5.2.1 基本初等函数的导数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 新课导入 高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷，设一高铁走过的路程单位：关于时间单位：的函数为,求它的瞬时速度，就是求的导数.根据导数的定义，就是求当时，所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如,很难运用定义求导数.今天让我们来一探究竟. 学习目标 1.能应用导数的定义求几个常用函数的导数． 2.掌握基本初等函数的求导公式． 新知学习 探究 一 基本初等函数的求导公式 思考1．导（函）数的定义式是什么？ 提示 . 思考2．试利用导数的定义分别求解,,的导数. 提示 利用 分别代入： ; ; . ［知识梳理］ 1．几个常用函数的导数 函数 导数 ,为常数 ①_ _ _ _ 为常数 ②_ _ _ _ ③_ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ ⑦_ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ； ； ； ； 2.基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 为常数 ,且 ,且 ［例1］ （1） 下列求导数运算中正确的是（ ） A. B. C. D. （2） 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】（1） D （2） B 【解析】 （1） 对，，故 错误；对，，故 错误；对，，故 错误；对，，故 正确. （2） 因为，所以， 所以. 用公式求函数导数的方法 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. （2）对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如可以写成，可以写成等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. ［跟踪训练1］． （1） 若 ，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 （2） 设，，， ，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.因为函数 是常函数，所以. （2） 由已知得，，，，，， ，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则. 二 利用导数研究曲线的切线方程 ［例2］ （对接教材）已知函数. （1） 求该函数在处的切线方程； （2） 求该函数过原点的切线方程. 【答案】 （1） 【解】当 时，，所以此时切点为，由 可得， 所以切线的斜率， 则利用点斜式方程可得到，即. （2） 显然当切线斜率不存在时，不合题意； 故设切线方程为，切点，斜率， 所以，将切点代入得，又因为切点在 上， 所以当 时，，即切点为， 斜率，所以切线方程为， 即. （1）利用导数的几何意义解决切线问题的情况 ①若已知点是切点,则曲线在该点处的切线的斜率就是曲线在该点处的导数； ②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. （2）求过点与曲线相切的直线方程的步骤 ［跟踪训练2］． （1） 求函数在处的切线方程. （2） 已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【答案】 （1） 解：因为， 则， 则，， 因此，函数 在 处的切线方程为，即. （2） 解：因为点 不在曲线 上. 所以设切点为， 因为，则切线的斜率. 又切线的斜率， 所以，即，所以，，所以切线方程为，即. 三 导数公式的实际应用 ［例3］ 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有1单位氡气，那么天后，氡气的剩余量为单位.（参考数据：,） （1） 氡气的散发速度是多少？ （2） 的值是什么（精确到）？它表示什么意义？ 【答案】 （1） 【解】氡气的散发速度就是剩余量函数的导数， 因为，所以. （2） 因为， 所以. 它表示在第7天附近，氡气大约以0.051单位/天的速度自然散发. 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量在某一时刻的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. ［跟踪训练3］．从时刻开始的秒内，通过某导体的电量单位：可以由公式表示.求第5秒和第7秒时的电流强度单位：. 解：由 得， 所以，， 即第5秒和第7秒时的电流强度分别是，. 课堂巩固 自测 1．（多选）下列选项正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】BCD 【解析】选.对于，，故 错误；对于，因为，所以，故 正确；显然，正确. 2．已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.，则，即切线斜率为， 因为直线的倾斜角的取值范围是，所以该切线的倾斜角为. 3．已知,.若，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】,， 由, 得,解得. 4．不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体.已知氯化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长变化时，其体积关于的变化率是立方体表面积的_ _ _ _ _ _ 倍. 【答案】 【解析】立方体的体积，表面积 .因为， 所以其体积关于 的变化率为，是立方体表面积的 倍. 1.已学习：基本初等函数的求导公式. 2.须贯通：（1）利用公式求导时，一般遵循“先化简，再求导”的原则. （2）导数公式求解切线问题和实际问题. 3.应注意：易混淆指数函数，且与幂函数 为常数的求导公式. 课后达标 检测 A 基础达标 1．函数的导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由 可得. 2．已知，若,则的值是（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】选.,,得. 3．已知，则,则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】选.，得，所以,解得. 4．曲线的斜率等于1的切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】选.，设切点为，则，得，即在点 和点 处均有斜率为1的切线，所以有2条斜率等于1的切线. 5．（多选）下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】选．因为，所以 不正确；因为，所以 不正确；因为，所以 正确；因为，所以 不正确． 6．（多选）曲线在点处的切线的倾斜角为,则点的坐标为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】AB 【解析】选.切线的斜率. 设切点 的坐标为,则. 又因为,所以,解得 或， 所以切点 的坐标为 或.故选. 7．已知函数，则_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】，所以. 8．若曲线在处切线的倾斜角为，则_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】，所以 所以. 9．若曲线 在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数的值是_ _ _ _ ，切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】4； 【解析】因为, 所以切线方程为，. 令，得； 令,得. 由题意知, 所以. 所以切线方程为, 即. 10．（13分）求下列函数的导数. （1） ；（3分） （2） ；（3分） （3） ；（3分） （4） .（4分） 【答案】（1） 解：. （2） . （3） 因为 是常函数，所以. （4） 因为， 所以. B 能力提升 11．已知函数若,则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】选. 若, 则 或 解得 或. 12．（多选）已知曲线,则过点且与曲线相切的直线方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.设过点 的直线与曲线 相切，切点为,,由，得,所以切线方程为,即,则,解得 或，所以切线方程为 或.故选. 13．已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，则当点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ 时，最小，此时最小值为_ _ _ _ . 【答案】； 【解析】如图，当直线 与曲线 相切且与直线 平行时，切点 到直线 的距离即为 的最小值.易知，令，得，故此时点 的坐标为，所以 的最小值为. 14．（13分）设曲线在点处的切线与轴，轴围成的三角形面积为. （1） 求切线的方程；（6分） （2） 求的解析式.（7分） 【答案】（1） 解：因为，所以，则，可得在点 处的切线斜率，则切线方程为，即. （2） 令，则，令，则， 所以,. C 素养拓展 15．（15分）已知点，，函数. （1） 过坐标原点作曲线的切线，求切线方程；（5分） （2） 在曲线上是否存在点，使得过点的切线与直线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由.（10分） 【答案】 （1） 解：设切点为. 因为，所以. 由题意可得，解得， 所以切线方程为， 即. （2） 过点，的直线的斜率为. 假设存在点，使得过点 的切线与直线 平行.设，， 则有，得. 又，所以，所以在曲线 上存在点，使得过点 的切线与直线 平行，且点 的横坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $