第4章 阶段小测（七）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

阶段小测（七） （时间：120分钟 满分：100分） 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．数列中，“,,3,4, ”是“是公比为2的等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】选.若 是公比为2的等比数列， 则一定有,,3,4, ，必要性成立； 若,,3,4, ， 则 不一定为等比数列，充分性不成立，例如当 时，满足,,3,4, ，但该数列不是等比数列. 2．在各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】选.易知,所以. 3．记等比数列的前项和为，若,则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.设等比数列 的公比为,由,得,, 所以 . 4．已知等比数列的前项和为.若 ，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】选.设 的公比为.因为 ，所以，故，又,所以 的系数和常数项互为相反数，所以，所以. 5．如果某人在听到喜讯的后将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人 ，每人只传2人，这样继续下去，那么要把喜讯传遍一个有2 047人（包括第一个人）的小镇所需的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.根据题意可得传递过程可看成一个等比数列，且该数列的首项为1，公比为2，所以 个小时后知道喜讯的总人数为, 令,解得. 6．已知等比数列的各项均为正数，且,,则使得成立的正整数的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】选.设等比数列 的公比为,,且. 由题意得 两式相除得,则,所以,故.显然当 时，不成立，所以 且,则,即,则,故正整数 的最小值为10. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 7．设是公比为正数的等比数列的前项和.若,,则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】选.设 的公比为,则,解得,故,则,.对于，,故 正确；对于，，故 错误； 对于，为常数，故 正确；对于，由,,可得 为等比数列，故 正确. 8．已知是数列的前项和，且,,则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】选., , 因为, 所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以,故 正确； , , 因为, 所以数列 是首项为，公比为 的等比数列，故 正确； 所以,故 错误； ，故 正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 9．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，满足,,则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设等比数列 的公比为, 由题意得 解得 所以. 10．数列满足,,其前项和为,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】 【解析】, 可得其前 项和 . 11．已知三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，则原三个数的和为. 【答案】28 【解析】依题意设原三个数依次为,,. 因为,所以. 又第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列， 所以, 所以,所以 或, 所以原三个数为4，8，16或16，8，4. 因为， 所以原三个数的和为28. 四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 12．（本小题满分13分）在等比数列中，,. （1） 求的通项公式；（6分） （2） 记为的前项和，若，求.（7分） 【答案】 （1） 解：设等比数列 的公比为,由题意得.由已知得,解得（舍去），或. 故 或. （2） 若,则.由,得,即, 此方程没有正整数解. 若,则. 由,得,即,解得. 综上，. 13．（本小题满分15分）在数列中，，，. （1） 设,证明：数列是等差数列；（6分） （2） 在（1）的条件下求数列的前项和.（9分） 【答案】 （1） 证明：由已知, 得. 所以,又. 所以 是首项为1，公差为1的等差数列. （2） 解：由（1）知，,. 所以. 所以, 两边同时乘以2得, 两式相减得, 所以. 14．（本小题满分15分）如果无穷数列满足“对任意正整数,,都存在正整数,使得”,那么称数列具有“性质”. （1） 若等比数列的前项和为,且,,,求证：数列具有“性质”；（5分） （2） 在（1）的条件下，若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.（10分） 【答案】 （1） 证明：由 即 解得 或（舍去）， 故. 易知对任意正整数,，都存在正整数,使得,即, 即,所以数列 具有“性质”. （2） 解：由（1）得, 又,所以, 因为 对任意正整数 恒成立，所以. 令, 易知函数 在 上单调递增，所以,即. 故实数 的取值范围是，. 学科网（北京）股份有限公司 $