第4章 阶段提升（七）等比数列-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学等比数列核心知识点，从基本量运算（知三求二，方程思想）到性质应用（等比中项、前n项和性质），再到判定证明（定义法、构造法）及综合问题，构建递进式学习支架，帮助学生系统梳理知识脉络。 该资料特色在于结合2024全国甲卷改编题等真题，通过题型分类与数学思想总结（方程思想、分类讨论），培养学生数学思维（推理能力、运算能力）和数学眼光（抽象能力）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

阶段提升（七） 等比数列 （范围：） 题型一 等比数列基本量的运算 1．在等比数列中，,,则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.设等比数列 的公比为,则,即,解得,则数列 的前10项和为. 2．等比数列的前项和为，已知,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.设等比数列 的公比为, 由,得,即,所以, 又,所以,所以. 3．[（2024·全国甲卷改编）]已知等比数列的前项和为，且. （1） 求的通项公式； （2） 求数列的前项和. 【答案】 （1） 解：因为,所以,两式相减可得. 即,所以等比数列 的公比为， 因为,所以,故. （2） 因为,所以. 等比数列基本运算中的两种常用数学思想 方程的思想 等比数列中有五个量,,,,,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量和,问题可迎刃而解 分类讨论的思想 等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论，当时，的前项和为;当时，的前项和为 注意 （1）等比数列求和需要讨论和两种情况； （2）计算过程中，若出现,要注意为奇数和偶数的区别. 题型二 等比数列的性质 1．已知公比大于1的等比数列满足,,则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】选.因为,,公比,所以由等比数列的性质可得,,解得,,所以. 2．设是等比数列的前项和，若,,则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】选.由题知，，， 可得， 可得，， ， 则. 3．已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】由题意，得 解得 所以. 等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口. 题型三 等比数列的判定与证明 ［例1］ 已知数列的前项和为，且. （1） 设,求证：是等比数列； （2） 求数列的通项公式. 【答案】 （1） 证明：因为, ① 所以. ② 得, 所以, 所以, 又,所以,, 因为,所以. 故 是以 为首项，为公比的等比数列. （2） 【解】由（1）知, 因为,所以. ［跟踪训练1］．（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若,则,,成等比数列 B. 若为等差数列，则为等比数列 C. 若,则数列为等差数列 D. 若,则数列为等比数列 【答案】BD 【解析】选.对于，当 时有,此时,,不成等比数列，故 错误； 对于，若 为等差数列，设其公差为,则此时有 为大于零的常数，所以数列 为等比数列，故 正确； 对于，若,则, , 显然不满足,所以数列 不为等差数列，故 错误； 对于，若,则, , 显然满足,所以数列 为等比数列，故 正确. 题型四 等比数列的综合问题 ［例2］ 已知数列的首项,前项和为,且满足. （1） 求及; （2） 若满足,求的值. 【答案】（1） 【解】由，得.因为,所以.由,,两式相减得.又 也满足上式,所以数列 是以 为首项，为公比的等比数列.故. （2） 由（1）可得,所以.因此.令,得,即,则 且. 故 的值可以为1，2，3，4，5. 与等比数列有关的综合问题的解题方法与技巧 （1）化归思想：将非等比数列转化构造成等比数列，以便于利用其公式和性质解题. （2）等比数列公式和性质的灵活应用. （3）当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系. ［跟踪训练2］．已知在正项等比数列中，,是函数的两个零点，则. 【答案】18 【解析】由题意可知,是方程 的两个根，则,又 是正项等比数列， 所以,. 学科网（北京）股份有限公司 $