第2章 专题课 与圆有关的最值问题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦“与圆有关的最值问题”核心知识点，系统梳理距离相关（点到圆、直线到圆、切线长等）和代数式几何意义（斜率、距离平方、截距等）两大类型，通过例题引路、跟踪训练巩固、母题探究拓展、达标检测分层提升，构建完整学习支架。 资料以期中真题为例题（如常州、咸阳期中题），引导学生用数学眼光发现问题，通过代数式几何意义转化（如例2将斜率、距离问题抽象为圆与直线位置关系）培养数学思维，分层达标检测（基础/能力）助力课后查漏，母题探究拓展创新意识，提升教学效果与学生学习效率。

专题课 与圆有关的最值问题 类型一 与距离有关的最值问题 ［例1］ （1） [（2025·常州期中）]已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. （2） [（2025·咸阳期中）]由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 根据，，则直线 的方程为，即，又由，则圆心为,半径，则圆心到直线 的距离，所以点 到直线 距离的最小值,，. （2） 圆 的圆心为，半径为1，所以圆心 到直线 的距离为,所以直线与圆 相离.因为，所以当 取得最小值时，取得最小值，而 的最小值为，所以. 与距离有关的最值问题常涉及的情况 （1）圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为,最大值为（为圆外一点到圆心的距离） （2）直线与圆相离,圆上任意一点到直线距离的最小值为,最大值为（为圆心到直线的距离） （3）过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为,最大值为（为圆内定点到圆心的距离） （4）直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的最小值为.（为圆心到直线的距离） ［跟踪训练1］． （1） [（2025·黑龙江期中）]圆上的点到直线的最大距离是_ _ _ _ _ _ . （2） 若直线与圆交于,两点，当最小时，劣弧的长为_ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 将 化为圆的标准方程可得，所以圆的圆心为，半径，根据点到直线距离公式可得圆心 到直线 的距离为，所以可得最大距离为. （2） 可化为，则直线恒过定点，圆 的圆心为，半径，当 时，取得最小值，且最小值为，此时弦长 所对的圆心角为，所以劣弧 的长为 . 类型二 利用代数式的几何意义求最值问题 ［例2］ 已知实数和满足，试求下列各式的最值： （1） ; （2） ; （3） . 【答案】 （1） 【解】设，变形为，此式表示圆 上一点 与点 连线的斜率， 由，可得， 此直线与圆有公共点，则， 解得， 故 的最大值为，最小值为. （2） 由题意知，表示圆 上的点到坐标原点的距离的平方，当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值. 原点 到圆心 的距离， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为，最小距离为.所以 的最大值和最小值分别为 和. （3） 令 并将其变形为,问题可转化为斜率为 的直线在经过圆 上的点时在 轴上的截距的最值. 当直线和圆相切时在 轴上的截距取得最大值和最小值,所以,解得,所以 的最大值为，最小值为. 母题探究1．本例其他条件不变，求的最值. 解：设,此式表示圆 上一点 与点 连线的斜率,由 可得,此直线与圆有公共点,则,解得，故 的最大值为,最小值为. 母题探究2．本例其他条件不变，求的最值. 解：因为，设,则 表示圆 上的点到直线 的距离,而圆心 到直线 的距离为. 所以，所以，即 的最大值为,最小值为. （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. （2）形如的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. （3）形如的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. ［跟踪训练2］．（多选）已知实数，满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】选.因为实数，满足方程，所以，得圆心为，半径为1，对于，，设,，则两直线与圆有公共点，所以,,解得，，所以 的最大值为，的最大值为，所以，正确； 对于，因为原点 到圆心 的距离为，所以圆上的点到原点的距离，所以，所以，所以 的最大值为，所以 错误；对于，表示圆上的点 到直线 的距离，因为圆心 到直线 的距离为，所以，即，所以 正确. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若直线平分圆的周长，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意得，直线 过圆心，所以，又，,所以（当且仅当，即，时取等号），所以 的最大值为. 