1.2.1 直线的点斜式方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦直线的点斜式与斜截式方程核心知识点，前承直线的倾斜角与斜率概念，后启其他直线方程形式。通过“过点与斜率确定直线”的思考链搭建学习支架，从定义推导到例题解析、跟踪训练，层层递进构建知识体系。 以射击瞄准情境导入培养数学眼光，通过问题链引导抽象思维发展数学思维，母题探究与分层检测（基础到素养拓展）强化应用。课中助力教师高效授课，课后学生可依此回顾强化，提升用数学语言解决过定点、面积最值等问题的能力。

1.2 直线的方程 1.2.1 直线的点斜式方程 新课导入 射击运动员在进行射击训练时，要掌握两个动作要领:一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线,并且运动员达到了上述的两个动作要求,试从数学角度分析子弹是否会命中目标. 学习目标 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题. 新知学习 探究 一 直线的点斜式方程 思考1．在平面内，过点的直线有多少条？ 提示 无数条. 思考2．在平面内，斜率为的直线有多少条？ 提示 无数条. 思考3．在平面内，过点且斜率为的直线有多少条？ 提示 有且只有一条. ［知识梳理］ 1．定义：一般地，如果直线经过点,斜率为，则方程①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫作直线的点斜式方程. 【答案】 2．当直线与轴垂直时，斜率不存在，直线的方程为②_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［例1］ （对接教材例1）根据下列条件，分别写出直线的方程： （1） 倾斜角为 ，且经过点； （2） 经过点，且平行于轴； （3） 经过点，斜率为3； （4） 经过点,. 【答案】 （1） 【解】因为倾斜角为 ,所以直线的斜率为. 由点斜式得直线方程为，即. （2） 因为平行于 轴，所以直线的斜率为0， 又因为直线过点，所以直线方程为. （3） 由点斜式得直线方程为，即. （4） 由题意得直线 的斜率, 由点斜式得直线方程为，即. 利用点斜式求直线方程的方法 （1）用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和直线上一个点的坐标.注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程. （2）已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程. ［跟踪训练1］． （1） 已知直线经过坐标原点，且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. （2） [（2025·阜阳期中）]将直线绕点顺时针旋转 得到的直线的点斜式方程是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.设直线 的倾斜角为 ，则，又，所以.所以直线 的倾斜角为，则直线 的斜率，又直线 经过坐标原点，所以直线 的方程为.故选． （2） 因为直线 的斜率为1，所以其倾斜角为 .将其顺时针旋转 ，所得直线的倾斜角为 ，所以所求直线的斜率为.所以所求直线的点斜式方程为. 二 直线的斜截式方程 思考．直线的斜截式方程是一次函数吗？ 提示 斜截式方程不一定是一次函数的解析式，因为斜截式方程中当 时，为一次函数；当 时，不是一次函数.而一次函数的解析式 一定可以看成一条直线的斜截式方程. ［知识梳理］ 已知直线的斜率为，与轴的交点是,我们把直线与轴的交点的纵坐标称为直线在轴上的①_ _ ，方程②_ _ _ _ _ _ _ _ 由直线的斜率和它在轴上的截距确定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程. 【答案】截距； 提醒：（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. （2）截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0（当截距均为0时直线过原点）. （3）一次函数的图象是一条直线，直线的斜截式方程就是函数解析式,其中是直线的斜率,是直线在轴上的截距. ［例2］ 求满足下列条件的直线的方程. （1） 斜率为2，在轴上的截距为； （2） 倾斜角为直线的倾斜角的一半，在轴上的截距为； （3） 倾斜角为 ，在轴上的截距为3. 【答案】（1） 【解】由题意得，，由斜截式得直线方程为. （2） 因为直线 的斜率为， 所以其倾斜角为 ，故所求直线的倾斜角为 ，所以.又，所以直线方程为. （3） 因为直线的倾斜角为 ，所以其斜率.又，所以所求直线方程为. 母题探究．将本例（3）的条件“在轴上的截距为3”变为“与轴的交点到原点的距离为3”，求直线的方程. 解：因为直线的倾斜角为 ，所以其斜率.因为直线与 轴的交点到原点的距离为3，所以直线在 轴上的截距 或.所以所求直线方程为 或. 直线的斜截式方程的求解策略 （1）求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在轴上的截距，代入方程即可. （2）当斜率和在轴上的截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和在轴上的截距，再写出直线的斜截式方程. 注意 在斜率存在的条件下，才能用斜截式表示直线的方程. ［跟踪训练2］． （1） 已知直线的倾斜角为 ，且过点，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. （2） 如果直线的斜率和在轴上的截距分别为直线的斜率的一半和在轴上截距的两倍，那么直线的斜截式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.直线 的斜率为，方程为，当 时，，所以 在 轴上的截距为. （2） 直线 的斜率为，在 轴上的截距为2，则直线 的斜率为，在 轴上的截距为，故直线 的斜截式方程为. 三 点斜式与斜截式方程的应用 ［例3］ 已知直线，当变化时，所有的直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】直线 变形为， 由直线的点斜式可得直线恒过定点. 母题探究1．若本例（1）中的直线不经过第四象限，求的取值范围. 解：直线 可化为， 因为直线不经过第四象限， 所以 解得.所以 的取值范围为. 母题探究2．若本例（1）中的直线与，轴正半轴分别交于，两点，求面积的最小值. 解：直线 可化为， 当 时，，解得， 当 时，， 解得 或， 综上，， ，当且仅当，即 时取等号， 所以 面积的最小值为6. （1）直线过定点问题的求解策略 解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成的形式，则直线必过定点. （2）直线的点斜式与斜截式方程的常见应用 由直线方程可以确定直线的位置，计算与坐标轴交点的坐标，求解多边形的面积以及解决夹角和距离等问题. ［跟踪训练3］． （1） 已知直线恒过定点，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜率为的直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 直线，令，得， 则直线 恒过定点. （2） 设直线 的方程为， 令，可得；令，可得. 由题意可得，，解得，所以直线 的方程为. 课堂巩固 自测 1．（教材（5）改编）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.斜率为，在 轴上的截距为 的直线 的方程为. 2．若直线的斜率，又过一点，则直线经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意知，直线，整理得.验证选项，仅有 选项符合方程.故选. 3．已知直线过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.设直线 的斜率为，则其方程为，可化为，由 在 轴上的截距的取值范围为，可得，解得.故选. 4．已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转 得到的，则直线的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】记直线 的倾斜角为 ，则，由题意直线 的倾斜角为 ，则，所以直线 的方程为,即． 1.已学习：（1）直线的点斜式方程. （2）直线的斜截式方程. 2.须贯通：（1）求点斜式方程的方法步骤. （2）斜截式方程的求解策略. （3）含参数方程问题的求解. 3.应注意：利用斜截式方程求参数时易漏掉斜率不存在的情况. 课后达标 检测 A 基础达标 1．直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.对于直线，它在 轴上的截距为. 2．若直线的倾斜角为 ，且过点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率为1，又因为直线 过点，所以直线 的方程为. 3．在平面直角坐标系中，过点且斜率为的直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】选.由题意得直线方程为，即，它与坐标轴的交点分别为,，因此直线不过第三象限． 4．已知直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.直线 不经过第一象限，则，所以. 5．方程所对应的直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由方程，得，直线的斜率，直线在 轴上的截距为.当 时，，则直线经过第一、三、四象限，且与 轴相交于负半轴；当 时，，则直线经过第一、二、四象限，且与 轴相交于正半轴.只有 选项的图象符合题意. 6．（多选）直线在轴上的截距为1，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】CD 【解析】选.令，得. 由已知得，即，解得 或，经检验，符合题意. 7．若过，两点的直线的斜率为12，则直线的斜截式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】由题意知，，解得．所以点 的坐标为，所以直线 的方程为，化简可得. 8．已知直线经过点，且直线的斜率为，若直线与轴交于点，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得直线 的方程为，即，将 代入直线方程可得，可得. 9．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设直线 的倾斜角为，则斜率，又 ，故，设直线 的倾斜角为 ，则，直线 的斜率，又直线 经过点，则直线 的点斜式方程为. 10．（13分）直线过点，斜率为，把绕点按顺时针方向旋转 得直线，求直线和的点斜式方程. 解：直线 的点斜式方程是. 设直线 的倾斜角为，因为，又 ，所以 . 如图，绕点 按顺时针方向旋转 ， 所以直线 的点斜式倾斜角为 ，所以， 所以直线 的点斜式方程为. B 能力提升 11．若直线经过第一、三、四象限，则有 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】选.直线 经过第一、三、四象限，由图知，，. 12．（多选）已知直线过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.由题意，直线 的倾斜角可以是 或 或 或， 所以直线 的斜率 或 或 或， 所以直线 的方程可以为 或 或 或， 由，整理得，此时直线过原点，无法与 轴和 轴围成直角三角形.故选. 13．已知点，，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为 _ _ _ _ _ _ ；的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】直线 在 轴上的截距为，斜率为，且直线 恒过点，则，，若直线 与线段 无交点，则 的取值范围是. 14．（13分）根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1） 斜率为，在轴上截距为；（5分） （2） 斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4.（8分） 【答案】（1） 解：直线的斜率，纵截距，所以该直线的斜截式方程为. （2） 设直线方程为，则令 得；令 得， 由题意得， 即，所以， 所以直线的斜截式方程为 或. C 素养拓展 15．（15分）已知直线的方程为. （1） 证明：直线恒过第一象限；（3分） （2） 若直线不过第四象限，求的取值范围；（5分） （3） 若直线分别与轴、轴的正半轴交于,两点，为原点，是否存在使面积最小的直线？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由.（7分） 【答案】（1） 证明：由点斜式方程 可知，直线 恒过点，该点位于第一象限，所以直线 恒过第一象限. （2） 解：方程 转化为，若直线 不过第四象限， 则 解得， 所以 的取值范围为,. （3） 存在，理由如下： 若直线 分别与 轴、轴的正半轴交于,两点， 则，,，， 所以 的面积 , 当且仅当,即 时，等号成立，故存在使 面积最小的直线，其方程为，即. 学科网（北京）股份有限公司 $