2026年中考数学一轮专题复习（陕西） 一、中考模型探究 课件

模型3　与中点有关的辅助线作法 模型应用 2 3 模型解读 1 一、中考模型探究 1.如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线,E是AB上方一点,且AE=BE,连接DE.若CD=3,AE=7,则DE的长为（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 B 2.如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AF⊥BC,BC=12,EF=3, AB=10,则△DEF的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 C 3. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC的中点,且BD=.若Rt△ABC的面积为2,则它的周长为 （ ） A. +2 B. 4 C. 2 +4 D. 2+2 C 【解析】∵∠ABC=90° ,D是边AC的中点,且BD=，∴AC=2BD=2. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=8. ∵Rt△ABC的面积为2， ∴ABBC=2,∴ABBC=4, .∴(AB+ BC)2=AB2+ BC2 +2ABBC=16,∴AB+BC =4(负值已舍),∴△ABC的周长为AB+BC+AC=4+2.故选C. 4. [2025扬州]如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC的中点,点F在线段DE的延长线上，且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则DF的长是 . 6 5.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为边AC的中点,过点D作DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F ,连接EF,若AE=4,FC=3,求△DEF的面积为 . 6.[2025陕师大附中六模]在Rt△ABC中,∠A=90°,D是边AC的中点,连接BD,E是BD的中点，连接CE.若AB=3CD,CE=4,则AB的长为 . 4 【解析】如答图,延长 DC至点F,使CF= DC,连接BF. ∵DE= EB,DC=CF, ∴CE是△DBF的中位线，∴BF= 2CE=8. ∵ CF= DC= AD, ∴AF= 3CD.又 ∵AB=3CD, ∴AF= AB.∵∠A=90°, ∴AB= AF=BF=4. 第6题答图 7.如图,已知四边形ABCD为矩形，其中AB=4,AD=2,点A,B分别在∠MON的两边上，∠MON=90°,则点O到点D的距离的最大值为 . 2+ 【解析】如答图,取AB的中点P,连接PO,PD,OD.在Rt△AOB中,OP=AP=AB =2.在Rt△PAD中,由勾股定理得PD ==2.∵OP+ PD≥OD,∴当 点P在OD上时,点O到点D的距离取得最大值,最大距离为OP+PD=2十2. 第7题答图 8.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为边BC的中点,BE=3,DE⊥DF,CF= ,则EF= . 4 【解析】如答图，延长FD至点G,使GD=FD,连接BG,EG. ∵D为边BC的中点, ∴BD=CD.在△BDG和△CDF中,∴△BDG≌△CDF (SAS), ∴BG=CF=，∠DBG=∠C.∵DE⊥DF,GD=FD,∴EF=EG.∵∠A=90°， ∴∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠DBG=90°， 即∠EBG= 90°. 在Rt△EBG中，由勾股定理得 EG==4,∴EF= EG=4. 第8题答图 9.[2025广安]已知△ABC的面积是1. (1)如图①,若D,E分别是边BC和AC的中点,AD与BE相交于点F ,则四边形CDFE的面积为 ； 【解析】如答图①,连接DE. ∵D,E分别是边BC和AC的中点，∴DE是△ABC 的中位线，∴DE∥AB,DE=AB, ∴△CDE∽△CBA,∴== ∵△ABC的面积是1,∴S△CDE=. ∵D是边BC的中点，∴S△BDE=S△CDE=. 第9题答图① ∵ DE//AB, .∴△DEF∽△ABF,∴,∴BF=2EF,∴BE= BF+BE= BF+EF=3EF,∴==,∴S△DEF=S△BDE=，,∴S四边形CDFE = S△DEF +S△CDE=. 第9题答图① (2)如图②,若M,N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点,AM与BN相交于点G,则四边形CMGN的面积为 . 【解析】如答图②,连接MN. ∵M,N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等 分点,∴MN∥AB,CM=BC,CN=AC,∴==又∵∠C=∠C,∴△CMN∽ △CBA,∴==,==，∠CMN=∠CBA.∵△ABC的面积是1, 第9题答图② ∴S△CMN=S△ABC.∵∴=5，∴==5，∴S△BMN=5S△CMN= ∵MN∥AB,∴S△MNG=S△BMN=,∴S四边形CMEN =S△MNG+S△CMN=. 第9题答图② $一、中考模型探究 模型4 利用旋转解决的全等、相似问题 3 1 2 2 全等问题 1 2 相似问题 【背景】如图①,已知等腰三角形ABC,其中AB=AC, D,E 分别为AB,AC 边上的点,且AD=AE,将△ADE 绕 点A 旋转一定的度数(如图②),连接BD,CE. 【分析】由旋转的性质得∠BAC=___________ ,则∠CAE=__________ ,∴△BAD≥△CAE(判定依据: __________ ). 【结论】①△BAD≥△CAE; ②当点D 在点A 下方且AD⊥ BC 时,点 D 到BC 边的距离最短,依据:线圆最值(见模型8); ③当点D 在点A 上方且AD丄 BC 时,点 D到BC 边的距离最大,依据:线圆最值(见模型8) ∠DAE ∠BAD SAS 例1 如图,在正方形ABCD 外取一点P, 连接AP,BP,DP.若AP=,PB=4.则DP 的最大值为 ________. 【分析】以点A 为旋转中心,将△APD 顺时针旋转90°,得到△APD≥ △AEB,再以AP 为一边构造一个等腰直角三角形,然后利用三角形三边关系求最值 例1题图 6 【解析]如答图,将△APD 绕点A顺时针旋转 90°得到△AEB，连接 EP.由旋转的性质得AE=AP=，∠EAP=90°，∴PE==2.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°,AB =AD，∴∠PAE +∠PAB=90°+∠PAB= ∠BAD + ∠PAB，∴∠BAE=∠DAP.在△AEB 和△APD 中 ∴△AEB≌△APD(SAS),∴BE=DP.∵BE<PE+PB=6,∴当点P落在线段BE上时,BE 取得最大值，最大值为6，∴DP 的最大值为 6. 【背景】如图①,在△ABC 中,D,E 分别为AB,AC 边上的点,DE∥BC,将△ADE 绕点A 旋转一定的度数(如图②),连接BD,CE. 【分析】由旋转的性质得∠BAC=_______ , 则∠CAE=_______. ∵DE∥BC, ∴_____________， ∴△BAD∽△CAE. 【结论】△BAD∽△CAE ∠DAE ∠BAD = 例2 如图,在四边形ABCD 中,AE⊥BC于点E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=CD =5,=,则BD 的长为 _________ . 【分析】旋转△ABD, 构造手拉手模型,利用相似的性质及角度的等量代换,结合勾股定理求得线段长 13 [解析]如答图，将△ABD 绕点A逆时针旋转得到△ACG， 连接DG.由旋转的性质得CG=BD，AC=AB，AG=AD， ∠CAG =∠BAD，∴∠ABC=∠ACB，∠ADG=∠AGD， ∠CAG-∠CAD=∠BAD - ∠CAD,∴∠DAG =∠BAC， ∴∠ABC=∠ACB =∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG， ∴=.∵=∴DG=BC=(BE+CE)=12. ∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+ ∠ADC=90°.∴∠GDC=90°.在Rt△CDG 中，由勾股定理得CG= =13,∴BD=CG=13. 1.如图所示,AB=AC,AD=AE,点B,D,E在一条直线上,∠BAC=∠DAE,∠DAB= 25°，∠ACE=30°,则∠ADE=（ ） A.55° B.50° C.45° D.60° A 【解析】∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC,∴∠DAB = ∠EAC.在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD ≌△CAE (SAS),∴∠ABD = ∠ACE= 30°.∵∠DAB = 25°，∴∠ADE=∠DAB+ ∠ABD=55°.故选A. 2.如图,已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,∠BAC=∠DAE= 90°,将△ADE 绕点A逆时针方向旋转,连接BD,EC,点D 在线段BE上,BC= 13,DE=7,则CE 的长为_______. 5 【解析】如答图,过点A作AH⊥BE于点 H.∵△ABC，△ADE 都是等腰直角三角形，∠DAE=∠BAC=90°,∴AB=AC,AD= AE,∠BAC-∠CAD= ∠DAE - ∠CAD，∠ABC=45°,∴∠BAD =∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE.∵△ADE 是等腰直角三角形，AH⊥DE，∴AH 是 Rt△ADE斜边DE上的中线，∴AH=DH=EH=DE=.在Rt△ABC 中,∠ABC=45°,BC=13,∴AB=BC·cos∠ABC= .在 Rt△ABH 中,由勾股定理得 BH = =，∴BD=BH -DH=5,∴CE=BD=5. 3.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°,D 为AB边上一点.若AD=5,BD=12,则DE 的长为_________. 13 【解析】∵ △ACB 和△ECD 均为等腰直角三角形，∴CD= CE,AC =BC. ∵∠ECD= ∠ACB = 90°，∴∠ACE=∠BCD,∠CAB=∠B= 45°.在△ACE 和△BCD 中，∴△ACE ≌ △BCD(SAS),∴AE=BD=12, ∠CAE=∠B=45°,∴∠EAD=∠CAE+∠CAB=90°.在 Rt△AED中，由勾 股定理得DE= =13. 4.如图,已知 Rt△ABC与Rt△EDC,直角顶点重合于点C,点D在AB上, ∠BAC=∠DEC,且sin∠BAC=,连接AE.若 BD=2,AD=7,则AE的长为________. 4 【解析】∵BD=2,AD=7,∴AB=BD+AD=9.在Rt△ABC中,sin∠BAC=, ∴BC=AB·sin∠BAC=3，∴AC= =6.在 Rt△BCA 与 Rt△DCE中，∵∠BAC=∠DEC,∴tan∠BAC=tan∠DEC,∴=. ∵∠BCA=∠DCE= 90°,∴∠BCA-∠DCA=∠DCE - ∠DCA， ∴∠BCD = ∠ACE，∴△BCD∽△ACE,∴=，∴=∴AE=4. 5.如图,△ABC 是等边三角形,且AB=4,点D 在边BC上,连接AD,将线段AD 绕点A 顺时针旋转 60°,得到线段AE,连接DE,BE.则△BED周长的最小值是________. 4+2 【解析】将线段AD 绕点A顺时针旋转 60°，得到线段AE,∴AD=AE, ∠DAE=60°,∴△ADE 是等边三角形，∴DE=AD.∵△ABC 是等边三 角形，∴AB=AC,∠BAC=60°.∵∠DAE=60°,∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠BAD=∠DAE-∠BAD,∴∠BAE=∠CAD.又∵AD=AE, AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS),.∴BE=CD,∴△BED 的周长为BE+BD+ED=CD+BD+AD=BC+AD.