第4章 数列 章末综合检测（四）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

章末综合检测（四） （时间：120分钟,满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列,,,， 的一个通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为，，,， ,所以此数列的一个通项公式可以是. 2．已知等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】选.因为数列 是等差数列，利用等差数列的性质可知，，所以. 3．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意知，数列 是首项为9，公比为9的等比数列，所以，则. 4．已知数列满足，，，是等比数列，则数列的前8项和（ ） A. 376 B. 382 C. 749 D. 766 【答案】C 【解析】选.由已知得，，，而 是等比数列，故， 所以当 时，， 所以，化简得， 当 时，， 所以. . 5．若两个等差数列,的前项和分别为，，且满足,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由,得. 6．已知等比数列满足,,数列满足,当时，,则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.根据题意得， 解得 故， 当 时，,故 .故选. 7．已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意知，当 时，， 故可知当 时，数列 递减， 即若 为递减数列，只需满足，即,得．故选. 8．在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），其中表示不超过的最大整数，如，.已知,，为正整数且，则（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】选.由题意得， ， 所以， 同理可得，,,,,,， ， 所以 是周期为6的周期数列，得.故选. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列的前项和是，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则，，成等差数列 D. 若是等比数列，则，，成等比数列 【答案】ABC 【解析】选.若，当 时，， 当 时，， 所以，所以，所以 是等差数列，故 正确；若，当 时，，所以，当 时，，所以，所以 是等比数列，故 正确；设等差数列 的公差为，首项是，，，同理，因此，则，，成等差数列，故 正确；若等比数列 的公比，，则，，，不可能成等比数列，故 错误． 10．等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论，其中正确的是（ ） A. B. C. 的值是中最大的 D. 的值是中最大的 【答案】ABD 【解析】选.对于，因为， 所以，即，所以. 又，，所以，且， 所以，故 正确； 对于，因为 所以， 即，故 正确； 对于，由于， 而，故有，故 错误； 对于，由题可知， 所以当 时，，即， 当 时，，即， 所以 的值是 中最大的，故 正确.故选. 11．如图，在边长为的等边三角形中，圆与的三条边相切，圆与圆相切且与，相切， ，圆与圆相切且与，相切，设圆的半径为，圆的外切正三角形的边长为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是首项为2，公比为的等比数列，且 C. 当圆的半径小于时，的最小值为4 D. 数列的前项和小于3 【答案】ABD 【解析】选.如图，圆 的外切正三角形的面积为，整理可得，故 正确； 设圆 切 于点，易知，则， 且 ，，， 由 可得，整理可得， 由，得．所以数列 是首项为2，公比为 的等比数列，故，故 正确； 由，得，即， 因为，故正整数 的最小值为5，故 错误； 数列 的前 项和为，故 正确.故选． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列满足，若，则_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】数列 满足，，所以，，， 所以 是以3为周期的数列，因为，所以. 13．已知数列满足，，数列满足，则数列的前项和_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为数列 满足，， 所以当 时， ， 又 也满足上式，所以， 所以， 所以 . 14．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“扩展”.将数列1，3进行“扩展”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3；…；第次“扩展”后得到的数列为1,,, ,,3.记，其中，，则数列的第6项_ _ . 【答案】365 【解析】因为， 所以 ，即. 故，又， 则数列 是首项为，公比为3的等比数列，故， 所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列中，，，． （1） 设，求证：数列是等比数列；（6分） （2） 求数列的前项和（7分） 【答案】 （1） 证明：因为, 所以,又因为, 所以数列 是首项为3,公比为4的等比数列. （2） 解：由（1）可知，即， 所以. 16．（本小题满分15分）由整数构成的等差数列满足,. （1） 求数列的通项公式；（7分） （2） 若数列的通项公式为，将数列,的所有项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列,,,,,,,, ，求数列的前项和.（8分） 【答案】 （1） 解：由题意，设数列 的公差为，由，, 可得 整理得， 即, 解得 或, 因为 为整数数列，所以， 又由，所以, 所以数列 的通项公式为. （2） 由（1）知，数列 的通项公式为,又由数列 的通项公式为, 根据题意，新数列,,,,,,,， ， 则. 17．（本小题满分15分）设数列的前项和为，已知,， （1） 求数列的通项公式；（7分） （2） 记，求数列的前项和.（8分） 【答案】 （1） 解：因为， 所以， 又，所以，所以， 所以， 当 时，； 当 时，不符合上式， 所以 （2） 设数列 的前 项和为， 则. 当 时，，; 当 时，， . 综上， 18．（本小题满分17分）某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为探究新药的效果，进行了如下的喷洒试验：隔离选取1 000平方米牧草，在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草，200平方米为受害牧草，每三天给受害牧草喷药一次．试验的结论为：每次喷药前的受害牧草有的面积会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有的面积会在下一次喷药前被感染为受害牧草．假设试验过程牧草的总面积不变，记第次喷药前正常牧草的面积为平方米． （1） 求使得成立的的最大整数值；（7分） （2） 证明：在取（1）中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米．（10分） 【答案】 （1） 解：由题意，在第一次喷药前，正常牧草面积 平方米． 每一次喷药后，正常牧草面积与喷药前正常牧草面积的关系为， .① 所以． 要使得 成立，即要使得 成立，解得． 所以使得 成立的 的最大整数值为7． （2） 证明：由（1）得，代入①式可得,.② 用待定系数法，设实数 满足.③ 将 可得，． 则数列 是公比为0.13的等比数列，通项公式为． 解得 ， 又因为． 故 ．又因为． 所以， 即无论 取多少，正常牧草的面积 都不可能超过920平方米． 19．（本小题满分17分）已知数列是首项为3，公比为3的等比数列，且. （1） 求出的通项公式；（8分） （2） 设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数 的取值范围.（9分） 【答案】 （1） 解：因为数列 是首项为3，公比为3的等比数列，所以， 所以当 时，， 即，所以， 所以. 又 也满足上式，所以数列 的通项公式为. （2） 由（1）可得， 所以 ，① ，② 由，得， 所以， 所以不等式 可化为， 即 对任意的 恒成立， 令, 则 为递增数列，即转化为. 又， 所以， 综上，实数 的取值范围是. 第8页/共165页 学科网（北京）股份有限公司 $