第4章 专题课 求数列的通项公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

专题课 求数列的通项公式 类型一 利用与的关系求通项 ［例1］ 已知数列的前项和为. （1） 若,求; （2） 若,求. 【答案】 （1） 【解】当 时，; 当 时，. 因为 不满足上式，所以 （2） 当 时，，得; 当 时，,所以, 所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 利用 求 一般有两种情况： （1）给定,则注意检验当时是否符合的式子. （2）给定，通常是通过消去或（构造两式作差）进行求解. ［跟踪训练1］．已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意，均有,,成等差数列，则_ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,,成等差数列， 所以. 当 时，. 又,所以. 当 时，, 所以. 所以， 因为, 所以, 所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. 类型二 累加法求通项 ［例2］ 已知数列满足,对任意的都有,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，得, 故当 时，,, ,, , 以上各式累加得，, 故. 当 时，满足上式， 所以. 累加法求通项公式的四个步骤 ［跟踪训练2］．已知数列满足,,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 可得. 则, , , … . 将以上 个式子相加， 得 . 所以. 当 时，上式成立， 所以. 类型三 累乘法求通项 ［例3］ 在数列中，,,求数列的通项公式. 【解】 由题意可得,所以,则当 时,有,,, ,,把以上各式累乘，得,即. 又因为 也符合上式，所以. 累乘法求通项公式的四个步骤 ［跟踪训练3］．已知,, ,,…构成首项为1，公比为2的等比数列，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知，当 时，,则有, ，,,而, 当 时，也满足该式，故. 类型四 构造法求通项 角度1 构造等比数列 ［例4］ 已知数列满足,,求数列的通项公式. 【解】 设,为待定系数，展开得,与原式对比知,则有. 因为,所以 是以7为首项，2为公比的等比数列. 所以,所以. 构造法求通项公式 递推公式形如 （1）当,时，可以通过待定系数法构造等比数列，设,通过比较系数求出 ,构造等比数列； （2）结合等比数列的通项公式求出数列的通项公式； （3）由（2）进一步得到数列的通项公式. 角度2 构造等差数列 ［例5］ 已知数列中，，,则此数列的通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】将 两边同时除以， 得，即， 则 是首项为，公差为 的等差数列， 则，得. 递推公式形如 （其中 是常数，且 ,1） （1）当时，两边同除以,构造等差数列； （2）当时，可以利用待定系数法构造等比数列，设,通过比较系数求出 ，构造等比数列; （3）由进一步得到数列的通项公式. ［跟踪训练4］． （1） 已知数列满足且,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 已知数列满足,,设.则_ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 由题意设, 即, 故， 所以, 所以 是以 为首项，3为公比的等比数列， 所以, 即. （2） 因为, 所以,即, 所以数列 是首项为,公差为1的等差数列. 所以. 类型五 倒数法求通项 ［例6］ 已知数列满足，,则此数列的通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，取倒数得， 所以， 因为， 所以， 所以 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 则，所以. 递推公式形如 （1）两边取倒数，构造等差或者等比数列； （2）结合构造的等差或者等比数列进一步求数列的通项公式. ［跟踪训练5］．已知数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由 得,，又， 所以数列 是以1为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，则. 课后达标 检测 1．已知为等差数列，且,,则公差（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】选.由条件得 解得 2．已知在数列中，,,则（ ） A. 43 B. 46 C. 37 D. 36 【答案】C 【解析】选.由题得,则,所以. 3．已知在数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由 可得，即， 所以 是以 为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 4．设数列满足,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.在数列 中，由,得,而, 因此数列 是首项为1，公比为 的等比数列，,即,所以. 5．已知,,则数列的通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由,易知,得,即,则当 时，,,, ,,由累乘法可得，因为,所以,又 也满足上式，所以. 6．已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为，则，整理得， 又，则，因此数列 是首项为1，公差为1的等差数列， 则，所以. 7．（多选）已知数列的前项和为，若,且，则下列说法正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】选.由 得，当 时，, 两式相减得,即, 又当 时，, 所以 所以 错误，正确； 当 时，, 当 时，,符合, 所以, 又 时,,所以 为等比数列,，正确. 8．（多选）已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若满足,则 C. 若满足,则 D. 若满足,则 【答案】ABD 【解析】选.无穷数列 的前3项分别为2，4，8，若 是等比数列，则首项为2，公比为2，所以，故 正确；若 满足,则该数列是最小正周期为3的周期数列，，故 正确，错误；若 满足,则,得,故 正确. 9．在数列中，,且,则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】将 平方可得，所以 是首项为，公差为3的等差数列， 故.因为，所以. 10．设数列的前项和为，若其满足，且，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，得，所以 是以 为首项，1为公差的等差数列， 所以,所以. 当 时，，所以 11．设数列满足,,则数列的通项_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】已知, 设, 整理得. 与 比较， 得 解得 将其代入所设等式， 得, 所以数列 为等比数列，公比为，首项为, 所以, 整理得. 12．（13分）已知数列的前项和为，且点在函数的图象上. （1） 求数列的通项公式；（6分） （2） 设点在函数的图象上，求.（7分） 【答案】 （1） 解：因为点 在函数 的图象上，所以, 当 时，; 当 时，,又 满足上式，所以. （2） 由于点 在函数 的图象上，所以, 故. 13．（13分）已知正项数列满足，，，且． （1） 求的值；（5分） （2） 求数列的通项公式．（8分） 【答案】 （1） 解：当 时，，得， 当 时，，即， 解得. （2） 因为，所以，又, 则， 令，则,所以，则 是等比数列， 因为，，所以， 所以， 则 ,当 时，满足上式，故. 14．（15分）已知公比大于1的等比数列满足:,. （1） 求的通项公式；（6分） （2） 记数列的前项和为，若,,证明：是等差数列.（9分） 【答案】 （1） 解：方法一:设公比为， 因为 是等比数列，所以, 又,解得 或 又，所以 所以,. 因此. 方法二：设公比为， 由等比数列性质得出 解得 或 又,所以 因此. （2） 证明：由（1）得,所以, 两式作差可得, 即, 整理得,. 等式两边同除以 得，,即. 所以数列 是公差为 的等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $