第三章 排列、组合与二项式定理（高效培优单元测试·提升卷）数学人教B版2019选择性必修第二册

第三章 排列、组合与二项式定理（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中的系数为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】先把两项相乘化简，再应用二项式展开式的通项公式结合组合数的计算求解. 【详解】的展开式中含的项为， 所以的系数为15. 故选：B. 2．哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（    ） A．1080 B．1560 C．2640 D．3960 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】根据分类加法计数原理和部分平均分组计数方法计算即得. 【详解】依题意，可分为两类情况：第一类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法； 第二类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法. 故由分类加法计数原理，共有种不同分法. 故选：B. 3．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和的性质，求出参数；根据二项式展开式，求出指定项即可. 【详解】由题可知，解得， 则二项式展开式通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A. 4．如图是第14届国际数学教育大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，7，4，4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是，正是会议最初计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，换算后十进制数的末尾数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、不同进制数的互化 【分析】先将八进制数换算成十进制数得，进而得，利用二项式定理即可求解. 【详解】由进位制的换算方法可知，八进制数换算成十进制数为． 根据二项式定理，可得 ， 因为是10的倍数， 所以换算后十进制数的末尾数字为的末尾数字，由， 可得末尾数字为3． 故选：B． 5．某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】分别求出区域1与区域3种同种花卉和不同花卉的方案种数，根据古典概率的公式求解. 【详解】当区域1与区域3种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种； 当区域1与区域3不种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种． 故该花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为. 故选：B. 6．关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．第项的二项式系数最大 B．当时，被除的余数为 C．展开式中存在常数项 D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】组合数方程和不等式、二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、整除和余数问题 【分析】利用二项式系数的单调性可判断A选项；利用二项展开式可判断B选项；利用二项展开式通项可判断C选项；假设、、成等差数列，利用等差中项的性质结合组合数公式求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，的展开式有项，其中第项的二项式系数最大，A错； 对于B选项，当时，， 因为能被整除，故被整除的余数为，B错； 对于C选项，的展开式通项为， 由得，故展开式中不存在常数项，C错； 对于D选项，由C选项可知，展开式中每一项的系数都为其二项式系数， 不妨设、、成等差数列， 所以，即， 整理得，解得或，合乎题意，D对. 故选：D. 7．衡水湖国际马拉松赛是经国家体育总局批准的国际性马拉松赛事，自2012年起每年9月份举行一届．竞赛项目分为全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松．甲、乙、丙等5名马拉松爱好者均计划参加衡水湖国际马拉松赛，若甲和乙均参加迷你马拉松，且每人只参加一个竞赛项目，这5名马拉松爱好者的竞赛项目涵盖了三个竞赛项目，则不同的参赛方案有（   ） A．6种 B．12种 C．24种 D．18种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】根据参加迷你马拉松的情况进行分两类进行讨论，只有甲和乙参加迷你马拉松和有3人参加迷你马拉松，分别求出方案数，再相加即可． 【详解】若只有甲和乙参加迷你马拉松，则剩下的3人按1，2分成2组， 所以有种参赛方案； 若有3人参加迷你马拉松，则从剩下的3人中选1人参加迷你马拉松， 再将剩余的2人按1，1分成2组，所以有种参赛方案． 故不同的参赛方案共有种， 故选：B． 8．杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域大放异彩.现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动.则不同的安排方式种数是（    ） A．96 B．120 C．240 D．336 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分选中宇树科技，不选中深度求索、选中深度求索，不选中宇树科技、宇树科技和深度求索都选中，三种情况分别求解即可. 【详解】若选中宇树科技，不选中深度求索，共有种安排方式； 若选中深度求索，不选中宇树科技，共有种安排方式； 若宇树科技和深度求索都选中，共有种安排方式， 所以不同的安排方式种数是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有30种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，故A错误； 对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，故B正确； 对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，故C错误； 对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，分两种情况： 若课程“礼”排在最后一周，有种排法， 若课程“礼”不排在最后一周，有种排法， 共有种排法，故D正确. 故选：BD. 10．已知函数，则（    ） A． B． C．的个位数是9 D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】赋值法求系数和判断A、B；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断C；由并应用二项式定理求对应项系数判断D. 【详解】由题设，令，则，A错； 令，则， 所以，即，B对； 由，展开式通项为， 显然个位数由决定，即个位数是1，C错； 由， 展开式通项为，， 当时，，即， D对. 故选：BD 11．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数的性质判断. 【详解】A错，因为第2026行的第个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第2026行的第1014个数最大； B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数之和为； C对，因为 ； D错，第20行数的最大值为，第21行数的最大值为， 所以． 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中各项系数的和为64，则展开式中的常数项为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、三项展开式的系数问题 【分析】通过赋值求得，再根据展开式中常数项的产生，结合组合数的计算即可求得结果. 【详解】由题意，取，可得，解得， 则即，其展开式中的常数项可由两种形式的项构成： ① 3个括号全部选常数项1，可得这样的常数项为1； ② 2个括号选的项且1个括号选的项，可得这样的常数项为. 综上可得，展开式中的常数项为. 