当AD⊥BC时,AD 取得最小值， 即△BED 的周长取得最小值.∵AD⊥BC,BC=4，∴BD=CD=2.在 Rt△ADB中,由勾股定理得AD= =2,∴△BED 周长的 最小值是BC+AD=4+2. 6. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置,点B,C的对应点分别为B',C',连接C'B,BB',则∠BC'B'的度数是__________°. 135 【解析】∵∠C=90°,AC=BC,∴∠ABC=∠BAC=45°.∵将△ABC 绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，∴∠AB'C'=∠B'AC'=∠ABC =45°,∠BAB'=60°,AB'=AB,B'C'=AC',∴△ABB'是等边三角形，∴AB' =B'B=BA,∠AB'B=∠B'AB=60°,∴∠BB'C'+∠AB'C'=∠B'AC'+∠BAC',∴∠BB'C'=∠BAC'.在△BC'B'和△BC'A中， ∴△BC'B'≌△BC'A(SAS),∴∠BC'B'=∠BC'A=(360°-∠AC'B')=135°. 7.如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0),B是y轴正半轴上一动点,以AB 为边在 AB 的下方作等边三角形ABP,当点B在y轴上运动时,OP 的最小值为______. 【解析】如答图，以OA为对称轴作等边三角形ADE,连接 EP,并延长 EP交x轴于点F，∴∠AED=∠ADE=∠DAE= 60°,∴AO=OE=3,∴OE=.∵△ADE 和△ABP是等 边三角形，∴AB=AP,AD=AE,∠BAP =∠DAE=60°, ∴∠BAD=∠PAE.在△AEP 和△ADB 中，∴△AEP ≌△ADB(SAS),∴∠AEP=∠ADB=120°,∴∠OEF=60°,∴.OF=OE=3,∠OFE=30°,∴点P在直线EF上运动.当OP⊥EF时,OP 取得最小值,∴OP =OF=，∴OP 的最小值为. 8.如图,在矩形 ABCD 中,AD=6,DC=8,E为对角线AC上一动点,BE⊥BF， ,BG⊥EF于点G,连接CG,当CG 最小时,CE 的长为________. 【解析】如答图,过点B作BP⊥AC 于点P,连接PG. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB=CD=8,BC=AD=6, ∠ABC=90°，∴==.∵BE⊥BF,∴∠EBF= 90°=∠ABC,∴ △EBF ∽ △ABC，∴∠FEB= ∠CAB.在 Rt△ABC中,由勾股定理得AC= =10,∴=.∵∠EGB=∠APB=90°, ∴△BEG∽△BAP, ∴====,∠ABP=∠EBG,∴∠ABE= ∠PBG,∴△ABE∽△PBG,∴∠BPG=∠BAE,即在 点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于 ∠BAC.当CG⊥PG 时,CG取得最小值,设此时AE=x. ∵=，∴PG=x.∵CG⊥PG,∴∠PCG=∠BPG=∠BAC,∴=, ∴=，解得CP=x.∵CP=BC·sin∠CBP=BC▪sin∠BAC=,∴x=, ∴AE=,∴CE=AC-AE=. 9.如图,四边形 ABCD和四边形AEFG都是正方形,C,F,G三点在同一直线上,连接AF 并延长交BE边CD于点M,连接BE,AC.若DM=2,CM=4,则= ________,正方形AEFG 的边长为_________. 【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∠BAC=45°,AB=AC.同理可得AE=AF,∴==.∵∠BAC=∠EAF=45°,∴∠BAC- ∠CAE = ∠EAF - ∠CAE,∴∠BAE = ∠CAF，∴△ABE∽△ACF,∴ =.∵DM=2,CM=4,∴AD=CD=DM+CM=6.在 Rt△ADM中，由勾股 定理得AM ==2.∵∠CFM=∠AFG=45°=∠ACD,∠AMC =∠CMF,∴△MFC∽△MCA,∴=，∴FM==，∴AF=AM-FM=,∴AG=AF=,即正方形AEFG 的边长为. $模型2　与角平分线有关的辅助线作法 模型应用 2 3 模型解读 1 一、中考模型探究 1.[2025高新一中六模]如图,DE是△ABC的中位线,∠ACB的平分线交DE于点F.若AC=6,BC =13,则DF的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 B 2. [2025交大附中二模]如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD=AD=6,DF ⊥AC于点F,DF=4,则AB的长为（ ） A.8 B.10 C.4 D.2 C 3.如图,OD是∠AOB的平分线,DE⊥OA于点E,点C在OB上,连接CD, ∠BCD=30° ,OC=6.若CD∥OA,则DE的长度是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 C 4. 如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A= ∠ABD.若AC=5,BC=3,则BD的长为（ ） A.1 B.1.5 C.2 D.4 A 5.[人教八上P12改编]如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,DE∥AB交AC边于点E.若AB=2AE=4,AD= ,则△ADE的周长为 （ ） A. B. C. 8 D. A 6.[2025高新一中七模]如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AB于点E,AD,CE相交于点F,连接BF.若BF平分∠ABC,EF=3,BC=9,则△CDF的面积为 （ ） A. B. C. D. 6 C 7.[2025西工大附中六模]如图,在△ABC中,AB +AC=18,AD平分∠BAC, DE⊥AB于点E.若DE=4,则△ABC的面积为 （ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 D 8.如图,△ABC的面积为8 cm2 ,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接CP,则△PBC的面积为（ ） A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2 C 9. 如图，在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,且AD=CD.若∠CBD=,则∠ADC= （ ） A. 3 B. 90°+2 C. 135°－ 2 D. 180°－2 D 【解析】如答图,作DF⊥BC于点F,DE⊥BA交BA的延长线于点E，则∠E= ∠BFD =∠DFC= 90°.∵BD平分∠ABC, ∴DE=DF,∠ABD= ∠CBD = . 在Rt△ADE和Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF ( HL)， ∴∠ADE = ∠CDF，∴∠ADC=∠CDF+∠ADF=∠ADE+∠ADF=∠EDF. ∵∠EDF=360°－∠E－∠BFD－∠ABC= 180°－2，∴∠ADC=180°－2. 故选D. 第9题答图 10.[2025遂宁]在Rt△ABC中,∠C=90° ,AB= 13, BC=5,结合尺规作图痕迹提供的信息,求出线段AQ的长为 （ ） A. 2 B. 2 C. 6 D. A 【解析】由勾股定理得AC= =12.由作图痕迹可得BG平分∠ABC, ∴∠CBG=∠ABG.如答图,设BG,AC交于点M,作MN⊥AB于点N,则CM=MN. 设CM=MN=x.∵S△ABC=S△MBC+S△ABM,∴BCAC=BCCM+ABMN,即5×12 = 5x+ 13x，解得x=，即CM=，∴BM==. 第10题答图 由作图痕迹可知AQ⊥BH,∴∠AQB= ∠C=90°. ∵∠ABQ=∠MBC, ∴△ABQ∽△MBC, ∴=,即=,解得AQ=2故选A. 第10题答图 11. 如图，在△ABC中,AB=4,AC=6,AD是∠BAC的平分线,M是BC的中点,ME∥AD交AC于点F,交BA的延长线于点E,则BE= . 5 【解析】如答图,过点B作BN∥AC交AD的延长线于点N.∵AD是∠BAC的平 分线，∴∠ BAD=∠DAC.∵BN∥AC，∴∠N=∠DAC，∴∠N =∠ BAD, ∴BN=BA=4. ∵BN∥AC,∴△DBN∽△DCA, ∴==设BD=2x,则DC=3x, ∴BC=5x.∵M是BC的中点,∴BM=CM=x, ∴DM= x. 第11题答图 ∵ME ∥AD,∴==5,∠BAD=∠E,∠DAC=∠EFA，∴∠E=∠AFE， ∴AE=AF.∵AC=6, ∴AE=AF=AC=1,∴BE=5. 第11题答图 $模型1　代数法解决线段、面积问题 模型应用 模型构建 2 3 3 模型解读 1 一、中考模型探究 例[北师八下P137改编]如图,已知四边形ABCD为平行四边形,∠A=45° , AD=4,AB=14. E,F分别为CD,AB边上的动点，且BF= 2DE.若四边形DFBE的面积为6,则AF的长为 . 【分析】设DE=t,然后利用含t的解析式表示出梯形DFBE的面积,根据梯形面积列出方程求出t的值,进而求出AF的长 10 题图 【解析】如答图,过点D作DH⊥AB于点H,∴∠DHA=90°,∴DH= ADsin A=2.设DE=t,则BF=2t.由题意得S梯形DFBE=(t+2t)2=6, 解得t=2,∴BF=2t=4,∴AF=AB－BF= 10. 答图 1. [2025甘肃]如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB= 90°,D为边AB的中点.动点P从点A出发,沿边AC→CB方向匀速运动,运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y,y与x的函数图象如图②所示,当点P运动到CB的中点时,PD的长为（ ） A.2 B.2.5 C.22 D.4 A 【解析】由图②可知,△APD的面积先增大，再减小.如答图①,当点P运 动到点C时,△APD的面积最大.根据函数图象可得此时△APD的面积为 4.∵D为边AB的中点,△ABC是等腰直角三角形，∴S△ABC=2S△ADP= 8=AC2,解得AC=4.如答图②,当点P运动到CB的中点时，∵D为边AB的中 点，∴DP=AC=2.故选A. 第1题答图 2. [2025烟台]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC= BC,AD是角平分线.点E从点A出发,沿AB方向向点B运动,连接CE,点F在BC上,且∠CEF=45°.设AE=x,FD=y,若y关于x的函数图象过点(0,2),则该图象上最低点的坐标为 （ ） A. (,) B.(,) C.(,3) D.(3) B 【解析】∵∠ACB=90° ,AC=BC,AD是角平分线,∴∠CAB=∠B=45°， ∠CAD=∠BAD=22.5°.设AC=BC=m.在Rt△ACB中,由勾股定理得AB= = m.如答图,在AC上取一点Q,使AQ=DQ,∴∠QDA= ∠QAD=22.5°，∴∠AQD= 180∠QDA∠QAD=135°, ∴∠CQD= 180∠AQD=45°=∠CDQ, ∴CQ=CD=QD=AQ, ∴CQ+CQ=m,解得CD=CQ=( 1)m.∵∠CEF= ∠CAB=45°，∠CEF+∠BEF=∠ACE+∠CAE， 第2题答图 ∴∠BEF=∠ACE，∴△ACE∽△BEF，,∴=, ∴BF=∴DF=y=m(1)m()m ∵y关于x的函数图象过点(0,2 ),∴(2)m=2,解得m=1, ∴y=2 (x)x=x2x+2. ∵1>0,当 x==时，y= ,∴该图象上最低点的 坐标为(，故选B. 第2题答图 3. 如图，在△ABC中,∠C=90°,AC=2 cm,BC=4 cm,M,N分别是线段AC和BC.上的动点,点M从点A出发,以1 cm/s的速度向点C运动,同时点N从点C出发,以2 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动.设运动的时间为t,则当t的值为 时,△MCN的面积最大,最大值为 cm2. 1 1 【解析】由题意得CM=2t,CN= 2t,∴S△MCN=2t(2t)=t+2t=(t1)2+1. ∵-1<0, ∴当t的值为1时，△MCN的面积最大，最大值为1 cm2 4. 若四边形有一-组对角互补，-组邻边相等,且相等邻边的夹角为直角,像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形,简称“直等补”四边形.如图，四边形ABCD是“直等补”四边形,AD=CD,∠ABC= 90° ,连接AC,BD,BD=4,当CD为 时,△ABC的面积最大,最大值是 . 4 8 【解析】如答图，将△BCD绕点D顺时针旋转90°得到△B'AD.由旋转 的性质得B'D= BD,∠BDB' =90°,∴△BDB'是等腰直角三角形. ∵ BD= 4, ∴BB'=BD=8.设AB=a,B'A=BC=b,则a +b=8,.b=8a.S△ABC=ABBC =ab=a(8a)=a2+4a=(a4)2+8,∴当a=4时,△ABC的面积取得最大 值,最大值是8,此时AB= BC=4.∵∠ADC= 90°,AD=CD,.AD2+CD2=2CD2= AB2+BC2=32,∴CD=4. 第4题答图 5. [2021陕西,26]问题提出 (1)如图①,在▱ABCD中,∠A=45°,AB=8,AD=6,E是AD的中点,点F在DC上,且DF=5,求四边形ABFE的面积(结果保留根号); 解:如答图①,过点A作AH⊥CD交CD的延长线于点H,过点E作EG⊥DH于 点G,则∠H=90° ,AH∥EG. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=8,AB∥CD, ∴ ∠ADH=∠BAD=45°. 在Rt△ADH中,AD=6, ∴AH=ADsin∠ADH=3 . ∵E是AD的中点, ∴DE=AD=3. 第5题答图① 又∵ AH∥EG, ∴=,∴EG== ∵DF=5,∴FC=CDDF=3, ∴S四边形ABFE=S▱ABCDS△DEFS△BFC=8353=. 第5题答图① 问题解决(2)某市进行河滩治理,优化美化人居生态环境.如图②所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN ,使点O,P ,M,N分别在边BC,CD,AE，AB上,且满足BO=2AN=2CP ,AM=0C.已知五边形ABCDE中,∠A=∠B= ZC=90°,AB=800 m,BC=1 200 m,CD=600 m,AE= 900 m. 为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要,想让人工湖面积尽可能小.请问,是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN?若存在,求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离;若不存在,请说明理由. 解:(2)存在.如答图②,延长AE,CD交于点K,则四边形ABCK是矩形， ∴AK=BC=l 200,CK=AB= 800. 设AN=x,则PC=x, BO= 2x,BN= 800x,AM= OC=12002x, ∴MK=AK AM=2x,PK=CK PC= 800x, ∴ S四边形OPMN = S矩形ABCKS△AMNS△BONS△OCPS△PKM =8001 200x(l 2002x) 2x( 800x ) x(1 2002x) 2x(800x)=4(x350)2+470 000. 第5题答图② ∵4>0, ∴当x=350时，四边形OPMN的面积取得最小值,最小值为470 000m2. 此时AM=1 200一2x=500<900,AN=x= 350< 600, ∴存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN ,四边形OPMN面 积的最小值为470 000 m2 ,此时点N到点A的距离为350 m. 第5题答图② $一、中考模型探究 模型5 建立坐标系解决几何问题 3 1 2 2 模型解读 1 2 3 模型应用 模型构建 在进行几何的问题相关计算时,若几何图形是特殊图形或含特殊角的图形,可建立平面直角坐标系,根据题干信息表示或推理点的坐标,然后利用解析式或点之间的关系进行几何问题的推理.建立平面直角坐标系时,通常选择有特殊角的点为原点,便于表示点的坐标,减少解题过程中的计算量. 【分析】背景有正方形,可以90°角的顶点为原点建立平面直角坐标系,确定平面直角坐标系后,利用已知信息可分别表示出点O,F,E 的坐标,进而得到点G，H 的坐标,然后利用两点间距离公式计算GH 的长(此题可选择点B 或点C 为坐标原点) 例 如图,正方形ABCD 的边长为4,对角线AC,BD 相交于 点O,点E,F 分别在BC,CD 的延长线上,且CE=2,DF=1,G 为 EF 的中点,连接OE 交CD 于点H,连接GH,则GH 的长 为_________. 线OE 的解析式为y=-x+1,∴当 x =0 时,y =1,∴H (0,1), ∴GH ==. 【解析】如答图,以点C 为坐标原点，BE 所在直线为x 轴,CF 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,∴E(2,0), F(0,5),A(-4,4).∵G 为EF 的中 点,∴G（1，）.∵正方 形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,∴O(-2,2),∴直 1. 如图,在边长为4的正方形ABCD 中,E,F 分别为边AB,AD 的中点,连接CD,DE,BF,BF 与EC,ED 分别交于点G,H,则GH 的长为( ) A A. B. C. D. 【解析】如答图,以点B 为坐标原点,BC 所在直线 为x轴,BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则C(4,0),D(4,4),E(0,2),F(2,4),∴直线BF 的解析式为y=2x, 直线CE 的解析式为y=-x+2,直线DE 的解析式为y= x +2.联 立解 得∴H（，）.同 理 可 得 G （ ），∴GH ==.故选 A. 2. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=8,tan B=,D 是AB 的中点,如果把△BCD 沿直线CD 翻折,使得点B 落在同一平面内的B′处,连接AB′,那么 AB′的长为__________. 【解析】如答图,以点B 为坐标原点,BC 所在直线 为x 轴,过点B 作BC 的垂线为y 轴建立平面直角坐 标系,可得C(8,0).过点 A 作AE⊥BC 于点E.∵AB= AC,∴BE=CE=4,∴E(4,0).∵∠AEB=90°,∴AE= BE·tan∠ABC=6,∴A(4,6).又∵D 是AB 的中点， ∴D(2,3),∴直线 DC的解析式为y=-x+4.由折叠 可知 CD⊥BB',∴直线BB'的解析式为y=2x.设直线 DC与直线 BB'的交点为F,联立解 得∴F(,).由折叠的性质得F是BB′的中点,∴B′(,),∴AB′= . 3. 如图,在矩形ABCD 中,将AB沿BM翻折,使点A落在BC上的N处,BM为折痕，连接MN;再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在MN上的F处,CE 为折痕,连接EF 并延长交BM 于点P.若AD=8,AB=5,则线段 PE的长为_____. 【解析】∵四边形 ABCD 为矩形,∴BC=AD=8, DC=AB=5.由折叠的性质可知,BN=AB=5,∴CN =BC-BN=3.如答图,以点N为坐标原点，BC所在 直线为x轴,MN 所在直线为y轴建立平面直角坐 标系，可得B(-5,0),C(3,0),D(3,5),M(0,5).由折叠 的性质可知CF=CD=5.在Rt△FNC中,CN=3,CF =5,∴FN==4,MF=MN-FN=1.设 DE= x,则ME=3-x,EF=DE=x.在Rt△MEF中,根据勾股定 理得(3-x)²+1 =x²,解得x=,∴ME=MD-ED= ,∴E(,5).又∵F(0,4),∴直线EF的解析式为 y=x+4.由B(-5,0),M(0,5)得直线BM的解析式 为y=x+5.联立解 得 ∴P(-4,1),∴PE==. 4. 如图,在边长为3的正方形ABCD 的外侧,作等腰三角形ADE,EA=ED=.F为BE 的中点,连接AF 并延长,与CD相交于点G,则AG=_________. 【解析】如答图,以点C为坐标原点,CD,CB所在直线 分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系,则C(0,0)， B(0,3),D(3,0),A(3,3),E(5,).∵F为BE的中点,∴F(,), 直线 AF的解析式为y=x-.令y=0,得x= l，∴G(l，0)， ∴AG==. 5. 如图,在边长为6的正方形 ABCD 中,点E,F 分别在 BC,CD 上, BC=3BE且BE=CF,AE⊥BF,垂足为G,O是对角线BD 的中点,连接OG,则OG 的长为_____. 【解析】解法 1:如答图①,以点B为原点，BC所在 直线为x轴,BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标 系.∵四边形ABCD是正方形，边长为6,∴AB=BC =6,∠ABE=∠BCF=90°.∵BC=3BE，BE=CF, ∴BE=CF=2,∴E(2,0),F(6,2),A(0,6)，D(6,6).由A(0,6),E(2,0)得直线AE 的解析式为y=-3x+6.由 F(6,2)得直线 BF 的解析式为y=x. 第5题答图① 联立解 得 ∴G （，）.∵O是BD的中点,∴O(3,3), ∴OG==. 第5题答图① 第5题答图② 解法 2:如答图②,过点B作BH⊥OG 于点H,连接OA.∵四边 形 ABCD 为边长为6的正方形,BC=3BE,∴BE=2,∴AE= =2 ,由面积法可得BG=.由O是 正方形对角线BD 的中点知∠AOB=90°,OB=BD =3 .又∵∠AGB=90°,∴A,B,G,O四点共圆，∴∠AGO=∠ABO=45°， 第5题答图② ∴∠BGH=180°-∠AGB-∠AGO=45°, ∴△BGH 是等腰直角三角形. ∴BH=GH==, 在Rt△BOH中，OH==， ∴OG=OH-GH==. 第5题答图③ 解法3:如答图③,以点B为原点,BC所在直线为x轴， BA 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接AC. ∵O是正方形对角线BD的中点，∴∠AOB =90°. 又∵∠AGB=90°,∴A,B,G,O 四点共圆，∴∠AGO= ∠ABO=45°=∠ACE.又∵∠GAO=∠CAE,∴△AOG∽ △AEC，∴在 Rt △ABE中，AE ==2. ∵CE=BC=4,OA==3，OG=. 6. 如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别是边AB,AD上的动点,P是线段EF 的中点,PG⊥BC,PH⊥CD,G,H为垂足,连接GH.若AB= 8,AD=6,EF=6,则GH 的最小值是________. 7 【解析】解法1:如答图①,以点A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设E(a,0),F(0,b),M(a,b)其中0<a<8,0<b<6.连接AM.在Rt△EAF中，由勾股定理得AE²+AF² =EF²,即a²+b²=36,则点M(a,b)在以原点为圆心,6为半径的圆上运动.∵P是线段EF 的中点,PG⊥BC,PH⊥CD，∴G(8,) ,H(,6), ∴GH=, 第6题答图① ∴2GH= = . 设点S的坐标为(16,12). 连接SM,AS. 当S,M,A三点共线时,GH 取得最小值, SA==20, ∴SM=SA-6=14,即2GH=14,∴GH=7. 第6题答图① 解法 2:如答图②,连接AC,AP,CP.∵四边形ABCD 是 矩形，∴.BC=AD=6,∠BAD=∠B=∠DCB=90°， ∴AC= =10.∵P是线段 EF 的中点， ∴AP=EF=3.∵PG⊥BC,PH⊥CD,∴∠PGC= ∠PHC=90°，∴四边形PGCH是矩形,∴GH=CP. ∵CP+AP≥AC,∴CP≥10-3=7,∴GH的最小值 是7. 第6题答图② 7. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,E 是边AD 的中点,P是 BE上的动点,Q是PC的中点,连接AQ,则AQ的最小值为_________. 【解析】解法1:如答图①,取BC 的中点F,连接DF, 则BF=DE.∵四边形ABCD是矩形,∴BF∥DE， ∴四边形BFDE是平行四边形,∴DF∥BE.∵Q 是CP的中点,F是BC的中点，∴FQ∥BE,∴点Q 在 DF上.当AQ⊥DF 时,AQ 取得最小值.∵BC∥AD, ∴∠ADQ=∠DFC.在Rt△CDF 中,CF=BC=2,根据 勾股定理得 DF = = ,∴sin∠DFC ==，∴sin∠ADQ==，∴AQ=. 解法2:如答图②,以点B为原点,BC所在直线为x轴，AB 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，∴E(2,3)，A(0,3), B(0,0),C(4,0),∴直线BE的解析式为y=x.设P(m,m).∵Q是PC的中点,∴Q(,),∴AQ2=(0-)2+(3-)2=(m-)2+.∵>0,∴该函数有最小值,最小值为，即AQ2的最小值为，∴AQ 的最小值为. 8. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,E是边AD上一点,AE=2,P是边BC上一动点,连接AP,取AP 的中点F,连接 EF,当线段EF取得最小值时,线段PD 的长度是_____. 【解析】解法 1:如答图①,过点 P作 PM∥FE交 AD 于点M.∵F为AP 的中点，PM∥FE, ∴FE 为 △APM 的中位线，∴AM=2AE=4,PM=2EF.当PM 取最小值时，EF取得最小值.当PM⊥AD时,PM取 得最小值,此时PM=AB=6.∵MD=AD-AM=8.在 Rt△PMD 中，根据勾股定理得PD== 10,∴当线段EF 取得最小值时，线段PD的长度是10. 解法 2:如答图②,以点B为原点,BC所在直线为x 轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，∴A(0,6),B(0,0), C(12,0),D(12,6),E(2,6).设P(m,0).∵F是AP 的中点， ∴F(,3),∴EF2=(-2)2+(3-6)²,整理得EF²=m² -2m+13.∵>0,∴当m==4 时,EF²取得最小值,此时P(4,0)，∴PD==10. 9. 如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F,BE=CE.若AB=4,则AF=_______. 【解析】解法1:∵四边形ABCD是菱形,AE⊥BC，∴BC=AB = 4，∠AEB = 90°,∠ABD =∠CBD.∵BE=CE,∴BE= BC=2.∵sin∠BAE==∴∠BAE=30°,∴∠ABE= 60°,∴∠CBD=∠ABD=30°，∴∠BAE=∠CBD=∠ABD, BF=2EF,BE=EF，∴AF=BF,EF=2,∴AF=BF=2EF=4. 解法2:如答图,以点B为原点,BC所在直线为x轴，过点B作BC 的垂线为y轴建立平面直角坐标系，∴B(0,0).∵四边形 ABCD 是菱形,∴BC=AB=4.又∵BE=CE,∴BE=BC=2.在Rt△ABE 中,由勾股定理得AE==6,∴A(2,6),∴D(6,6), ∴直线 BD的解析式为y=x,∴F(2,2),∴AF= yA-yF=4. 10. 如图,在▱ABCD 中,∠ABC=60°,AB=4,BC=6,对角线AC,BD交于点O,CE⊥AD,垂足为E,连接OE,则OE 的长是______. 【解析】如答图,以点B为原点,BC所在直线为x 轴,过点B作BC 的垂直为y轴建立平面直角坐标系， 过点A作AF⊥x轴于点F，∴B(0,0),C(6,0). ∵∠ABC=60°,AB =4,∴AF=AB ·sin∠ABC= 2,BF=AB·cos∠ABC=2,∴A(2,2).∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=6,∴D(8,2). ∵CE⊥AD,∴E (6，2 ).∵O是AC的中点， ∴O(4,),∴OE==. $一　中考模型探究 模型8　与圆有关的最值问题 类型2 线圆最值 类型1 点圆最值 1 2 3 3 类型3 定边定角 一　中考模型探究 模型8　与圆有关的最值问题 类型5 最大张角 类型4 定角定高 4 52 3 PO的延长线 线段OP 例1 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，则 CP 的最小值为 . 2-2 例1题图 【分析】连接 OP，OC，OC 交半圆 O 于点 P'.利用勾股定理求解 OC 的值，再由CP OC- OP 求解 例1题图 【解析】如答图，连接 OP，OC，OC 交半圆 O 于点 P'.由题意得 OB =AB = 2.在 Rt△OBC 中，OC =.∵CP ≥ OC - OP，∴CP ≥ 2 - 2.当点 P 与点 P' 重合时，CP 取得最小值为2 - 2. 例1题答图 d + r d - r 例2 已知等腰直角三角形 ABC 的腰长为 4，点 M 在斜边 AB 上，P 为该平面内一动点，且满足 PC = 2，则PM 的最小值为 . 2-2 例2题图 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边 AB 的长，由已知条件得到点 P 在以 C 为圆心，PC 长为半径的圆上，当 PM 在斜边 AB 的高线上时，PM 的值最小 例2题图 【解析】如答图.∵等腰直角三角形 ABC 的腰长为4 ，∴斜边 AB = 4.∵ P 为该平面内一动点，且满足 PC = 2，∴点 P 在以 C 为圆心，PC 长为半径的圆上. 当 CM 为高线且点 P 在 CM 上时，PM 的值最小.∵ △ABC 是等腰直角三角形，∴CM = AB =2. ∵ PC = 2，∴PM 的最小值为 CM - CP = 2 - 2. 例2题答图 例3 如图，AB 是 ⊙O 的弦，C 是 AB 上方圆弧上一点，连接 AC，BC.若 ⊙O 的半径为4，∠ACB = 60°，则 △ABC 面积的最大值为 . 12 例3题图 【分析】∠ACB 的度数为定值，AB 的长为定值，结合定边定角模型可得当 CO⊥AB 时，△ABC 的面积最大 例3题图 【解析】如答图，当 CO ⊥AB 时，△ABC 的面积最大.设 CO 的延长线交 AB 于点 D，则 ∠ADC = ∠BDC = 90°.∵∠ACB = 60°，∴∠AOB = （180°-∠ACB ）= 30°，∴ OD = OA = 2，∴CD = CO + OD = 6，AD = BD = = 2，∴AB = 4，∴△ ABC 面积的最大值为 AB·CD = 12 . 例3题答图 例4 如图，在 △ABC 中，∠BAC = 60°，AD⊥BC 于点 D，且 AD = 4，则 △ABC 面积的最小值为 . 例4题图 【分析】作 △ ABC 的外接圆 ⊙O，连接 OA，OB，OC，过点 O 作OE⊥BC 于点 E，根据含 30°角的直角三角形的性质和三角形面积公式解答即可 例4题图 【解析】如答图，作 △ABC 的外接圆 ⊙O，连接 OA，OB，OC，过点 O 作 OE⊥BC 于点 E.∵∠BAC = 60°，∴∠BOC = 2∠BAC = 120°.∴OB = OC，∴∠OBC = ∠OCB = (180°-∠BOC）= 30°.设 例4题答图 ⊙O 的半径为 r，则 OE = OB = r，∴BC= OB = r.∵OA +OEAD，∴r +r ≥ 4，解得 r≥，∴BC .∴S△ABC = BC ·AD ，∴ △ABC 面积的最小值为 . 例4题答图 例5 如图，已知点 A，B 的坐标分别是(0,1)，(0,3)，C 为 x 轴正半轴上一动点，当 ∠ACB 最大时，点 C 的坐标是 . （，0） 例5题图 【分析】作 △ABC 的外接圆⊙P，当 OP 与 x 轴相切于点 C 时，利用圆周角大于对应的圆外角，得到此时 ∠ACB 最大 例5题图 【解析】如答图，作 △ABC 的外接圆⊙P，当⊙P 与 x 轴相切于点 C 时，∠ACB 最大.连接PA，PB，PC，过点 P 作 PH⊥y 轴于点 H.∵点A，B 的坐标分别是(0,1)，(0,3)，∴OA =1，AB = 2，∴AH = BH = 1，∴OH = 2.∵⊙P 与 x 轴相切于点 C，∴PC⊥x 轴，∴四边形 PCOH 为矩形，∴PC = OH = 2，∴PA = 2.在 Rt△PAH中，PH = =3，∴点 C 的坐标为(,0). 例5题答图 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4，以 BC 为直径的半圆 O 交 AB于点 D，P 是 上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是 . 2-2 第1题图 2.如图，平面直角坐标系中，分别以点 A (一2,3)，B (3,4) 为圆心，1 和 2 为半径作 ⊙A，⊙B，M，N 分别是 ⊙A，⊙B 上的动点，P 为 x 轴上的动点,则 PM + PN 的最小值等于 . -3 第2题图 【解析】如答图，作 ⊙A 关于 x 轴的对称圆⊙A'，连接 A'B，AM，AP，A'P，BN，BP，则AM + PM + BN + PN ≥ AP + BP = A'P + BP A'B，∴PM + PN ≥ A'B-（AM + BN）.由对称得A'(一2，-3)，∴A'B =，∴PM + PN 的最小值为 - 3. 第2题答图 3.如图，OM 的圆心为(4,0)，半径为 2，P 是直线 y = x + 4上的一个动点，过点 P 作 OM 的切线，切点为 Q,则 PQ 的最小值为 . 2 第2题图 【解析】如答图，连接 MP，MQ. ∵PQ 是 ⊙M的切线，∴MQ⊥PQ，∴PQ == .当 PM 最小时，PQ 最小.当 MP⊥AB 时，MP 最小.∵直线 y = x + 4与 x 轴的交点 A 的坐标为(-4,0)，与 y 轴的交点 B 的坐标为(0,4)，.∴OA = OB = 4，∴∠BAO =45°，AM = 8.当 MP⊥AB 时，MP = AM ·sin∠BAM = 4，∴PQ 的最小值为 = 2. 第3题答图 4.如图，某雕塑 MN 位于河段 OA 上，游客 P 在步道上由点 O 出发沿 OB 方向行走.已知 ∠AOB = 30°，MN = 2 OM = 40 m，当观景视角∠MPN 最大时，游客 P 行走的距离 OP 是 m. 20 第4题图 【解析】如答图，取 MN 的中点 F，过点 F 作FE⊥OB 于点 E，以 MN 为直径作 ⊙F.∵MN = 2OM = 40，点 F 是 MN 的中点，∴MF = FN = 20 = OM， OF = 40.∵∠AOB = 30°，FE⊥OB，∴EF = 20，∴OE = EF =20，∴EF = MF.又∵EF⊥OB，∴OB 是 OF 的切线，切点为 E，∴当点 P 与点 E 重合时，观景视角 ∠MPN 最大，此时 OP = OE =20 m. 第4题答图 5.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8，BC = 6，点 P 在矩形的内部，连接PA，PB，PC.若 ∠PBC = ∠PAB，则 PC 的最小值为 . 2 第5题图 【解析】∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ABC = 90°，∴∠ABP + ∠PBC = 90°.∵∠PBC = ∠PAB，∴∠PAB + ∠PBA = 90°，∴∠APB = 90°，∴点 P 在以 AB 为直径的圆弧上运动（如答图）.设圆心为 O，连接 OC 交 ⊙O 于点 P，此时PC 取得最小值.∵OC = =2，∴PC 的最小值为 2 - 4. 第5题答图 6.[2021 陕西，13]如图，正方形 ABCD 的边长为 4，⊙O 的半径为 1.若 ⊙O在正方形 ABCD 内平移（⊙O 可以与该正方形的边相切），则点 A 到 ⊙O上的点的距离的最大值为 . 3 第6题图 【解析】当 ⊙O 与 CB，CD 相切时，点 A 到 ⊙O 上的点 Q 的距离最大.如答图，过点 O 分别作OE⊥BC 于点 E，OF⊥CD 于点 F，∴OE = OF = 1，∴CO 平分 ∠BCD.∵四边形 ABCD 为正方形，∴点 O 在 AC 上.∵AC= BC = 4 ，OC = OE = ，∴AQ = OA + OQ = 3 + 1，即点 A到 ⊙O 上的点的距离的最大值为 3+1. 第6题答图 7.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2，BC = 12，点 E，F 均在 AD 上，且∠ABE + ∠FCD = 90°，则四边形 BCFE 面积的最大值为 . 20 第7题图 【解析】如答图，将 △DCF 向左平移，使 DC 与 AB 重合，点 F 的对应点为 G.∵∠ABE + ∠FCD= 90°，∴∠GBE = 90°.作 △BGE 的外接圆 ⊙O，连接 OB，则 OB≥ AB.当点 O 与点 A重合时，OB 取得最小值，最小值为2，∴GE 的最小值为 4，此时 S△GBE = GE·AB = 4.∵S四边形BCFE = S矩形ABCD- S△ABE - S△CDF = S矩形ABCD - S△BGE，∴当 △GBE 的面积最小时，四边形 BCFE 的面积取得最大值，∴四边形 BCFE 面积的最大值为 212-4=20. 第7题答图 8.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 2，M 是 AD 边上的中点，N 是AB 边上的动点，将 △AMN 沿 MN 所在直线折叠，得到 △A'MN ，连接A'C，则 A'C 的最小值是 . 第8题图 【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴CD = AB = 3，AD = BC = 2.∵ M 是 AD 的中点，∴AM = MD = 1.∵将 △AMN 沿MN 所在直线折叠，∴A'M = AM = 1，∴点 A' 在以点 M 为圆心，AM 长为半径的圆弧上（如答图）.连接 CM交 ⊙M 于点E.∵ A'C ≥ MC-MA'，∴当点 A' 与点 E 重合时，A'C 取得最小值，此时 MC - MA' = MC - ME = CE，最小值即为 CE 的长.∵MC = ，∴A'C 的最小值为CE = MC - MA' = - 1. 第8题答图 9.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，O 为矩形 ABCD 的中心，以点 D 为圆心，1 为半径作 ⊙D，P 为 ⊙D 上的一个动点，连接 AP，OP，OA，则 △AOP 面积的最大值是 . 第9题图 【解析】∵AO 为定值，点 P 到 AO 的距离最大时，△AOP 的面积最大.如答图，当过点 P 的切线与 OA 平行时，△AOP 的面积最大.∵过点 P 的直线是 ⊙D的切线，∴DP 垂直于切线，延长 PD 交 AC 于点 M，则 DM⊥AC.在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，∴AC = = 5， 第9题答图 ∴OA = .∵∠AMD =∠ADC = 90°，∠DAM = ∠CAD，∴△AMD ∽ △ACD，∴，∴DM = ，∴PM = PD +DM = .∴△AOP 面积的最大值为 OA· PM = . 第9题答图 10.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4，AD > 2AB，O 为边 BC 上一动点，以点 O 为圆心，1 为半径作 ⊙O，过 AD 的中点 E 作 ⊙O 的切线 EP，P 为切点，则 EP 的最小值为 . 第10题图 【解析】如答图，连接 OP，OE，作 EF⊥BC 于点 F.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A = ∠B = ∠BFE =90°，∴四边形ABFE 是矩形，∴EF = AB = 4.∵OE ≥ EF，∴OE ≥ 4，∴OE 的最小值4.∵EP 与 ⊙O 相切于点P，OP = 1，∴EP⊥OP，∴∠OPE = 90°，∴EP = ≥ ，∴EP 的最小值为 . 第10题答图 11.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 M，N 分别从点 B，C 同时出发，以相同的速度沿 BC，CD 方向向终点 C 和 D 运动.连接 AM，BN 相交于点 P，连接 PC，则 PC 的最小值为 . 第11题图 【解析】由题意得 BM = CN.∵四边形 ABCD 是正方 形，∴∠ABM =∠ BCN = 90°，AB = BC = 2.在 △ABM 和 △BCN 中，∴△ABM△BCN（SAS)，∴∠BAM =∠CBN.∵∠ABP + ∠CBN = 90°，∴∠ABP + ∠BAM = 90°，∴∠APB == 90°， 第11题答图 ∴点 P 在以 AB 为直径的圆弧上运动（如答图）.设圆心为 O，连接 AC 交 ⊙O 于点 G，则点 P 的运动路径为 BG.连接 OC交 ⊙O 于点 P，此时 PC最小.∵AB = 2，∴OP = OB = 1，在 Rt△OCB 中,由勾股定理得 OC = ，∴PC = OC - OP = - 1. 第11题答图 12.如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 上两个动点，且满足 AE = CD，连接 BE，AD 相交于点 P，则线段 CP 的最小值为 . 第12题图 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB = BC = AC，∠ABC = ∠BAC = ∠BCE = 60°.∵AE = CD，∴BD = CE，∴△ABD △BCE（SAS），∴∠BAD = ∠CBE，∴∠APE = ∠BAD + ∠ABE = ∠CBE + ∠ABE = ∠ABC = 60°，∴∠APB = 120° 第12题答图 ∴点 P 的运动轨迹是以 AB 为弦，120°为圆周角的圆弧.如答图，记圆心为 O，连接 OC交 ⊙O 于点 N，交 AB 于点 F，则 OC⊥AB.易知∠AOB = 120°.∵OA = OB，∠OAF = 30°，AF = AB = ，∴OA = 2，∴OC = 2OA = 4.当点 P与点 N 重合时，CP 的值最小，最小值为 OC -ON = 2. 第12题答图 13.如图，在一幢大楼 AD 上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距 6 m（即 AB = 6 m），下边沿到地面的距离 BD = 11.6 m.小刚的眼睛距离地面的高度 EF 为 1.6 m，他从远处正对广告牌走近时，在 P 处看到的广告效果最好（视角最大），则 在 P 处时小刚与大楼 AD 之间的距离为 m. 第13题图 【解析】如答图，过点 E 作 CE∥DF 交 AD 于点C，作线段 AB 的垂直平分线，垂足为 Q，并在垂直平分线上取一点 O，使 OA = CQ.以点 O 为圆心，OA 长为半径作 ⊙O，则 ⊙O 与 CE 相切于点G，连接 OG，并延长交 DF 于点 P，此时点 P 即为小刚所站的位置.由题意知 第13题答图 DP = OQ =.∵OA = CQ = BD + QB - CD = BD + AB - CD = 13，∴DP = =4，即看广告牌效果最好时，小刚与大楼 AD之间的距离为 4 m. 第13题答图 14.如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4，E 是线段 AD 上一点，沿直线 BE折叠 △ABE，使点 A 落至 A' 处，延长 EA' 和 AA'，分别交线段 DC 于点F，G，则线段 FG 的最大值为 . 12-8 第14题图 【解析】如答图，连接 BF.由折叠可得∠BA'E = ∠BAE = 90°，A'B = AB = BC，∴∠BA'F = 90°= ∠C.又∵BF = BF，∴ Rt△BCF Rt△BA'F（HL），∴CF = A'F.由折叠可得 A'E = AE，∴EF = A'E +A'F = AE + CF.∵ BE⊥AA'，∠BAD = 90°，∴∠ABE + ∠BAA' = 第14题答图 ∠DAG + ∠BAA’ = 90°，∴∠ABE = ∠DAG.又∵∠BAE = ∠D，AB = DA，∴△ABE △DAG（ASA），∴AE = DG，∴EF = AE + CF = DG + CF，∴当 EF 最小时，DG + CF 最小，此时 GF 最大.由折叠可得∠EBF = ∠ABC = 45°.作 △BEF 的外接圆 ⊙O，连接 BO，EO， 第14题答图 FO，过点 O 作 OH⊥EF 于点 H，∴∠EOF = 2∠EBF = 90°，∴△ EOF 是等腰直角三角形，∴EF = OB，OH = EF = OB.又∵OB + OH ≥ BA'，∴OB + OB ≥ 4，∴OB 8-4，∴EF 的最小值为 OB = 8 - 8，即 DG + CF 的最小值为8 - 8.又∵CD = 4，∴FG 的最大值为 CD -（DG + CF）= 12 - 8. 第14题答图 15.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 8，E，F 分别是边 CD，BC 上的动点,，且 ∠AFE = 90°，当 DE = 时，∠AED最大. 第14题图 【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B = ∠C =90°.∵∠AFE = 90°，∴∠AFB + ∠EFC = 90°.∵∠EFC + ∠FEC = 90°，∴∠AFB = ∠FEC，∴△ABF∽△FCE，如答图，取 AE 的中点 O，以点 O 为圆心，OA 长为半径作⊙O，连接OD，OF，DF.∵∠AFE = ∠ADE = 90°，∴A， 第15题答图 D，E，F 四点共圆，∴∠AED = ∠AFD，∴当 ⊙O 与 BC 相切时，∠AFD的值最大.∵BC是 ⊙O 的切线，∴OF⊥BC，∴AB∥OF∥EC，∴，∴OA = OE，∴BF = CF = 4. ∵△ABF∽△FCE，∴，∴CE = ，∴DE = DC - CE = . 第15题答图 16.如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4.E 是 AB 的中点.点 F，G 分别在AD，BC上，且 EF⊥EG.则 △EFG 面积的最小值为 . 4 第16题图 【解析】如答图，延长 FE 交 CB 的延长线于点 H.∵E 为 AB 的中点，∴AE = BE，又∵∠A = ∠EBH = 90°，∠AEF = ∠BEH，∴ △AEF △BEH（ASA），∴EF = EH.∵EF⊥EG，∴∠FEG = ∠HEG.又∵GE = GE，∴△FEG△HEG（SAS），∴S△FEG =S△HEG.设点 O 为 △HEG 第16题答图 的外接圆的圆心，则 HG = 2OE ≥ 2 EB，当点 O 和点 B 重合时，OE 取得最小值，此时 △HEG 的面积最小.∵ OE = 2，HG = 4，∴△HEG 的面积的最小值是 HG·BE = 4，∴△EFG 面积的最小值是 4. 第16题答图 17.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC = 60°，AD = 8，BC = 12，P 为边 AD 上一点，则 cos∠BPC 的最小值为 . 第17题图 【解析】如答图，作 BC 的垂直平分线 PQ 交 BC 于点 Q，交 AD 于点 P，连接 BP，CP，作 △BPC 的外接圆 ⊙O，⊙O 与直线 PQ 的另一个交点为 N，∴PB = PC，圆心 O 在 PN 上.∵AD∥BC，∴ ⊙O 与 AD 相切于点 P.过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，∴四边形 AECD 为矩形，∴CE = AD，AE = CD，∴BE = BC- AD = 4.在 Rt△ABE 中，∴AE = BE·tan∠ABE = 4，∴PQ = DC = AE = 4>6， 第17题答图 ∴PQ>BQ，∴∠BPC<90°，∴圆心 O 在弦 BC 的上方，在 AD 上任取一点 P'，连接 P'B，P'C，P'B 交 ⊙O 于点 M，连接 MC，∴∠BPC = ∠BMC ≥ ∠BP'C.当 ∠BPC 最大时，cos∠BPC 的值最小，连接 OB，则∠BON = 2∠BPN =∠BPC.∵OB = OP = 4 - OQ，∴在 Rt△BOQ 中，根据勾股定理得=（4 - OQ）2，解得 OQ =，∴ OB = ，∴cos∠BPC = cos∠BOQ = . 第17题答图 $一、中考模型探究 模型9 与线段有关的最值问题 利用“两点之间，线段最短”解决 利用“垂线段最短”解决 1 2 3 3 2026陕西中考数学 1.“垂线段最短”型 2026陕西中考数学 2026陕西中考数学 模型构建 例1 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=4，BC=3，E为AB上任意一点，连接CE，以EC，EA为邻边作▱EAFC，连接EF，则EF的最小值为 . 例1题图 【分析】∵四边形EAFC为平行四边形，∴点F到AB的距离与点C到AB的距离相等.由“垂线段最短”可知当EF⊥AB时，EF的值最小，此时EF的长即为Rt△ABC斜边上的高 2026陕西中考数学 2."kAP+BP”型 2026陕西中考数学 模型构建 例2 如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是边BC上一动点（不含端点B，C），那么BE+2DE的最小值为 . 例2题图 【分析】根据模型解读可知需构造特定三角函数值的角，因此需让系数小于1，可先对线段和提出公因数2，然后构造一个正弦值为的角，利用“折>直”来确定取最值时点的位置，最后计算最小值 6+6 2026陕西中考数学 例2题答图 【解析】如答图，过点B作射线BH使∠CBH=30°，过点D作DH⊥BH于点H，交BC于点E＇，过点E作EF⊥BH，交BH的延长线于点F，∴EF=BE，∴BE+2DE=2(BE+DE)=2(EF+DE)DE.∵EF+DE≥E'H+DE', ∴当点E'与点E重合时,EF+DE取得最小值，最小值为DH的长.∵∠EBH=∠EDC=30°,在Rt△E'DC中,设E'C=x,则DE'=2x,∴DE'2=E'C2+CD2,即(2x)2=x2+62,解得x=2,∴DE'=2x=4,∴BE'=BC－E'C=6－2,∴E'H=BE'=3－3,∴BE+2DE的最小值为6+6. 2026陕西中考数学 1.如图，四边形ABCD中，AB=6，∠ABC=45°，E是BD上一点，若∠ABD=15°，则AE+BE的最小值为 . 6 第1题图 2026陕西中考数学 第1题答图 【解析】如答图，过点E作EH⊥BC于点H，过点A作AJ⊥BC于点J.∵∠ABC=45°，∠AJB=90°，AB=62∴AJ=BJ=6．∵∠ABD=15°，∴∠DBC=30°．∵∠EHB=90°，∴EH=BE，∴AE+BE=AE+EH．∵AE+EH≥AJ，∴AE+BE≥6，当A,E,H三点共线时，AE+BE取得最小值，最小值为6． 2026陕西中考数学 2. 如图，已知AE//CD，AB=2，∠CBE=2∠A=60°，P是线段AC上的任意一点，则BP+CP的最小值为 . 第2题图 2026陕西中考数学 第2题答图 【解析】∵∠CBE=2∠A=60°，∴∠A=30°，∴∠ACB=30°，∴BC=AB=2.∵AE∥CD，∴∠DCB=∠CBE=60°，∠DCA=∠A=30°.如答图，过点B作BQ⊥CD于点Q，交AC于点P，∴PQ=PC，∴BP+CP=BQ，此时BP+CP的值最小，∴最小值为BQ=BC·sin60°=. 2026陕西中考数学 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，D,E分别为CN,MN的中点，则DE的最小值为 . 第3题图 2026陕西中考数学 第3题答图 【解析】如答图，连接CM，过点C作CM＇⊥AB于点M＇.∵D,E分别为CN,MN的中点，∴DE为△ CMN的中位线，∴DE=CM.当CM⊥AB,即点M在M＇处时,CM＇的值最小,此时DE取得最小值. ∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10.∵S△ABC=AC·BC=AB·CM＇,∴CM＇==，∴DE=CM＇=,即DE的最小值是. 2026陕西中考数学 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P从B点沿BD向D点运动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交AD于点F，则EF的最小值为 . 第4题图 2026陕西中考数学 第4题答图 【解析】如答图，连接AP.∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP=∠AFP=90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴四边形AEPF为矩形，∴AP=EF.∴求EF的最小值即为求AP的最小值，∵点P从B点沿着BD往D点移动，∴当AP⊥BD时，AP取得最小值，Rt△BAD中，∵∠BAD=90°，AB=6，AD=8，∴BD==10.∵S△ABD=AB·AD=AP·BD，∴AP==，∴EF的最小值为. 2026陕西中考数学 5. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，sinA=，BD⊥AC于点D，P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为_______. 第5题图 2026陕西中考数学 第5题答图 【解析】如答图，过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H.∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°. ∵sinA==，AB=5，∴BD=4.由勾股定理得AD==3.∵sin∠ABD===,∴PE=BP,∴PC+PB=PC+PE.当C,P,E三点共线时，PC+PB的值最小， 2026陕西中考数学 第5题答图 PC+PB的最小值为CH的长.∵S△ABC=AC·BD=AB·CH，∴CH==，∴PC+PB的最小值为. 2026陕西中考数学 6. [2025曲江一中六模]如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠CAB=30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上一动点，连接PB，PC，则PA+2PB的最小值为 . 3 第6题图 2026陕西中考数学 第6题答图 【解析】如答图，过点A在AC的上方作射线AE，使得∠CAE=15°，过点B作BF⊥AE于点F，交AD于点P，∵∠CAB=30°，AD⊥BC，AC=BA，∴∠BAD=∠CAD=15°.又∵∠CAE+∠CAD=∠DAE=30°,∴AFB=90°, ∴PF=PA,此时PA+2PB=2(PA+PB)=2(PF+PB) =2BF. 2026陕西中考数学 第6题答图 ∵BP+PF≥BF, 当B,P,F三点共线时BP+PF的值最小，此时PA+2PB的值最小， 在Rt△ABF中，∠FAB=∠FAD+∠DAB=45°, ∴BF==,∴PA+2PB的最小值为2BF=3. 2026陕西中考数学 7.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段上的一个动点，则CD+BD的最小值是______. 4 第7题图 2026陕西中考数学 第7题答图 【解析】如答图，过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∴tanA==2，设AE=a，则BE=2a，∵AB2=AE2+BE2，∴100=a2+4a2，解得a=2或a=－2（舍去），∵BE=2a=4.∵AB=AC，∴∠AEB=∠AMC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACM（AAS），∴CM=BE=4. 2026陕西中考数学 第7题答图 ∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH===,∴DH=BD，∴CD+BD=CD+DH. ∵CD+DH≥CM,∴CD+BD≥4, ∴CD+BD的最小值是4. 2026陕西中考数学 8. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC=52，D是边BC的中点.若P是AB边上一点，那么PD+AP的最小值为 . 第8题图 2026陕西中考数学 第8题答图 【解析】在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC=5，∴AB=BC=5.如答图,D是边BC的中点，过点A作AH⊥AC，过点P作PE⊥AH于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AB于点T.∵AB=BC=5，∠BAC=∠C=45°，∴BD=CD=，∵DF⊥AH，AH⊥AC，∴DF∥AC，∴∠BTD=∠BAC=45°，∴∠BDT=∠C=45°，∴∠BTD=∠BDT，∴BT=BD=AT=，DT=. 2026陕西中考数学 第8题答图 ∵AH⊥AC，∴∠BAC=45°，∴∠HAC=90°，∠HAT=45°,∴AF=TF=AT=.∵PE⊥AH, ∠HAB=45°,∴PE=PA,∴PD+PA=PD+PE.根据垂线段最短可知，当点E与点F重合时，PD+PA的值最小，最小值为DF的长，DF=TF+DT=，即PD+AP的最小值为 . 2026陕西中考数学 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,AB=4,D,F分别是边AB,BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值为 . －1 第9题图 2026陕西中考数学 第9题答图 【解析】延长AC到点P，使CP=AC，连接BP,过点F作FB⊥BP于点Q，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q.∵∠ACB=90°，∴∠ABC=30°,AB=4,∴CP=AC=2,BP=AB=4，∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH=30°,∴在Rt△FHB中，FH=FB.∵AE⊥ CD于点G，∴∠AGC=90°. 2026陕西中考数学 第9题答图 ∵O为AC的中点，∴OA=OC=OG=AC,∴A,C,G三点共圆，圆心为 O，即点 G 在⊙O 上运动，∴ OG+GF+FB=OG+GF+FH≥ OQ，∴ GF+FB≥ OQ－1， 当点 G 运动到 OQ 上且 G，F，H 共线时 GF+FB 取得最小值.∵在 Rt△OPQ 中，∠ P=60°，OP=3， sin P==，∴ OQ=OP=， ∴ GF+FB 的最小值为 －1. 2026陕西中考数学 10.如图，矩形ABCD是一个长为100m，宽为60m的货场，A，D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP，DP以及PH的长度和为L，则L的最小值为 m. 600+500 第10题图 2026陕西中考数学 第10题答图 【解析】如答图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转60°得到矩形AB＇C＇D＇，则点P，H也随之旋转60°，设点P的对应点为P＇，连接PP＇,P＇H＇，过点D作DF⊥B＇C＇于点F，交AD＇于点E. 2026陕西中考数学 第10题答图 由旋转的性质得AP＇=AP，P＇H＇=PH，∠P＇AP=∠D＇AD=60°，AB＇=AB=600，四边形AB＇C＇D＇是矩形，∴△AP＇P是等边三角形，∴P＇P=AP，∴L=AP+DP+PH=P＇P+DP+P＇H＇≥DF，∴P＇P+DP+P＇H＇的最小值为线段DF的长. 2026陕西中考数学 第10题答图 ∵DF⊥B＇C＇，∴∠EFB=∠B＇=∠B＇AE=90°，∴四边形AB＇FE是矩形，∴EF=AB＇=600，∠AEF=∠AED=90°.在Rt△AED中，∠EAD=60°，∴sin∠EAD=，∴DE=AD·sin∠EAD=500，∴DF=EF+DE=600+500，∴L的最小值为(600+500)m. 2026陕西中考数学 1.“两定一动”型 2026陕西中考数学 模型构建 例1 如图，已知AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点.若AM=，BN=，MN=3，则AC+BC= . 例1题图 【分析】以MN为轴作点A的对称点A'，连接A'B交MN于点C，则A'B就是AC+BC最小值.构造直角三角形，利用勾股定理求最小值. 5 2026陕西中考数学 例1题答图 【解析】如答图，作点A关于直线MN的对称点A',连接A'B交MN于点C,则AC+BC=A'C+BC=A'B,A'B即为AC+BC的最小值.延长BN使ND=A'M,连接A'D.又∵AM⊥MN,BN⊥MN,∴AA'∥BD, ∴四边形A'DNM是矩形, ∴A'D=MN.∵BD=BN+ND=BN+AM=4, ∴A'B==5,∴AC+BC的最小值为5. 2026陕西中考数学 1.“两动一定”型 2026陕西中考数学 模型构建 例2 如图，∠AOB=60°，P是∠AOB内的定点且OP=，M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 . 例2题图 【分析】分别作点P关于OA，OB的对称点.结合模型图，将周长最值问题转化为线段问题 3 2026陕西中考数学 例2题答图 【解析】如答图，分别作点P关于OA,OB的对称点C，D，连接CD分别交OA，OB于点M,N，则MC=MP，ND=NP，OD=OC=OP=，∠BOD=∠BOP，∠AOC=∠AOP，∴∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，此时△PMN的周长为 PN+PM+MN=ND+MN+MC⩾DC, 2026陕西中考数学 例2题答图 当点M，N在CD上时△PMN的周长最小.过点O作OH⊥CD于点H,则CH=DH.∵∠OCH=30°,∴OH=OC=,∴CH=OH=,∴CD=2CH=3,即△PMN周长的最小值是3. 2026陕西中考数学 1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，P是对角线AC上的一个动点，M，N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是 . 5 第1题图 2026陕西中考数学 第1题答图 【解析】如答图，作ME⊥AC交AD于点E，交AC于点P'，连接EN,EP,∴PM+PN=EP+PN≥EN,当E,P,N三点共线时,EN的长即为PM+PN的最小值.∵M,N分别是AB,BC的中点，∴BN=BM=AM.∵ME⊥AC交AD于点E，∴AE=AM，∴AE=BN.∵AE//BN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴EN=AB.由题意可得AB=5，∴EN=AB=5，∴PM+PN的最小值是5. 2026陕西中考数学 2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的动点，则PA+PE的最小值为 . 第2题图 2026陕西中考数学 第2题答图 【解析】如答图，延长AC至点A',使A'C=AC=2,连接A'B,取A'B的中点E',连接AE'交BC于点P',连接E'P，EP.易得△ACB是等腰直角三角形，点A和点A关于BC对称，点E'和点E关于BC对称，∴A'B=AB=AC=2， ∠A＇BC=∠ABC=45°，E＇P=EP， ∴∠A＇BA=∠A＇BC+∠ABC=90＇， BE＇=A＇B=. 2026陕西中考数学 第2题答图 在Rt△ABE＇中， AE==10. ∵AP+EP=AP+E＇P≥AE=， ∴PA+PE的最小值为. 2026陕西中考数学 3.如图，正方形ABCD的对角线长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则PD+PE的最小值为 . 3 第3题图 2026陕西中考数学 第3题答图 【解析】如答图，连接BD.∵点B与点D关于AC对称,∴PD=PB,∴PD+PE=PB+PE≥BE.当P为AC与BE的交点时,PD+PE的值最小，最小值为BE的长.∵正方形ABCD的对角线长为6,∴AB=3.又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=32，∴PD+PE的最小值为3. 2026陕西中考数学 4.如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，那么AB的长为_______. 7 第4题图 2026陕西中考数学 第4题答图 【解析】如答图，作点E关于CD的对称点E＇,过点E＇作E＇F⊥AB于点F,交CD于点P,连接CE＇,∴PE＇=PE,∴EP+FP=PE＇+PF⩾E＇F,此时EP+FP的值最小.∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°.∵E＇F⊥AB,∴∠E＇FB是直角三角形，∴∠E＇=30°，∴BE＇=2BF=10.∵BE=4,CE=CE＇,∴BE＇=2CE+BE,∴CE=3,∴AB=BC=CE+BE=7. 2026陕西中考数学 5.如图，∠AOB=30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM=1，ON=3，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 . 第5题图 2026陕西中考数学 第5题答图 【解析】如答图，作点M关于OB的对称点M＇，作点N关于OA的对称点N＇，连接M＇N＇，M＇N＇的长度即为MP+PQ+QN的最小值.根据对称的性质得 ∠N＇OQ=∠M＇ON=∠AOB=30°， OM＇=OM，ON'=ON,∴∠N'OM'=90°. 在Rt△M'ON'中, M'N'==, ∴MP+PQ+QN的最小值是. 2026陕西中考数学 6.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC边上一点，且BE=2，I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BID上一动点，连接PE，PC，则PE+PC的最小值为_______. 2 第6题图 2026陕西中考数学 第6题答图 【解析】如答图，在AB上取一点F，使BF=BE=2，连接PF,CF，过点F作FH⊥BC于点H，∵I是△ABC的内心，∠CBD=30°.又∵BP=BP，∴△BFP≌△BEP（SAS），∴PF=PE，∴PE+PC=PF+PC≥CF.当C,P,F三点共线时，PE+PC的值最小，最小值为CF的长.∵FH⊥BC，∠ABC=60°，∴FH=BF·sin∠ABC=3，CH=BC－BH=7，∴CF==2，∴PE+PC的最小值为2. 2026陕西中考数学 7.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点P，Q分别在AB，CD上，PQ//AD，线段EF在PQ上，且满足EF=1，连接AE，CF，则AE+CF的最小值为 . 5 第7题图 2026陕西中考数学 第2题答图 7.5【解析】如答图，过点E作EG∥CF交BC于点G，连接AG.∵PQ//BC，EG//CF，∴四边形EFCG是平行四边形，∴CG=EF=1，EG=CF.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，BC=AD=5，∴BG=BC－CG=4，∴AG==5.∵EG=CF，∴AE+CF=AE+EG≥AG，∴AE+CF的最小值为5. 2026陕西中考数学 8.如图，△ABC中，AB=4，∠BAC=30°.若在AC,AB上各取一点M,N，使BM+MN的值最小，则BM+MN的最小值为 . 2 第8题图 2026陕西中考数学 第8题答图 【解析】如答图，作点B关于AC的对称点B',过点B'作B＇N⊥AB于点N,交AC于点M,∴B＇M=BM,∴BM+MN=B＇M+MN≥B＇N,B'N即为BM+MN的最小值.连接AB＇.∵点B'与点B关于AC对称，∴AB＇=AB．又∵∠BAC=30°，∴∠B＇AB=60°，∴△B＇AB＇是等边三角形，∴B＇B=AB=4，∠B＇BN=60°，∴B＇N=B＇B·sin60°=2，∴BM+MN的最小值为2． 2026陕西中考数学 9. 如图，在正方形ABCD中，AB=6，MN是BC边上的动线段，且MN=1，则四边形ANMD周长的最小值为________. 20 第9题图 2026陕西中考数学 第9题答图 【解析】由题意得求四边形ANMD的周长的最小值，即为求AN+MD的最小值.如答图，在AD上截取AE=1，连接EM，则四边形ANME是平行四边形,∴EM=AN.作点E关于BC的对称点F,连接FM,DF,则EM+DM=FM+DM≥DF.在Rt△DEF中,DF==13,∴四边形ANMD周长的最小值是DF+AD+MN=20. 2026陕西中考数学 10.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB//CD，BC=3，DC=4，点E在BC上，且BE=1，F在边AB上的两个动点，且FG=1，则四边形DGFE周长的最小值为 . 2+6 第10题图 2026陕西中考数学 第10题答图 【解析】∵∠ABC=90°，AB∥CD，∴∠C=90°，∵BE=1，BC=3，∴CE=BC－BE=2.在Rt△DCE中，DC=4，CE=2，∴DE==25.∵FG=1，∴四边形DGFE的周长为DG+EF+2+1，要使四边形DGFE的周长最小，只要DG+EF最小即可.如答图，过点F作FP∥DG交DC于点P，则四边形DGFP是平行四边形，∴FP=DG，DP=FG=1. 2026陕西中考数学 第10题答图 ∵DC=4，∴CP=DC－DP=3.延长CB到点Q，使BQ=BE=1，连接QF，则QF=EF，∴CQ=BC+BQ=4，∴DG+EF=PF+QF≥PF，当Q，F，P三点共线时，QF+PF的值最小.在Rt△PCQ中，QP==5，∴四边形DGFE周长的最小值为DG+EF+2+1=2+6. 2026陕西中考数学 11.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以CD为边在矩形外部作△CDE，且S△CDE=6，连接BE，则BE+DE的最小值为_______. 4 第11题图 2026陕西中考数学 第11题答图 【解析】设点E到CD的距离为h.∵S△DCE=CD·h=6,∴h=3,∴点E在平行于CD,且到CD的距离为3的直线MN上（如答图）.作点D关于直线MN的对称点D＇,连接ED＇,BD＇,则D＇E=DE,∴BE+DE=BE+D＇E≥BD＇.在Rt△BAD＇中,∵AB=4,AD＇=AD+DD＇=8,∴BD＇==4,∴BE+DE的最小值为4. 2026陕西中考数学 11－1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为_______. 2 第11－1题图 2026陕西中考数学 第11－1题答图 【解析】设△ABP中AB边上的高是h.∵S△PAB=S矩形ABCD，∴AB·h=AB·AD，∴h=AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上.如答图，作点A关于直线l的对称点E，连接BE，PE.由对称的性质得PE=PA，∴PA+PB=PE+PB≥BE.在Rt△ABE中，∵AB=6，AE=2h=4，∴BE==2，∴PA+PB的最小值为2. 2026陕西中考数学 12.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ，OQ，则PQ－OQ的最大值为 . 第12题图 2026陕西中考数学 第12题答图 【解析】如答图，连接PO并延长交BC于点Q＇.在△OPQ中，PQ－OQ<OP，当点Q位于Q＇处，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠BAD=∠B=90°，∴∠PAO=∠QCA.又∵O为对角线AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOP=∠COQ，∴△AOP≌△CQO（ASA），∴OP=OQ＇，AP=CQ＇. 2026陕西中考数学 第12题答图 ∵AP=2，∴CQ＇=2，过点P作PH⊥BC于点H，∴∠PHB=90°，∴四边形APHB为矩形，∴BH=AP=2，PH=AB=4，∴HQ＇=AD－BH－CQ＇=2，∴PQ＇==2，∴OP=OQ＇=，∴PQ－OQ的最大值为. 2026陕西中考数学 13. 如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，且BE=2，点M，N分别在DC，BC边上，连接AM，MN和NE，已知AB=8，AD=4，当四边形AMNE周长最小时，DM的值为 . 5 第13题图 2026陕西中考数学 第13题答图 【解析】如答图，作点A关于DC的对称点A＇，点E关于BC的对称点E＇，连接A＇E＇，A＇E与DC交于点M＇，与BC交于点N＇，连接MA＇，NE＇，则MA＇=MA，NE＇=NE，∴四边形AMNE的周长为AM+MN+NE+AE=MA＇+MN+NE＇+AE≥A＇E＇+AE. 2026陕西中考数学 第13题答图 当四边形AMNE周长最小时，点M位于M＇处，点N位于N＇处.∵DM＇//AE＇，∴△A＇DM＇∽A＇AE＇，∴==.又∵AE＇=AB+BE＇=AB+BE=10,∴DM=DM＇=AE＇=5. 2026陕西中考数学 14.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM－PN的最大值为 . 1 第14题图 2026陕西中考数学 第14题答图 【解析】如答图，∵对角线BD平分∠NPM，∴作点N关于BD的对称点N＇，连接MN＇，PN＇.根据轴对称的性质可知，PN＇=PN，∠N＇PO=∠NPO，N＇O=NO．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=4,∴AC=AB=4.