第2章 阶段提升（二）圆的方程及应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

阶段提升（二） 圆的方程及应用 （范围：） 题型一 圆的方程 1．“”是“点在圆内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】选.点 在圆 内，所以“”是“点 在圆 内”的充分不必要条件. 2．（多选）关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（ ） A. 圆心在直线上 B. 其圆心在轴上 C. 过原点 D. 半径为 【答案】AC 【解析】选.若方程 表示圆，则其标准方程为，所以，可得，圆心为，半径为， 对于，圆心 在直线 上，正确； 对于，因为，所以圆心不可能在 轴上，错误； 对于，因为，则该圆过原点，正确； 对于，该圆的半径为，错误. 3．[（2025·潍坊期中）]已知圆心在直线上，且,都是圆上的点，则圆的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】方法一:依题意，线段 的中点,，直线 的斜率， 则线段 中垂线的方程为，即， 由 解得 因此所求圆的圆心为，半径，所以所求圆的标准方程为. 方法二：设圆的一般方程为，圆心坐标为,， 由题意得 解得 即圆的一般方程为，即标准方程为. 求圆的方程的关注点 （1）根据已知条件，选择设标准方程还是一般方程，如果条件中涉及圆心、弦长、距离等条件，一般设标准方程； （2）结合圆的性质，如垂径定理、切线的性质等，简化方程形式或直接求圆的方程的系数. 题型二 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 都有可能 【答案】C 【解析】选.将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5，直线 恒过定点，，点 在圆内，所以直线与圆相交. 2．直线与圆交于,两点，则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】选.如图，由圆 化为标准方程为，知圆心为,半径为2，过点 作 于点，由 到直线 的距离为, 则,故 的面积为. 3．已知圆，则圆心到直线的最大距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为直线，即，令 解得 所以直线经过定点，当圆心 与定点 的连线与直线垂直时，距离最大，最大值为. 4．已知为直线上的一个动点，,为圆上的两个动点，则的最大值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 的圆心为，半径为， 圆心 到直线 的距离，若要 最大，则 最大，显然当,为圆的切线时，最大，此时，由于，故当 最小时，取得最大值，则 最大，当 时，最小，最小值为， 故，所以 ， 故 的最大值为 . 关于直线与圆的位置关系 （1）位置关系的判断：一般利用几何法判断，即判断圆心到直线的距离与半径的关系； （2）弦长公式：直线与圆相交时，圆的弦长，半径，弦心距之间满足； （3）相切：圆心到切线的距离等于半径、过切点且垂直于切线的直线过圆心. 题型三 圆与圆的位置关系 1．已知圆与圆交于,两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.两圆方程作差可得直线 的方程为，即；由圆 方程可得其圆心，半径，所以 到直线 的距离，所以. 2．若直线是与的公切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.已知 的圆心，半径是;的圆心是，半径是2.由题知直线 是 和 的公切线，当 时，直线为，此时直线 与圆 不相切，所以，由， 解得， 则有. 3．若圆与圆有且仅有一条公切线，_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，可得， 显然,,，又圆 与圆 只有一条公切线，所以两圆相内切，将 点坐标代入圆 方程知，即 在圆 外部，所以圆 内切于圆， 则有，解得. 4．已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；若点是圆上的动点，则的最大值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】因为直线，即， 令 解得 可知直线 过定点，同理可知,直线 过定点， 又因为，可知，所以直线 与直线 的交点 的轨迹是以 的中点 为圆心，为半径的圆，故点 的轨迹为圆； 的圆心为，半径，易知两圆外离，所以 的最大值是. （1）关于两圆的位置关系 一般利用几何法判断两圆的位置关系，即判断圆心距与两圆半径的和差关系. （2）两圆的公共弦长 将两圆的方程作差，即可得到公共弦所在直线的方程，再利用其中一个圆，构造弦长、半径、圆心距的关系求弦长. 题型四 圆的方程的应用 1．“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷.圆拱桥的水面跨度20米，拱高约5米.现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（ ） A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 【答案】B 【解析】选.如图，拱形桥，以 所在直线为 轴，以线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，则，，，圆心在 轴上，设为，则有，即， 整理可得，解得， 所以圆心为,，半径为，所以圆的方程为. 设，则有，解得.所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为.因为，所以，所以船宽最长约为13米. 2．如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离点5米的处放置一只机器犬，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走的速度为，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点（包含地界），则机器犬将被机器人捕获，点叫成功点. （1） 求在这个矩形场地内成功点的轨迹方程； （2） 若为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问点应在何处？ 【答案】 （1） 解：如图1，以 为原点，，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 则，，设成功点，可得，即，化简得. 因为点 需在矩形场地内（包含地界），所以， 故所求轨迹方程为. （2） 当线段 与（1）中的圆相切时，，所以 ，所以. 若机器犬在线段 上都能逃脱，则 点横坐标的取值范围是,. 解决直线与圆的实际问题，其基本思路是：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题. 学科网（北京）股份有限公司 $