第2章 圆与方程 章末综合检测（二）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

章末综合检测（二） （时间：120分钟,满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.方程 可变形为，因为方程表示圆，则， 所以.故选. 2．已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由，知，线段 的中点坐标为， 且， 则以线段 为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程是.故选. 3．已知圆与直线相切于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意知，点 在圆 上，所以，解得. 故圆心，因为，且,则直线 的斜率为. 所以直线 的方程为， 即. 4．已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.圆 的圆心为，半径为， 依题意可知，以原点 为圆心，半径为 的圆与圆 相交， 因为，所以，即，所以.故选. 5．台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险地区内的时长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.如图所示，以点 为坐标原点建立平面直角坐标系，则，以 为圆心，为半径作圆，则圆 的方程为， 当台风进入圆内，则城市 处于危险地区， 又台风的运动轨迹为，， 设直线 与圆 的交点为，，圆心 到直线 的距离，则，所以时间.故选. 6．设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由圆 的标准方程， 得圆心为，半径， 则 的面积， 所以要使 的面积最小，则 最小，又， 即 最小即可，此时最小值为圆心 到直线 的距离， 所以， 即 的面积的最小值为.故选. 7．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】选.由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线方程为，即.因为反射光线与圆 相切，所以圆心 到直线 的距离等于半径1，即，整理得，解得 或. 8．圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题知，圆 的圆心为，半径； 圆 的圆心为，半径. 设点 为圆 与圆 的根轴 上的任意一点，则，所以， 整理得，即圆 与圆 的根轴 为直线. 取 关于 对称的点，则. 因为，所以 在 上，所以当，，三点共线时，取得最大值. 因为 到 的距离为，到 的距离为，所以，即 的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知的三个顶点坐标分别为，，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.过点，的直线方程为，化为一般式为，过点，的直线方程为，过点，的直线方程为，所以原点 到直线 的距离，原点 到直线 的距离，原点 到直线 的距离，所以，又，，.结合图形（图略）可知，若以原点为圆心的圆与 有唯一公共点，则公共点为 或，所以圆的半径为1或，所以圆的方程为 或. 10．已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列描述正确的有（ ） A. 直线与圆相交 B. 的最小值为 C. 四边形面积的最小值为4 D. 存在点，使得 【答案】BC 【解析】选.圆 的圆心为，半径，连接（图略）， 对于，点 到直线 的距离，直线 与圆 相离，错误； 对于，点 在圆 上，则，正确； 对于，由切线长定理知，，当且仅当 时取等号，因此四边形 面积的最小值为4，正确； 对于，由切线长定理知，，而，又 是锐角，正弦函数 在,上单调递增，则 的最大值为，当且仅当 时取等号，因此 的最大值为，错误. 11．已知，，是曲线上的任意一点，若的值与，无关，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BC 【解析】选.由曲线，得，则，所以曲线 表示圆心为，半径 的半圆 轴及以上部分. 设 为点 到直线 的距离，为点 到直线 的距离. 已知， 即 表示点 到直线 和 的距离和的 倍. 由图可知，该曲线在两平行直线，之间时， 点 到直线 和 的距离和为两平行线之间的距离. 当 与曲线相切时，，解得，则 的取值范围为； 当 经过点 时，，解得，则 的取值范围为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．过点引圆的切线，则切线长是_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】圆的方程化为标准方程为， 得到圆心 的坐标为，圆的半径， 因为， 所以切线长是. 13．过直线上一点作圆的切线，，切点为，，则直线过定点_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，则有，① 又由圆 的圆心 为，直线，是圆的两条切线，,为切点， 则，，则点,均在以 为直径的圆上， 设 的中点为，即,,则圆 的方程为， 化简得，直线 即为两圆的公共弦所在直线， 所以对于 和，两式相减可得直线 的方程为， 由①可得，，整理得， 由 可得 故直线 过定点. 14．已知直线与圆交于，两点，写出满足“面积为2”的的一个值_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】1（或） 【解析】直线 过定点，点 也在圆 上，故可设， 因为，的面积为2，则点 到 轴的距离为2， 点 在圆 上，则有 或，代入直线方程解得 或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为4，求圆的一般方程． 解：由题意得，圆心， 因为圆心在直线 上， 所以，即.① 又因为半径， 所以.② 由①②可得 或 又因为圆心在第二象限， 所以，，即，，则 故圆的一般方程为. 16．（本小题满分15分）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西方向处，港口位于小岛中心正北方向处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 解：以小岛的中心为原点，东西方向为 轴，南北方向为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 为了运算的简便，我们取 为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为. 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为，则圆心，半径为2， 轮船航线所在直线 的方程为，即， 因为圆心 到直线 的距离， 所以直线 与圆 相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险. 17．（本小题满分15分）已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． （1） 求的取值范围；（6分） （2） 若，其中为坐标原点，求的面积．（9分） 【答案】 （1） 解：由题得直线 的方程为. 因为直线 与圆 交于两点，所以圆心 到直线 的距离， 解得. 所以 的取值范围为. （2） 设，． 将 代入方程， 整理得， 所以，， 所以，解得， 所以直线 的方程为， 所以圆心 在直线 上，所以. 原点 到直线 的距离， 所以 的面积 . 18．（本小题满分17分）已知圆与圆有两个不同的交点,．过直线上的一点（在线段外的部分上）分别作圆与圆的一条切线，切点分别为,，问是否存在常数 ，使得恒成立？若存在，求 的值；若不存在，说明理由． 解：存在.圆, 圆, 两圆方程相减,化简可得直线 的方程为 ， 设点， 因为直线 与圆 相切， 所以在 中，， 又点 在直线 上，即， 所以可得， 同理可得， 所以，则， 故存在常数，使得 恒成立. 19．（本小题满分17分）若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆. （1） 若圆是集合的包络圆. ① 求，满足的关系式;（3分） ② 若，求的取值范围;（4分） （2） 若集合,}的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由.（10分） 【答案】① 解：因为圆 是集合 的包络圆，所以圆心 到直线 的距离为2，即，化简得，即，满足的关系式为. ② 由 及， 可得圆 与直线 有公共点，所以，解得，故 的取值范围是. （2） 设，由题意可知点 到直线 的距离为与 无关的定值， 即 为与 无关的定值，所以,,即，此时. 所以 的方程为， 设，则， 即， 假设 轴上存在定点，，使得，设，， 则 ， 所以 解得 或 所以，存在，即，或，. 第页 学科网（北京）股份有限公司 $