∴O为AC的中点，∴OA=OC=2． 2026陕西中考数学 第14题答图 ∵N为OA的中点，∴ON=，∴ON＇=CN＇=.∵BM=3，∴CM=BC－BM=1,∴==．∵∠MCN＇=∠BCA，∴△MCN＇∽△BCA，∴∠N＇MC=∠ABC=90°，∠MCN＇=45°，∴△MCN＇是等腰直角三角形，∴MN＇=CM=1.∵PM－PN=PM－PN＇≦MN＇，∴PM－PN的最大值为1. 2026陕西中考数学 15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BC=2，D是线段BC上的一个动点，点D关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的最小值是 . 2+ 第15题图 2026陕西中考数学 第15题答图 【解析】如图，连接AM,AN,AD.∵点D关于直线AB,AC的对称点分别为M,N,∴AM=AD=AN,∴∠MAB=∠DAB,∠NAC=∠DAC.∵∠BAC=45°,∴∠MAN=90°，∴△MAN是等腰直角三角形，∴∠MAN=AM,∵∠AM=AD,∴当AD取得最小值时,MN最小，即当AD⊥BC时,MN最小，过点B作BH⊥AC于点H.∵∠BAC=45°,∴AH=BH=AB,∴CH=(1-)AB. 2026陕西中考数学 第15题答图 在Rt△BHC中，由勾股定理得BH2+CH2=BC2,∴+2=4, ∴AB2=4+.在Rt△ADB中，AD2=AB2-BD2=3+2，∴AD=+1,∴MN=AD=2+，∴线段MN长最小的最小值是2+. 2026陕西中考数学 16.如图，已知sinC=，长度为2的线段ED在射线CF上滑动，点B在射线CA上，且BC=5，则△BDE周长的最小值为 . 2+2 第16题图 2026陕西中考数学 第16题答图 【解析】如答图，作BK∥CF，使得BK=DE，作点K关于直线CF的对称点G，连接KG交CF于点M，连接BG交CF于点D'，则四边形BKD'E'为平行四边形，∴BD'+BE'=BD'+D'G≥BG.作BH⊥CF于点H. 2026陕西中考数学 第16题答图 在Rt△BCH中，sinC==，∴BH=3,∴KM=3,∴GK=2KM=6, ∴BG==2,∴△BDE周长的最小值为 BE+DE+BD≥D＇E＇+BD＇=D＇E＇+BG=2+2. 2026陕西中考数学 17. 问题探究 (1)如图①，在四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD.若BC=4，则AD的长为 ； 4 第17题图① 2026陕西中考数学 (2)如图②，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，D是BC的中点，E,F分别为边AB,AC上的动点，连接AD,DE,DF,EF.若AD=2，求△DEF周长的最小值； 第17题图② 2026陕西中考数学 第17题答图① 解：(2)如答图①,分别作点D关于AB,AC的对称点D1,D2,连接AD1,AD2,D1E,D2F,D1D2, 由对称性的性质可得 D1E=DE,D2F=DF,AD1=AD2=AD=2,∠DAD1=2∠EAD,∠DAD2=2∠FAD, ∴△D1AD2是等腰直角三角形, ∴D1D2=AD1=2. ∵D1E+EF+D2F≥2, ∴△DEF周长的最小值为2. 2026陕西中考数学 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”.为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形ABCFD的健身中心，如图③，AD//BC,∠ABC=∠F=90°,AD=BC=500米，CF=300米，DF=400米，AC是一条走廊， 第17题图③ 2026陕西中考数学 将四边形ACFD规划为力量训练区，△ABC区域规划为有氧器械区，在AC上确定点P，Q（点P在点Q左侧），且满足PQ=100米，沿线段BQ，PQ，DP摆放某种小型健身器材，请计算BQ+PQ+DP的最小值. 第17题图③ 2026陕西中考数学 第17题答图② (3)如答图②，若过点B作PE//PQ，且BE=PQ，连接PE，DE，CD.过点E作EG⊥CD于点G，交AB于点H. ∵AD//BC，∠ABC=∠F=90°，AD=BC=500， ∴四边形 ABCD 是矩形. ∴∠ F=90°, CF=300, DF=400， ∴CD==500, ∴CD=BC,∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ BAC=45°，∠ BCD=90°，AB//CD. 2026陕西中考数学 第17题答图② ∵ BE//PQ, BE=PQ=100,∴ 四边形 BEPQ 是平行四边形,∴ ∠ EBH=∠ BAC=45°, EP=BQ. ∵EG⊥CD,∴∠ EGG=90°,∴ 四边形BCGH是矩形,∴ GH=BC=500,∠ BHG=90°,BH=CG, ∴∠ BHE=90° ，∴△BHE 是等腰直角三角形, ∴ EH=BH=BE=100, 2026陕西中考数学 第17题答图② ∴CG=BH=100,EG=EH+GH=600, ∴DG=CD-CG=400. 在Rt△DEG中， 由勾股定理得DE==200. ∵ PE+DP≥DE，∴ BQ+DP≥200. ∵ PQ=100， ∴ BQ+PQ+DP≥200+100， ∴ BQ+PQ+DP 的最小值为 (200+100) 米. $一、中考模型探究 模型7 倍角关系及特殊角的构造 模型应用 模型解读 1 2 1.如图,在△ABC 中,,,,D为BC 边的中点,连接AD,则AD=________. 第1题图 2. 定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为倍角三角形,并称这两个角的公共边为底边. (1)如图①,在△ABC 中,按如下步骤作图: ①作BC 的垂直平分线l; ②作∠ABC 的平分线与BC的垂直平分线l交于点O; ③连接CO 并延长,与AB交于点P,得到△BCP. 若按上述作法得到△BCP是倍角三角形,则∠PBC与∠PCB的数量关系为________________; 第2题图① (2)如图②,在矩形ABCD 中,以BC为底边作一个倍角三角形,使其顶点P恰好落在AD 边上.若,,求CP 的长度; 第2题图② (3)如图③,现有一块梯形板材ABCD,//,,,.工人师傅想用这块板材裁出一个△BCP型部件,使得点P在梯形ABCD的边CD上,△BCP是以BC 为底边且的倍角三角形.是否存在满足要求的△BCP?若存在,请确定点P的位置并求出CP的长;若不存在,请说明理由. 第2题图③ 解:(2)如答图①,△BCP 即为所求. △PBC 是倍角三角形，， 平分， ,. ,， . , ,. ,,. 第2题答图① 第2题答图② (3)存在.如答图②,点P 即为所求,BO 为∠PBC的平分线交CD 于点O.作 于点F. ,四边形ABFD是矩形， . ,. 由作图可知 ,, ,,.又,. ,,. 又,，， ,,. ,,,解得. 第2题答图② , 点P在CD上， 存在满足要求的,CP 的长为. 第2题答图② $一、中考模型探究 模型6 面积等分问题（几何法） 类型2 利用中线的性质解决 类型1 利用对称性解决 1 2 3 模型应用 3 利用对称性解决 例1[2020陕西,14]如图,在菱形中,,点在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段 EF 的长为_______. 【分析】以菱形为背景,根据菱形的性质可得过菱形对角线交点的直线平分菱形的面积,进而构造矩形，由矩形的性质以及直角三角形的性质进行求解 例1题图 【解析】如答图,分别过点 和点E作于点 ,于点H,则四边形为矩形，.在菱形ABCD 中,,，.平分菱形面积，且经过菱形对角线交点,,.在Rt△EFH中，由勾股定理得 . 例1题答图 利用中线的性质解决 例2 已知四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD相交于点O,E为OA 的中点,连接BE.若AC=12，BD=8,则△BOE 的面积为( ) A.4 B.6 C.8 D.12 【分析】由菱形对角线性质得AO,BO 的长度，可求出三角形 AOB的面积,由E为OA的中点可知直线BE 平分△AOB 的面积,由此可求出△BOE 的面积 B 【解析】如答图.由题意可得,,且,.为OA的中点,.故选B 例2题答图 1.如图,在平行四边形中,A,点在上,且,若直线经过点P,将该平行四边形的面积平分,并与平行四边形的另一边交于点Q,则线段 PQ 的长为_________. 第1题图 【解析】如答图,连接AC,BD交于点O,过点C作 于点M,连接CP,PQ.四边形ABCD是平行四边形, ,.将平行四边形的面积平分， 经过点.由平行四边形的中心对称性可知 ,. ，, ,点 M,P重合,, .在Rt△PCQ 中,由勾股定理得 . 第1题答图 2.如图,在平行四边形ABCD中,,,点E在AD的延长线上,且,过点E作直线l分别交边CD,AB于点M,N.若直线l将平行四边形ABCD的面积平分,则线段 CM 的长为_______. 第2题图 【解析】如答图,连接AC交l于点O.直线l将平 行四边形ABCD的面积平分,AC为平行四边形 ABCD 的对角线，为AC的中点,且O为平行 四边形的对称中心,.四边形ABCD 是平行四边形,,, ≌△COM (ASA),.又=2, . 第2题答图 3.如图,在 Rt△ABC 中,,,,D为AC上一点且,过点D作直线交△ABC 于点E,使得△ABC 被分成面积相等的两部分,则DE的长为_______. 第3题图 2 【解析】如答图,取AC 的中点F,连接BF,BD,作 交于点E,连接DE交BF 于点O., .,, ,, 平 分△ABC 的面积.,, ,,..,, 4.在 Rt△DCE 中,由勾股定理得 . 第3题答图 4.[2025西工大附中七模]如图,在矩形ABCD 中，点E,F 分别在边AD,BC上,线段EF 平分矩形的面积,连接 AF,P 为AF 的中点,连接DP,交EF 于点Q.若,,,则△PQF 的面积为____. 第4题图 3 【解析】如答图,连接AC交EF 于点O,连接PO,PE.线段EF 平分矩形的面积,经过矩形ABCD 的对称中心,即AC的中点O,.又 为AF的中点，.,EO=OF,设 .则 ,,,.,,, 第4题答图 ，,.为AF 的中点,,. 第4题答图 5.如图,在△ABC 中,∠BAC是钝角.请用尺规作图法,在BC边上确定一点P,使AP平分△ABC的面积(保留作图痕迹,不写作法). 解:如答图,线段AP 即为所求. 第5题图 第5题答图 6.如图,四边形ABCD是平行四边形,利用尺规作图法在AD 边上找一点P,连接BP,CP,使得△ABP 与△CDP 面积相等(保留作图痕迹,不写作法). 解:如答图,点P 即为所求. 第6题图 第6题答图 7.已知四边形 ABCD,按如下步骤作图:①连接AC,记AC 的中点为O;②连接 BD,过点O作OF //BD交AB于点F;③连接 BO ,DO,DF.根据以上步骤,求证:DF平分四边形ABCD的面积. 第7题图 证明:为AC的中点，. 同理可得， , . ,, , 平分四边形ABCD 的面积. 8.【问题探究】 (1)如图①,在矩形 ABCD 中,点E在AD上,连接BE,AE=CD,则∠EBC的度数为_____°; 45 第8题图① (2)如图②,在△ABC 中,∠ACB=90°,D是BC上一点,连接AD,,延长 DC 到点 E,使得 ,在BE下方作,连接EF,∠EFD=90°.若BD=DF,求证: ; [问题解决] (3)李师傅有一个如图③所示的平行四边形板材ABCD,E是AD上一点,AE=AB,连接BE,点O是平行四边形ABCD的对称中心,连接 第8题图② 第8题图③ CO并延长交BE 于点F,,作CG平分交AB于点G,连接GF,连接CG交BF于点M,过点M作交BC 于点N.现李师傅要裁出三角形部件MNC和三角形部件GCF,根据使用要求,的面积与的面积要相等.李师傅裁出的三角形部件MNC和三角形部件GCF是否满足使用要求?并说明理由. 第8题图③ (2)证明:在△ADC 和△EDF 中， (AAS),. 又， . (3)解:满足使用要求.理由如下: 如答图,连接AF.点O是平行四边形ABCD 的对称中心， 点A在CF 的延长线上. 在平行四边形ABCD 中,AB //CD,AD//BC,,,,. ,,. 第8题答图 和中， 第8题答图 (ASA),. 在CN 上截取,连接MH,过点H作于点 P,过点F作于点Q. ,，(SAS)， ,,， 第8题答图 , , . 李师傅裁出的三角形部件MNC和三角形部件GCF满足使用要求. 第8题答图 $