故答案为：4. 13．如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字的概率记为，则 ， ． 【答案】 5 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意分析可知：，进而求出相应的的值，结合古典概型求， 【详解】由题意得：，若移动到数字，则由数字或数字移动一次得到，则， 据此即可得到，，又因为从到共有三条路径可走， 故从1到9经过6的路径共有，故, 故答案为： ， 14．如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有 种不同的绿化方案（用数字作答）. 【答案】180 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】利用分步乘法原理求解即可 【详解】如图： A B D C 从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法， B有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法； 由D区与B，C花卉颜色不一样，与A区花卉颜色可以同色也可以不同色， 则D有3种颜色花卉摆放方法. 故共有种涂色方法. 故答案为：180 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式的系数和； (3)求展开式中的系数； (4)求展开式的第四项． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）二项式定理所有二项式系数和为代入即可； （2）令即可求得所有系数的和； （3）写出二项式的通项，可求得；（4）根据第三小问的通项即可求得. 【详解】（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32，即，所以. （2）令，，所以展开式的系数和为. （3）二项式展开式的通项为：，令，解得，所以当时，，所以展开式中的系数为. （4）令，，所以展开式的第四项为. 16．从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）分个位是不是0讨论，结合古典概型概率计算公式求解. （2）先弄清能被9整除的数字组合，再求能被9整除的数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. （3）分情况讨论，先求比4510大的四位数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. 【详解】（1）组成的所有四位数共有（个）． 当这个四位数是偶数时： ①若个位数字是0，则有（个）； ②若个位数字不是0，则有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数为偶数的概率为． （2）能被9整除的数，其各个数位上的数字之和能被9整除. 数字组合为：，，，， 此时共有这样的四位数（个）． 故能组成被9整除的四位数的概率为． （3）对比4510大的四位数进行分类： ①当千位是4，百位是5时，有（个）； ②当千位是4，百位是6时，有（个）； ③当千位大于4时，有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数比4510大的概率为． 17．（1）求满足等式的所有正整数； （2）已知正整数满足，求正整数的值. 【答案】（1）3或7 （2） 【难度】0.65 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】（1）利用组合数的性质求解即可； （2）根据排列数的公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以或， 解得：或 （2）因为，所以，， 解得： 18．电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起． (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)1440 (2)960 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）采用插空法即可求解. （2）利用插空法结合捆绑法可求解. 【详解】（1）先将4个男生排好，有种排法， 再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法， 故符合条件的排法共有(种). （2）先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法， 故符合条件的排法共有(种). 19．某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 排列、组合与二项式定理（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中的系数为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（    ） A．1080 B．1560 C．2640 D．3960 3．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 4．如图是第14届国际数学教育大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，7，4，4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是，正是会议最初计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，换算后十进制数的末尾数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（    ） A． B． C． D． 6．关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．第项的二项式系数最大 B．当时，被除的余数为 C．展开式中存在常数项 D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列 7．衡水湖国际马拉松赛是经国家体育总局批准的国际性马拉松赛事，自2012年起每年9月份举行一届．竞赛项目分为全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松．甲、乙、丙等5名马拉松爱好者均计划参加衡水湖国际马拉松赛，若甲和乙均参加迷你马拉松，且每人只参加一个竞赛项目，这5名马拉松爱好者的竞赛项目涵盖了三个竞赛项目，则不同的参赛方案有（   ） A．6种 B．12种 C．24种 D．18种 8．杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域大放异彩.现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动.则不同的安排方式种数是（    ） A．96 B．120 C．240 D．336 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有30种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 10．已知函数，则（    ） A． B． C．的个位数是9 D． 11．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中各项系数的和为64，则展开式中的常数项为 ． 13．如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字的概率记为，则 ， ． 14．如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有 种不同的绿化方案（用数字作答）. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式的系数和； (3)求展开式中的系数； (4)求展开式的第四项． 16．从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 17．（1）求满足等式的所有正整数； （2）已知正整数满足，求正整数的值. 18．电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起． (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 19．某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $