第4章 阶段提升（六）数列的概念与等差数列-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

阶段提升（六） 数列的概念与等差数列 （范围：） 题型一 等差数列基本量的计算 1．在1和31之间插入14个数，使它们与1，31组成公差大于零的等差数列，则该数列的公差为（ ） A. B. 30 C. D. 2 【答案】D 【解析】选.设16个数对应公差为 的等差数列 的前16项，由题意可知，,,故. 2．已知为等差数列，为其前项和.若,公差,,则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】选.由,得, 又,又, 所以,解得 或（舍去）. 3．[（2024· 新课标Ⅱ卷）]记为等差数列的前项和.若,,则. 【答案】95 【解析】设等差数列 的公差为,由,,解得,,则. 等差数列的基本运算的解题策略 （1）等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量,,,,,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程（组）解决问题的思想. （2）数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换的作用，和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法. 题型二 等差数列的性质 1．[（2024·全国甲卷）]记为等差数列的前项和.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.方法一：设等差数列 的公差为,由,得,则. 方法二：因为 为等差数列，所以,得,则. 2．在等差数列中，是其前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为在等差数列 中，，，，成等差数列， 设,因为，故,所以,,,成等差数列， 所以,,即,,则. 3．已知是数列的前项和，若是等差数列，且,. （1） 求的值； （2） 当为何值时，的值最小？ 【答案】 （1） 解：设等差数列 的公差为, 则,, 又,故,解得,所以,故. （2） 由（1）可得,故, 所以, 因为,所以当 或 时， 取得最小值，最小值为. 等差数列的性质的应用 （1）项的性质：如下标和相等性质，利用此性质可以在有关基本量的计算时达到简化运算的目的. （2）前项和的性质、奇偶项和性质、函数特性等，利用这些性质能够快速解决数列中的选择题、填空题. 题型三 等差数列的判定与证明 ［例1］ 已知数列满足,且. （1） 求,; （2） 证明数列是等差数列，并求的通项公式. 【答案】 （1） 【解】由已知，得,则, 又因为,所以. 由,得, 所以. （2） 由已知, 得,即, 又，所以数列 是首项为1,公差为2的等差数列，则.所以. 等差数列的判定与证明的方法 ［跟踪训练1］．已知数列满足,,且,则数列的第100项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为,所以,所以 为等差数列，首项为,第2项为,所以公差,所以,则. 题型四 数列的递推关系 1．已知在数列中，，,,则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】选.由题意得,,,,,, ，则 是以6为周期的周期数列，所以. 2．已知在数列中，,,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题得,因为,且 满足上式，所以. 3．若,,则通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由,得,所以.又 满足上式，故. 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 注意 根据累加法、累乘法求出之后，注意检验是否满足. 题型五 等差数列的综合问题 ［例2］ 已知公差不为0的等差数列满足,. （1） 求数列的通项公式； （2） 记数列的前项和为，求使成立的最大正整数. 【答案】 （1） 【解】设等差数列 的公差为, 由 得 解得 所以. （2） 由（1）得, 若,即, 即,解得,所以使 成立的最大正整数 为10. 解答等差数列综合问题的策略 （1）灵活应用等差数列的定义构造新的等差数列； （2）以“基本量法”为根本，重视公差和首项的计算； （3）树立“目标意识”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意解题的目标； （4）重视方程、分类讨论等思想在解决数列综合问题中的应用. ［跟踪训练2］．在等差数列中，已知首项,前项和为，公差,,. （1） 试求和; （2） 求数列的前项和. 【答案】 （1） 解：由 解得 或 因为, 所以,. （2） 因为,,所以,则,且 为等差数列，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $