第2章 阶段小测（二）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

阶段小测（二） （时间：120分钟 满分：100分） 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意，圆心为点，半径为5，则圆的方程为. 2．若方程表示一个圆，则的取值范围为（ ） A. , B. ,, C. , D. ,, 【答案】D 【解析】选.若方程 表示一个圆，则， 方程可化为， 所以， 解得，且 不等于0， 所以 或. 3．若直线与圆的两个交点为,，且，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】选.圆 的圆心为，半径， 由题意圆心 到直线 的距离 ， 则， 解得或. 4．已知点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.设，的中点，所以,， 即,，又因为点 是圆 上的一个点， 所以，化简得，所以 的轨迹方程为. 5．已知,，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.设点，则，，所以，则，所以点 的轨迹方程为，圆心为，半径为3，由此可知圆 与 有公共点，又圆 的圆心为，半径为2，所以，解得，即 的取值范围是. 6．已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径为，如图， 圆 关于 轴的对称圆为圆，连接，交 轴于，交圆 于，交圆 于，此时 最小，最小值为 . 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 7．直线与圆的公共点的个数可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BC 【解析】选.圆 的圆心为，半径，当 时，点 到直线 的距离，因此直线 与圆相切或相交，所以直线 与圆 的公共点个数为1或2. 8．[（2025·南通期末）]已知圆和圆相交于，两点，且点在轴上方，则（ ） A. B. 过圆心作圆的切线，切线长为 C. 过点且与圆相切的直线方程为 D. 圆的弦交圆于点，为的中点，则的斜率为 【答案】ACD 【解析】选.依题意，由 解得 则,, ,正确； 圆 的圆心，半径,圆 的圆心,半径, 过圆心 作圆 的切线，切线长为,不正确； 直线 的斜率为,则过点 且与圆 相切的直线斜率为，且切线方程为, 即,正确；因为 为圆 的弦 的中点，则,于是得点 在以线段 为直径的圆 上，而点 在圆 上，则由 得直线 的方程,其斜率为，正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 9．若圆上存在两点关于直线对称，则的值为_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】圆 的圆心为，半径为2，圆上存在两点关于直线 对称，则圆心在直线上，所以，解得. 10．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为_ _ _ _ 分钟. 【答案】2 【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为 轴正方向，正北方向为 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，可得，圆. 记从 处开始被监测，到 处监测结束，因为 到 的距离为 米， 所以 米，故监测时长为 分钟. 11．已知圆，圆，其中,.若两圆外切，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】圆 和圆 外切， 则，整理得到， 表示圆 上的点 与 形成直线的斜率， 易知直线斜率存在，设直线 方程为，即， 所以，解得. 四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 12．（本小题满分13分）已知,，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1） 求曲线的方程；（5分） （2） 求过点且与曲线相切的直线的方程.（8分） 【答案】 （1） 解：设，则，， 由，得， 所以曲线 的方程为. （2） 曲线 是以 为圆心，1为半径的圆，若过点 的直线斜率不存在，直线方程为，满足与圆 相切； 若过点 的切线斜率存在，设切线方程为，即，由圆心到直线距离，解得， 则方程为. 所以过点 且与曲线 相切的直线的方程为 或. 13．（本小题满分15分）已知圆的圆心在直线上，且过点,. （1） 求圆的方程；（3分） （2） 已知点是圆上的一点，求的取值范围；（5分） （3） 已知直线与圆交于，两点，求的最小值.（7分） 【答案】 （1） 解：因为圆 的圆心在直线 上，可设，又圆 过点,， 所以 , 解得，所以,所以圆 的半径,所以圆 的方程为. （2） 设，又点 是圆 上的点，所以直线 与圆有公共点，所以，解得，即 的取值范围是. （3） 直线 可以化为，则直线恒过定点， 且该点在圆内.设圆心到直线的距离为，由题意得， 当 最大时，最小，易知当直线与圆心和定点的连线垂直时 最大， 此时， 则. 14．（本小题满分15分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西 方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过,,三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示，以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. （1） 试写出,的坐标，并求两个观测点,之间的距离；（3分） （2） 试求经过,,三点的圆的标准方程；（4分） （3） 某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东 方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？（8分） 【答案】 （1） 解：由题意知，，， ，所以，， 所以. （2） 设经过,,三点的圆的方程为， 所以 解得 所以所求圆的一般方程为，则经过,,三点的圆的标准方程为. （3） 由题意知，，则轮船航向所在直线方程为，即，由（2）知，经过,,三点的圆的圆心为，半径， 所以圆心 到直线 的距离，所以直线 与圆 相交，即轮船会进入安全预警区. 设直线与圆的交点为,，则，则轮船在安全预警区内会行驶 小时. 学科网（北京）股份有限公司 $