第7章 培优专题10 与展开图有关的难点问题探究-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（青岛版）

第7章空间图形的初步认识☑ 培优专题10：与展开图有关的难点问题探究 数 素 探究一：确定展开图上的最短路径 粒米需要爬行的最短距离又是多少？ 养 1.如图，一圆柱高为8cm,底面半径为cm, T 一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食物，要爬行 的最短路程是( ) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 第1题图 第2题图 2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、 探究二：与展开图有关的计算 高分别为100cm,15cm和10cm,A和B是 6.如图，矩形ABCD中，AB=a,BC=b,a>b, 这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只 以AB边为轴将矩形旋转一周形成圆柱体 蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的 甲，再以BC边为轴将矩形旋转一周形成圆柱 最短路线的长度为 体乙，记两个圆柱体的体积分别为V甲，Vz, 3.如图，长方体的长、宽、高分别为8cm,4cm, 侧面积分别为S甲，S乙，则下列式子正确的 5cm,一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到 是( 点B,则这只蚂蚁爬行的最短路径的长是 A.V甲>Vz,S甲=Sz cm B.V甲<Vz,S甲=Sz 应 C.V甲=Vz,S甲=Sz 识 D.V甲>Vz,S甲<Sz 创新 识 第3题图 第4题图 4.如图，已知圆锥的母线OA=12,底面圆的半 径r=3,若一只小虫从A点出发，绕圆锥的 B 侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的 第6题图 第7题图 最短路线的长是 .(结果保留根号) 7.(苏州中考)如图，8×8的正方形网格纸上有 5.如图，一正方体的棱长为2，一只蚂蚁在顶点 扇形OAB和扇形OCD,点O,A,B,C,D均 A处，在顶点G处有一米粒 在格点上.若用扇形OAB围成一个圆锥的侧 (1)蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是 面，记这个圆锥的底面半径为r1;用扇形 多少？ OCD围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的 (2)在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒 吹到了GF的中点M处，此时蚂蚁要吃到这 底面半径为r2,则2的值为 做神龙题得好成绩107 ☑同行学案学练测九年级数学下QD 8.一种圆简状包装的保鲜膜，如图所示，其规格 10.[空间观念]小明在家用剪刀剪开了一个长 为20cm×60m,经测量这筒保鲜膜的内径 方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把 素 d1、外径d2的长分别为3.2cm,4.0cm,则该 纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据 种保鲜膜的厚度约为 cm.（π取 你所学的知识，回答下列问题， 3.14,结果保留两位有效数字) (1)小明总共剪开了 条棱， (2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上 抽象能力· 去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一 个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条 运算能力 粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在 ①上补全 几何直观· (3)小明说，他所剪的所有棱中，最长的一条 棱是最短的一条棱的5倍.现在已知这个长 9.有一直径为√2cm的圆形纸片，从中剪出 空间观念 方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长 个圆心角是90°的最大扇形ABC(如图所示)： 方体纸盒所有棱长的和是880cm,求这个长 (1)求扇形的面积 方体纸盒的体积 (2)用所剪的扇形纸片围成一个圆锥，该圆锥的 力 底面圆的半径R是多少？ 宽 数据观念 高 ① ② ·模型观念·应用意识·创新意识 108做神龙题得好成绩17.解：由图可知，AD=AB十BC+CD.,AD=10,CD=2, 10.解：(1)如图，木柜的表面展开图是矩形ABC1D1或 AB十BC=8.设AB=x,则BC=8一x, ACC1A1.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图 8 不等式①，得x>3,解不等式②， 的AC1或AC1. D 得x<5,∴.不等式组的解集是3<x<5,∴.AB长度的取 值范围是3<AB<5. 第2课时与直棱柱有关的计算 1.D 2.解：设题图②的捆绑绳长为l1,则l1=2a×2+2b×2十4c (2)蚂蚁沿着木柜表面矩形ABCD1爬过的路径AC的 ×2=4a十4b+8c;设题图③的捆绑绳长为12，则l2=2a× 长是11=√4+(4+5)严=√97.蚂蚁沿着木柜表面 2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c;设题图④的捆绑绳长为 l3,则l3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c.,l1-l2 ACCA1爬过的路径AC1的长是12=√(4+4)2+5= =(4a+4b+8c)-(4a+4b+4c)=4c>0,∴.l1>l2.:l3 √89.11>l2,故最短路径的长是√89.