2．圆上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为圆，所以圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以圆 上的点到直线 的距离的最小值为. 3．[（2025·南通期末）]已知是圆内过点的最短弦，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】选.依题意，圆 的圆心,半径,则,显然点 在圆内，,所以. 4．已知圆，当圆心到直线的距离最大时，实数的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】选.圆 的标准方程为，所以圆心为，半径，直线 恒过定点，当直线 与 垂直时，圆心 到直线 的距离最大，由斜率公式得直线 的斜率为，由垂直关系的斜率公式得，解得. 5．已知，分别为轴、轴上的动点，为坐标原点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为 为直径， ，所以点 必在圆上，由点 向直线 作垂线，垂足为（图略），当点 恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小，此时圆的直径为 到直线 的距离，即半径，所以圆面积的最小值为. 6．（多选）已知是圆上任一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 点在圆内 C. 的最大值为 D. 过的最短弦长是 【答案】ACD 【解析】选.将圆 的方程化为标准方程，圆心，,如图所示. 对于，圆心 的坐标为，故 正确； 对于，因为，所以点 在圆 外，故 错误； 对于，因为,，所以，即，故 正确； 对于，因为，所以点 在圆内，当弦垂直于 时弦长最短，又，所以最短弦长为，故 正确. 7．已知过点的弦将圆的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为弦 将圆分成两段弧长之差最大，此时 垂直，由圆的半径为2,，由勾股定理得. 8．在一个平面上，机器人在以点为圆心，以2为半径的圆上顺时针而行，它在行进过程中到过和两点的直线的最远距离为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由图可知，在行进过程中到过 和 两点的直线的最远距离为圆心 到直线 的距离加上半径2，直线 为，即，所以圆心 到直线 的距离为，所以所求的距离为. 9．已知圆，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】四边形 的面积, 当 与直线垂直时，此时 取最小值，故最小值为，又半径，所以，则四边形 面积的最小值为. 10．（13分）已知,,三点，点在圆上运动. （1） 若直线与圆有唯一公共点，求；（6分） （2） 求的最小值.（7分） 【答案】（1） 解：由题意知，圆 的圆心为，半径，故，由题意可得直线 与圆 相切，且唯一公共点为点，在 中，由勾股定理可得. （2） 设，且，故,而，所以当 时，取得最小值56. B 能力提升 11．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.记 为，则 为直线 的斜率，故当直线 与半圆,相切时，斜率 最小，设,则，解得 或（舍去），即 的最小值为. 12．（15分）已知圆. （1） 过点作的切线，求的方程；（6分） （2） 若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小.（9分） 【答案】 （1） 解：因为圆 的圆心为，半径，当 的斜率不存在时，满足条件； 当 的斜率存在时，不妨设其方程为，即，圆心 到 的距离为，解得，可得 的方程为.综上所述，的方程为 或. （2） 因为，所以当 最短，即 时，取得最小值，此时，所以， 又 ， 所以 . 13．（15分）已知圆，直线，点在直线上. （1） 求的取值范围；（3分） （2） 过点引圆的两条切线，，切点为，. ① 求四边形面积的最小值;（6分） ② 设中点为，是否存在定点使得为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.（6分） 【答案】 （1） 解：因为点 在直线， 故可设点 的坐标为， 圆 的圆心 的坐标为，半径为1， 所以 ， 所以 的取值范围为. （2） ① 因为,为圆的两条切线，所以,， 又，所以 ， 圆心 到直线 的距离为， 所以当 时，四边形 的面积取最小值，最小值为， ② 由①得,,,四点共圆，且以 为直径， 因为，， 所以该圆方程为， ,在圆 上， ,又在圆 上, 两式作差可得直线 为，即， 所以直线 过定点,， 因为，所以点 在以 为直径的圆上，取 的中点为,， 则 为定值，. 学科网（北京）股份有限公司 $