5.2.2 函数的和、差、积、商的导数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 新课导入 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否由基本初等函数的导数，研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题. 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则，能运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 2.会用导数的四则运算法则解决相关问题． 新知学习 探究 一 导数的四则运算法则 思考1．设，，试计算,,以及,试猜想它们的关系. 提示 , , ,同理.猜想,. 思考2．设,,试验证与,以及与是否相等？ 提示 , , . ， 所以, ，, 所以. ［知识梳理］ 设两个函数,均可导，则 和的导数 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 差的导数 ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 积的导数 为常数③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 商的导数 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ； ［例1］ （对接教材例3）求下列函数的导数. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 （1） 【解】方法一:可以先展开后再求导： ， 所以. 方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导： . （2） 把函数的解析式整理变形可得 ， 所以 . （3） 根据求导法则进行求导：. （4） 利用除法的求导法则进行求导： . 求函数的导数应注意的3个问题 （1）解答此类问题时常因不能熟练运用导数的四则运算法则而出错. （2）对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，运用基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形），然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程. （3）利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差形式，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导. ［跟踪训练1］．求下列函数的导数. （1） ; （2） ; （3） . 【答案】 （1） 解： . （2） . （3） . 二 导数运算法则的简单应用 ［例2］ （1） 在物理中，经常用导数来求物体在变速运动中的瞬时速度.若某物体在一次运动中的位移时间函数（位移单位：，时间单位：），则该物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. （2） 将原油精炼为汽油、柴油、塑料等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第时，原油的温度（单位：）为，则原油温度在第的瞬时变化率为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 由题意得，所以，即该物体在 时的瞬时速度为. （2） 由函数，得， 则， 即原油温度在第 的瞬时变化率为. 利用导数值求解参数问题是高考的热点问题.它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用.而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键. ［跟踪训练2］． （1） 若，则（ ） A. B. 0 C. D. 6 （2） 设,且,,求,的值. 【答案】（1） D （2） 解： , 由,, 得 解得 所以,的值分别为1，0. 【解析】 （1） 选．因为， 所以， 所以， 所以，所以. 三 与切线有关的综合问题 ［例3］ （1） 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， （2） 曲线在点处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 因为，所以， 所以曲线在点 处的切线方程为， 即. 所以 即 故选. （2） 由已知， 所以，又， 所以曲线 在点 处的切线方程为，即. 母题探究．本例（2）中，曲线的一条切线与直线垂直，则与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由 得 ，. 设 与曲线 相切于点， 则，所以，. 故切点为，所以切线 方程为， 即. 与两坐标轴的交点分别为，. 因此 与两坐标轴围成的三角形面积 .故选. （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以转化为这三个要素间的关系. （2）准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. 注意 分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设切点. ［跟踪训练3］．已知函数,曲线在点处的切线方程为，则,的值分别为_ _ . 【答案】1，1 【解析】 ， 因为，所以， 则.② 由①②可得，. 课堂巩固 自测 1．曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为， 所以所求切线斜率， 所以所求切线方程为，即.故选. 2．（多选）（教材P206T4改编）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.对于 选项，，故错误；对于 选项，，故正确；对于 选项，，故错误；对于 选项，，故正确.故选. 3．若函数的导函数为，且满足，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由， 得， 令，则， 解得， 所以，. 4．在平面直角坐标系中，若曲线,为常数过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知, 直线 的斜率为. 所以 解得 所以. 1.已学习：导数的四则运算法则. 2.须贯通：在运用法则求导时，对于复杂的函数可先化简函数解析式再求导. 3.应注意：注意公式的准确使用，不要想当然，如. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.，故 不正确；，故 不正确；，故 正确；，故 不正确.故选. 2．若函数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】选.因为，易知 为奇函数，所以. 3．已知,若,则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】选.由题得 . 所以， 解得. 4．[（2025·南通期末）]函数是自然对数的底数的图象在点处切线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选., 所以. 所以所求切线的倾斜角是. 5．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】选.由已知可得，， 根据导数的几何意义可知， 曲线 在点 处的切线斜率为. 所以，切线方程为. 作出图象如图所示， 联立 可得. 联立 可得. 所以. 6．（多选）若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.由题意可知，必为偶函数. 对于，为奇函数； 对于，为偶函数； 对于，为偶函数； 对于，为非奇非偶函数.故选. 7．设函数.若，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】由于， 故， 解得. 8．已知函数，则在处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】，令， ，解得， 则，则，则 在 处的切线方程为，即. 9．设函数，则_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】方法一：因为， 所以， 则. 方法二：设，则 所以， 即，故. 10．（13分）求下列各函数的导数. （1） ；（4分） （2） ；（4分） （3） .（5分） 【答案】 （1） 解：， 所以. （2） ， 所以. （3） ，所以. B 能力提升 11．已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意可知， 设切点为，则切线方程为， 因为切线过原点，所以， 解得，则. 12．下列图中有一个图象是函数,且的导函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】选.,在题图1与题图2中，导函数的图象的对称轴都是 轴，此时,与题设不符合，故题图3中的图象是函数 的导函数的图象.由题图3知,则,又由根与系数的关系得,所以解得. 故, 所以. 13．已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，,则_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】设切点为，由， 得， 则切线的斜率， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，而,是此方程的两个实根， 所以. 14．（13分）已知函数，其导函数. （1） 求,的值；（5分） （2） 设函数,求曲线在处的切线方程.（8分） 【答案】（1） 解：由题意得,所以,. （2） 由（1）可知, 所以, 所以, 又,所以曲线 在 处的切线方程为, 即. C 素养拓展 15．（15分）已知函数. （1） 求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（6分） （2） 过点作曲线的切线，若切线有且仅有1条，求实数的值.（9分） 【答案】 （1） 解：， 则，， 故曲线 在点 处的切线方程为，分别令,， 得，，则切线与两坐标轴交点为，，则所围成的三角形面积为. （2） 设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为. 直线过点，则，化简得， 切线有且仅有1条，即， 即，解得 或. 学科网（北京）股份有限公司 $