5.3.3 第1课时 函数的最大（小）值-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“函数的最大值与最小值”，通过“群山最高山峰与最低山谷”的情境导入，衔接上节课函数极值的局部概念，引出最值的整体性，构建“极值—最值”的知识支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合数学思维中的逻辑推理，通过例2含参数函数的分类讨论、跟踪训练3由最值求参数范围等分层例题，培养学生用数学语言表达解题过程的能力。学生能系统掌握求最值方法，教师可直接用于课堂实施，提升教学效率。

第5章 导数及其应用 1 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.3 最大值与最小值 2 上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处， 而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的山谷，我们既要有俯视一切的雄 心和气魄，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦 虚和胸怀，更要有“上九天揽月，下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今 天要探究的函数的最值． 返回导航 新课导入 3 1.会求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 2.体会导数与最值的关系. 3.会利用导数解决实际问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 函数的最大（小）值 思考 函数极值与最值有什么关系？ 提示 （1）函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和 最小值是一个整体性概念. （2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数 的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最 大值、最小值只能有一个. （3）极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有 最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取 得时必定是极值. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.函数的最大值与最小值 （1）如果在函数定义域内存在,使得对任意的,总有 ①___ ,那么 为函数在定义域上的最大值. （2）如果在函数定义域内存在，使得对任意的，总有 ②___ ，那么 为函数在定义域上的最小值. 2.求可导函数在区间 上的最大值与最小值的步骤 （1）求在区间 上的③______； （2）将第一步中求得的④______与⑤______,⑥______比较，得到 在 区间 上的最大值与最小值. 极值 极值 返回导航 8 ［例1］ （对接教材例6,例7）求下列各函数的最值. （1）， ； 【解】 ， 因为在 内恒大于0， 所以在 上单调递增. 故当时， ； 当时， . 返回导航 9 （2）， . 【解】，令 ，得 ， 又，解得或 . 计算得， ，， . 所以当时，有最小值 ； 当 时，有最大值 . 返回导航 10 求函数最值的步骤 第一步：求函数的定义域； 第二步:求<m></m>，解方程<m></m>； 第三步：列出关于<m></m>,<m></m>,<m></m>的变化表； 第四步:求极值、端点处的函数值,确定最值. 注意 不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）已知函数 ，则( ) A.的最小值为 B.的最小值为 C.的最大值为 D. 无最小值 解析：选A．因为 ， 所以 ， 则 ， 解得 ， 则 . √ 返回导航 12 令,得 ， 当时，， 单调递减； 当时，， 单调递增． 故的最小值为 ，无最大值．故选A． 返回导航 13 （2）若是直线上的一点，点是曲线 上的一点， 则 的最小值为 ____． 解析：因为点是曲线 上的一点， 故设, ， 所以到直线的距离为 ， 令，则.令 ，得 ， 返回导航 14 当,,单调递增；当,, 单调递减； 所以 ， 所以，所以的最小值为 . 返回导航 15 二 含参数的函数的最值问题 ［例2］ 已知函数.求函数在 上的最小值. 【解】 ， 令，得， . ①当时，在上单调递减，在 上单调递增， 所以 . ②当时，，在 上单调递增，所以 . 返回导航 16 ③当时，在上单调递减，在 上单调递增， 所以 . 综上所述，当时，的最小值为 ； 当时， 的最小值为0； 当时，的最小值为 . 返回导航 17 母题探究 当时，求函数在 上的最值. 解： ， 令，得， . 因为，所以 ， 所以在上单调递增，在上单调递减，在 上单调 递增. 因为， ， 返回导航 18 ， ， 所以 ， . 返回导航 19 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题. （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论 导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知 区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极 值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 返回导航 20 ［跟踪训练2］ 已知函数在 处有极 小值. （1）求 的值； 解：因为 ，则 ， 又因为在处有极小值，则 ， 解得或 ， 返回导航 21 ①当时，则，令，得 或 ， 当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 当时，，单调递增，所以当时， 取得 极小值，符合题意； 返回导航 22 ②当时，，令，得 或 ， 当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 当时，， 单调递增， 所以当时， 取得极大值，不符合题意，舍去. 综上所述， . 返回导航 23 （2）求函数在 上的最大值. 【解】由（1）可知， ，且 在,上单调递增，在 上单调递 减， ，如图所示， 又因为 ，则有： ①当时，则在 上单调递增， 所以函数在上的最大值为 ； 返回导航 24 ②当时，结合图象可知，函数在 上的最大值为 ； ③当时，则在上单调递增，在 上单调递减， 且，所以函数在 上的最大值为 . 综上所述： 返回导航 25 三 由函数的最值确定参数的值 ［例3］ 已知函数, 的最小值为13，最大 值为53，求, 的值. 【解】 由题设知， , 令,解得（舍去）或 . 返回导航 26 （1）当,且变化时，, 的变化情况如表所示： 1 2 4 0 - 由表知，当时，取得极大值,也就是函数在 上的 最大值， 所以 .① 又, , 返回导航 27 所以 .② 由①②可得 （2）当，且变化时，, 的变化情况如下表： 1 2 4 - 0 返回导航 28 由表知，当时，取得极小值，也就是函数在 上 的最小值， 所以 .③ 又,,所以 .④ 由③④可得 综上所述，,或, . 返回导航 29 已知函数最值求参数的步骤 （1）求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； （2）通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值； （3）结合已知条件求出参数，进而使问题得以解决. 返回导航 30 ［跟踪训练3］ 已知函数在 上单调递减，且 在区间上既有最大值，又有最小值，则实数 的取值范 围是( ) A. B. C. D. √ 返回导航 31 解析：选C.因为函数在 上单调递减，所以 对于任意恒成立，得 ，所以 . 又因为在区间 上既有最大值，又有最小值， 所以在 上有变号零点， 即有解，得 ， 可得.因为当时，不符合题意，故 . 综上可得， . 返回导航 32 PART 02 课堂巩固 自测 33 1.函数在区间 上的最小值是( ) A. B.2 C. D. 解析：选A. ， 因为，所以 ， 所以 ， 所以在 上恒成立， 所以函数在 上单调递增， 所以 . √ 返回导航 34 2.函数 的最大值为( ) A. B. C. D. 解析：选B.因为 ， 所以 ， 易知，则 ， 所以当时， ； 当时， ； √ 返回导航 35 即当, 时， 单调递增； 当,时， 单调递减； 故在, 处取得极大值即最大值， 所以 . 故选B. 返回导航 3.（多选）（教材PT 改编）下列结论中不正确的是( ) A.若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数 在区 间 上的极大值 B.若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数 在区 间 上的极小值 C.若函数在区间上有最值，则最值一定在或 处取得 D.若函数在区间内连续，则在区间 内必有最大值与最小值 √ √ √ 返回导航 37 解析：选.若函数在区间 上有最值，则最值可能在极值点或 区间端点处取得，故A，B，C都不正确；连续函数在闭区间上一定有最值， 故D正确.故选 . 返回导航 38 4.设函数，，则 的最大值为__，最小值为___. 0 解析：由得 . 令，则，解得 ； 令，则，解得 . 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且 ， ，所以的最大值为， 的最小值为 . 返回导航 39 1.已学习：（1）函数最值的概念. （2）利用导数求函数的最值. 2.须贯通：（1）求最值的方法. （2）分类讨论的思想方法. 3.应注意：注意函数极值与最值概念的联系与区别. 返回导航 40 $