第4章 专题课 数列求和-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

专题课 数列求和 类型一 分组转化求和 ［例1］ 已知等差数列满足,. （1） 求的通项公式； （2） 设等比数列满足,,设,求数列的前项和. 【答案】 （1） 【解】设等差数列 的公差为, 则. 由,得，解得. 所以. （2） 设等比数列 的公比为, 则,, 所以,所以, 所以. 则, 则. 分组求和法的常见类型及解法 ［跟踪训练1］． （1） 数列,，，， 的前项和为（ ） A. B. C. D. （2） 若数列满足则_ _ .（用具体数值作答） 【答案】（1） C （2） 107 【解析】 （1） 选.由题意知,数列的通项公式为，所以该数列的前 项和. （2） 由题意可得. 类型二 并项转化求和 ［例2］ 求和：. 【解】 当 为奇数时，. 当 为偶数时，.所以. 并项转化法求和的解题策略 （1）一般地，当数列中的各项正负交替出现或成周期性变化时，可以采用并项转化法求和. （2）若数列的各项是正负交替的，则一般需要对项数进行分类讨论，最终的结果一般可以用分段形式来表示；若数列的各项成周期性变化时，求和的关键是弄清周期的个数及剩余的项数. ［跟踪训练2］．计算：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 . 类型三 裂项相消求和 ［例3］ 已知数列满足，且点,在直线上. （1） 求数列的通项公式； （2） 若数列的前项和为，求. 【答案】 （1） 【解】由点,在直线 上， 得， 所以数列 是首项为，公差为2的等差数列． 故，即． （2） ， 所以， 即. 裂项相消法的原理与规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. （3）裂项时常用的公式如下： ①; ②; ③; ④. ［跟踪训练3］．设等差数列的前项和为，若,,则数列的前99项和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】选.依题意，,所以,因为, 由, 易知, 所以, 所以数列 的前99项和为. 类型四 错位相减求和 ［例4］ 已知数列是等差数列，且,. （1） 求数列的通项公式； （2） 令,求数列的前项和. 【答案】 （1） 【解】设数列 的公差为, 因为,,所以. 又, 所以. 所以,. （2） 由,得 , ① , ② 得 , 所以,. 运用错位相减法求和时的注意事项 （1）要善于识别题目类型，特别是等比数列的公比为负数的情况. （2）在写出“”与“”的表达式时，应将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出的表达式.若公比是字母参数，则应先对参数加以讨论（一般情况下，分和两种情况分别求和）. ［跟踪训练4］．若，求数列的前项和. 解：由题意得 ,① 可得,故. 课后达标 检测 1．数列,,, ,,…的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为，所以 . 2．已知数列的前项和为，若,,则（ ） A. 90 B. 119 C. 120 D. 121 【答案】C 【解析】选.因为,所以,所以,所以. 3．已知数列满足：当时，,则的前10项和（ ） A. 31 B. 62 C. 170 D. 1 023 【答案】B 【解析】选.. 4．化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选., ① , ② 得 ,所以. 5．在数列中，若,,,则该数列的前100项和是（ ） A. 18 B. 8 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】选.因为,,,所以,,, ,,,, ,所以 是周期为6的周期数列，因为，所以. 6．记首项为1的数列的前项和为,且是以2为公差的等差数列，则数列的前100项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意得,故, 又 是以2为公差的等差数列，故, 得到,故, 其前100项和为. 7．（多选）设等差数列满足,,则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的前项和为 【答案】ABD 【解析】选.设等差数列 的公差为.因为 是等差数列，所以,解得,又,所以,所以,所以,故,正确；所以,故 错误；所以 的前 项和.故 正确. 8．（多选）在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45， 这些数叫作三角形数.设第个三角形数为，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. 1 024是三角形数 D. 【答案】ABD 【解析】选.因为,,, ,由此可归纳得,故 正确； 将前面的所有式子累加可得,所以,故 正确； 令,此方程没有正整数解，故 错误； ,故,故 正确. 9．已知数列满足,则数列的前项和为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】,,所求数列的前 项和为. 10．已知数列满足，，则的前10项和为_ _ ． 【答案】484 【解析】由于，则，所以，又，则, 则 . 11．已知函数，则_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】因为,所以, 设，① 则，② 得，所以. 12．（13分）已知为数列的前项和，满足,,数列是等差数列，且,. （1） 求数列和的通项公式；（6分） （2） 求数列的前项和.（7分） 【答案】 （1） 解：因为, 当 时，,得, 当,时，,则,即, 且,可知数列 为等比数列，公比,所以. 设等差数列 的公差为, 因为,且,解得, 所以. （2） 由（1）知, 设 的前 项和为， 则. 13．（13分）已知是等差数列，,且,,成等比数列. （1） 求的通项公式；（5分） （2） 设数列的前项和为,求.（8分） 【答案】 （1） 解：因为,,成等比数列， 所以,解得. 设等差数列 的公差为,则, 所以. （2） 由（1）可得 , 故 . 14．（15分）已知等比数列的前项和为,且,是与的等差中项. （1） 求数列的通项公式；（6分） （2） 若数列满足,求数列的前项和.（9分） 【答案】 （1） 解：设等比数列 的公比为,, 由 是 与 的等差中项，可得, 所以,解得 或（舍去）， 所以,. （2） 由（1）得, 所以, 所以,① ,② 得 , 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $