3　(链接教材：人A版教材P5练习T3)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①；②；③. ②∵N是BC的中点，∴． ③∵M是AA1的中点，∴＋c. 解：①∵P是C1D1的中点，∴＋c. 类题通法 　 向量的加法、减法和数乘运算是表示向量的前提，表示向量时要注意选定的向量，明确转化的目标. 【迁移运用】 3.如图，已知正四棱锥P­ABCD中，点O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点． (1)若，求x，y的值； (2)若，求m，n的值． 解：(1)因为＝，所以x＝y＝－. (2)因为O为AC中点，Q为CD中点， 所以， 所以， 所以， 所以m＝2，n＝－2. 1．(多选)下列命题中，真命题是(　　 ) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 解析：选ABC．容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．化简所得的结果是(　　 ) A． B． C．0 D． 解析：选C．＝0. 3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是(　　 ) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 解析：选A．∵，∴且＝，∴四边形ABCD为平行四边形． 4．设A，B，C，D为空间任意四点，则＝________． 答案： 解析：. 空间向量加法运算的推广——多边形法则 (链接教材P3“探究”栏目) (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＝.因此，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量． (2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即＝0. 【基础巩固】 1．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　 ) A．a＝b B．a＋b为实数0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3 解析：选D．向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反． 2．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是(　　 ) A．与 B．与 C．与 D．与 解析：选D．由题意，与与都是相反向量，与方向不同，长度不一定相等，不是相等向量，与方向相同，长度相等，是相等向量． 3．下列说法中正确的是(　　 ) A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 解析：选C．对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B，的充要条件是＝同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D，满足的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误． 4．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则等于(　　 ) A． B．3 C．3 D．2 解析：选B．－＝. 5．(生活情境)某市119指挥中心接群众报警称：位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病，急需救援．指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警，3名消防员立即乘车到达B处，马上下车跑步到达C处，再攀爬到塔吊上D处救下发病工人，则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C．由消防员的运动过程知. 6．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有(　　 ) A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 解析：选ACD．因为O为正方体的中心，所以， 故＝－， 同理可得＝－， 故＝－，所以A，C正确； 因为， 所以与是两个相等的向量，所以B不正确； 因为，所以＝－，所以D正确． 7．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，若＋y，则x＝________，y＝________． 解析：，所以x＝1，y＝. 答案：1　 答案：1 　 解析：，所以x＝1，y＝. 8．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是________．(填序号) ①＋；②＋； ③＋；④＋； ⑤＋；⑥＋. 解析：①＋； ②＋； ③＋＝＋； ④＋＝＋； ⑤＋＝＋； ⑥＋＝＋. 答案：①②③④⑤⑥ 答案：①②③④⑤⑥ 9．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 解：(1). (2)因为M是BB1的中点， 所以. 又， 所以. (3). 向量如图所示． 10．(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选AB．A中，； B中，； C中，≠； D中，≠. 11．(多选)若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式为零向量的是(　　 ) A． B．2 C． D． 解析：选BD．A中，； B中，2＝0； C中，； D中，表示A→B→C→D→A，恰好形成一个回路，结果必为0. 12．如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量． 解：因为G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，所以. 又＝， 所以，如图所示． 解：因为G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，所以. 又＝， 所以，如图所示． 13．如图，已知ABCD­A′B′C′D′是平行六面体． (1)化简，并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上靠近C′的分点，设，试求α，β，γ的值． 解：(1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF， 则. (2)因为＋＝， 所以α＝. 解：(1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF， 则. (2)因为＋＝， 所以α＝. 解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O， 则，所以 . 答案： 【创新探索】 14．如图，正四棱台EFGH­ABCD中，上底边长与下底边长之比为，则_______________. 15．在平面四边形ABCD中，E，F分所成的比为λ，即＝λ，则有. (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明； (2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用上述(1)的结论表示. 解：(1)在空间四边形ABCD中，E，F分所成的比为λ，即＝λ，则有.证明如下： ＋＝. (2)由(1)的结论可得. 解：(1)在空间四边形ABCD中，E，F分所成的比为λ，即＝λ，则有.证明如下： ＋＝. (2)由(1)的结论可得. $