第1章 直线与方程 章末综合检测（一）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

章末综合检测（一） （时间：120分钟,满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线在轴上的截距是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】选 可化为，则直线在 轴上的截距为. 2．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设直线 的倾斜角为 ，斜率为,由已知可得直线 的斜率， 又，所以直线 的倾斜角是. 故选. 3．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】选.当直线 过原点时，其方程是，符合题意;当直线 不过原点时，设直线方程为，代入，可得，解得，所以方程是. 4．若直线与平行，则实数（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】A 【解析】选.因为直线 与 平行， 所以 且，解得. 故选. 5．设,,分别是中角,,所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】C 【解析】选.由题设，的斜率为，的斜率为，又，则，即两直线垂直. 6．已知点到直线和直线的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】选.因为直线 和直线 平行，且点 到他们的距离相等，所以点 在直线 上，当 时，点 到坐标原点的距离最小，最小值为. 7．设直线与直线的交点为,,分别为,上任意两点，点为的中点，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】选.如图所示，点 为 的中点，故， 又， 所以在 中，， 于是,， 故，即， 所以，解得. 8．设直线与直线关于直线对称，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.联立 得 取直线 上一点，设点 关于直线 的对称点为，则 解得,， 所以直线 的斜率，所以直线 的方程为， 整理为.故选. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线，直线，则（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线恒过点 C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】选.对于，，即，故直线 在 轴上的截距为，故 正确； 对于，，即，令，，可得，，即直线 恒过点，故 错误； 对于，当，即 时，，故，故 正确； 对于，当 时，令，，此时直线，与直线 重合，两直线不平行，故 错误. 10．已知点，直线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 过点与直线平行的直线方程为 B. 过点与直线垂直的直线方程为 C. 点关于直线对称的点为 D. 直线关于点对称的直线方程为 【答案】ACD 【解析】选.对于，设过 点与直线 平行的直线为，将 代入，得，解得，故过 点与直线 平行的直线为，正确；对于，设过 点与直线 垂直的直线为，将 代入，得，解得，故过 点与直线 垂直的直线为，错误；对于，设点 关于直线 对称的点为，故 解得 故点 关于直线 对称的点为，正确；对于，因为，故 点不在直线 上，故直线 关于点 对称的直线与直线 平行，设 上一点 关于 对称的点为，则 解得 故，设直线 关于点 对称的直线方程为，将 代入，得，解得，故直线 关于点 对称的直线方程为，正确.故选. 11．已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.设点 到直线的距离为，对于，，故直线上不存在到点 的距离等于4的点，故 不符合题意；对于，，所以在直线上可以找到不同的两点到点 的距离等于4，故 符合题意；对于，，故直线上存在一点到点 的距离等于4，故 符合题意；对于，，故直线上不存在点 到点 的距离等于4，故 不符合题意．故选. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若直线与直线平行，则它们之间的距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，可得，故 化简为，所以两直线之间的距离为. 13．已知直线过点和点，直线，直线.若，，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由于直线 的斜率为，且，则直线 的斜率为，解得.由于，直线 的斜率为，直线 的斜率为，所以，解得，所以. 14．直线与直线相交于点，对任意实数，直线,分别恒过定点，，则的最大值为_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】直线，由 得，即点， 直线，由 得 即点， 且两条直线满足，所以，即， 则， 所以， 当且仅当 时，等号成立， 所以 的最大值为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在①它的倾斜角比直线的倾斜角小，②与直线垂直，③在轴上的截距为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：已知直线过点，且  ，求直线的方程． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：选①，的斜率，故直线的倾斜角为，所以直线 的倾斜角为，直线 的斜率为， 故直线 的方程为，即. 选②，与直线 垂直，可设直线 方程为， 又直线 过点，所以，解得， 故所求直线方程为. 选③，由直线 在 轴上的截距为 知，直线过点，又直线 过点， 故所求直线方程为，即. 16．（本小题满分15分）已知直线与直线,． （1） 若，求的值；（6分） （2） 若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．（9分） 【答案】 （1） 解：因为，所以，且，, 解得 或（舍去）, 所以. （2） 因为点 在直线 上， 所以，得，所以点 的坐标为，由题知，直线 的斜率存在且不为0，所以设直线 的方程为， 令，则，令，则， 因为直线 在两坐标轴上的截距之和为0， 所以，解得 或， 所以直线 的方程为 或. 17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点，,直线. （1） 当点到直线的距离最大时，求的值；（5分） （2） 在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点，，其中在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程.（10分） 【答案】（1） 解：当直线 时,点 到直线 的最离最大,因为直线 的斜率为,所以. （2） 当直线 的斜率不存在时,易得,,此时 的面积为. 当直线 的斜率存在时,设,,, 则. 联立 解得,且. 所以 的面积. 当 时,等号成立. 综上，的面积的最小值为24，此时直线. 18．（本小题满分17分）已知点和非零实数 ，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为 ，则称直线，是一组“ 共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是原点． （1） 已知，是一组“共轭线对”，且直线，求直线的方程；（7分） （2） 已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线，的距离之积的取值范围．（10分） 【答案】 （1） 解：由题意得，与 的交点为原点，且，解得， 所以直线 的方程为. （2） 由题意得，，， 设，， 点 到，的距离分别为，， 则 ， 因为，当且仅当 时等号成立，所以， 所以， 所以原点 到直线，的距离之积的取值范围为. 19．（本小题满分17分） （1） 已知一条动直线.求证：直线恒过定点，求出定点的坐标，并求出点到动直线的最大距离；（8分） （2） 若直线与，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：的周长为12；的面积为6，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由.（9分） 【答案】 （1） 解：将直线 的方程 变形为， 由 可得 因此，直线 恒过定点. 当直线 垂直于直线 时，点 到直线 的距离最大， 点 到直线 的最大距离为 ， 所以点 到动直线 的最大距离为. （2） 假设存在点 和点 满足要求，则 解方程可得 或 所以直线 的方程为 或， 故存在直线 或 满足条件. 8/133 学科网（北京）股份有限公司 $