(3)如上图.作 -l2=(6a+4b+6c)-(4a十4b+4c)=2a十2c>0,.l3> B,E⊥AC1于点E.∠CEB1=∠CA1A=90°， L2..l3-l1=(6a+4b+6c)-(4a+4b+8c)=2a-2c= BE 2(a-c),a>c,.2(a-c)>0,即l3-l1>0,l3>l1,.l3 ∠A,CA=∠EC,B1,△AAC△B,ECAA >l>l2,∴题图④的捆绑方法用绳最长，题图③的捆绑方 法用绳最短. AC1 则B,E-8M,=点×5-甜v, BiCI 89 3.C4.B5.136.B7.30 7.3圆柱的侧面展开图 8.解：如图所示，将长方体表面展开，蜘蛛的爬行路线在其表 1.C2.D3.C4.1或25.250πcm3 面展开图中有三种情形.在图①中，AG1=√62+9= 6.解：设圆柱的底面半径为r,高为h,由圆柱的侧面积为8π， √/17(cm),AG2=√11+4=√137(cm);在图②中， 得2r·h=8π①，由圆柱的体积为16π，得r2·h= AG=√102+52=√125(cm).通过比较可知经过EF到 16π②，由②÷①，得r=4,把r=4代人①，得h=1,所以 G点的爬行路线最短 这个圆柱的底面半径是4，高是1. 7.A8.C9.(1)13m(2)1.3 10.解：如图，将圆柱展开，连接AB.根据两点之间线段最短， 故梯子最短是AB=√122+52=13(m), R D H ① ③ 9.解：(1)设三个面的面积记为A=bc,B=ac,C=ab.在“1X 11.A12.2513.22 6”的方式下，打包方式如图①，这时，表面积=2C+12B十 14.解：(1)如图，连接OA,OD,过点O作OE⊥AD,垂足为 12A=2×11×7+12×11×2+12×7×2=586.在“2×3” 的方式下，打包方式如图②，这时，表面积=4C十6B十12A 点E.:D的长为圆周长的号，扇形OAD的圆心 =4×11×7+6×11×2+12×7×2=608.因为586<608， 角为36°×号 240°，∠AOD=360°-240°=120°. 所以最小表面积的打包方式是图①.(2)若a≥b≥c,则 按“1×6”方式打包的最小表面积S=2ab+12ac+12bc;按 0E1AD,∠A0E=号×120=60，AE=号AD, “2×3”方式打包的最小表面积S=4ab+6ac十12bc.所以 S-S'=2a(3c-b),所以当a≥b,且c≤b<3c时，最小表 AD=24cm,∴.AE=12cm.在Rt△AOE中， 面积为“2×3”方式；当a≥b>3c时，最小表面积为“1×6” 方式；当a≥b=3c时，两种方式表面积一样大. ∠A0E-A5iA0-6 sin60°≈12÷3 =8/3(cm). 答：⊙O的半径为83cm.(2)设圆柱的表面积为S,则 S=2S圈十S侧.2S图=2π×(83)2=384π(cm2),S侧= 2π×8√5×25=400√5π(cm2),.S=(384π+ 2 400√3π)cm.答：这个圆柱形木块的表面积为(384π+ 4003π)cm2. 6B元号8.5×10 9.解：(1)连接BC,AO.,∠BAC=90°，OB=OC,.BC是 ⊙O的直径，AO⊥BC.,⊙O的直径为√2cm,则AC= D 1cm,故S形= 90π×1_1 360 4π(cm).(2)BC的长为 7.4圆锥的侧面展开图 90πX1= 1.(1)B(2)D2.12π3.B4.15π5.8√2π6.C 180 登(cm,则2R=乏，解得R=是，放该圆锥的 7.√158.5πcm 1 9.解：(1)如图，设此圆锥的高为h,底面半径为r,母线长AC 底面圆的半径是车cm =l.2r=,1:r=2:1.(2):4010C,=2, 10.解：(1)8 (2)如图，共四种情况。 ∴圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC=60°.(3)由图 可知l2=h2+r2,h=33cm,.(2r)2=(3√3)2+r2,即 4r2=27+r2,解得r=3,.1=2r=6cm,∴.圆锥的侧面积 为18πcm2. ③ ④ 10.C11.A12.B13.2cm14.5 4 (3)长方体纸盒的底面是一个正方形，设最短的棱长 15.解：由题意可知，BA=6rcm,CD=4rcm,设∠AOB=n°， (即高)为acm,则长与宽相等为5acm.,长方体纸盒所 A0=Rcm,则C0=(R-9)cm,由弧长公式得L=”迟， 有棱长的和是880cm,∴.4(a+5a+5a)=880,解得a= 180 20,.这个长方体纸盒的体积为20×100×100= /6X180-mR ,解得n=40,R=27,故扇形OAB 200000(cm3). 4×180=nR-9 章末复习 。4 的圆心角是40，：R=27,R-9=18,∴S前形0m= 1.D2.B3.D4.C5.C6.67.B8.C 1 9.410.17 ×18=36x(cm2),S期彩0aa=2×6元×27=81π(cm2), 11.解：(1)这个几何体是六棱柱. .纸杯侧面积=S扇形0B一S崩形0m=81π一36π=45π(cm2). (2)侧面积=(2十4)ab=6ab. 纸杯底面积=π·22=4π(cm2),纸杯表面积=45π十 12.解：(1)该铁皮的面积为(1×3)×2+(2×3)×2+(1×2) 4π=49π(cm2). ×2=22(平方米).(2)能做成一个长方体盒子，如图所 培优专题10：与展开图有关的难点问题探究 示，它的体积为3×1×2=6（立方米）. 1.C2.125cm3.√1454.12√2 5.解：(1)如图①所示..正方体的棱长为2，∴.AC=2AB= 2米 4,CG=2,∴.AG=V√AC2十CG=√/16+4=2√5，∴.蚂蚁 71米 吃到这粒米需要爬行的最短距离是2√5.(2)如图②所 3米 示.由题意可知AN=AB十BN=3,MN=2,.AM= √AN2+MNz=√32+22=√13，∴.蚂蚁要吃到这粒米 13.解：这个零件的底面积=元·（学）-36x(cm):这个零 需要爬行的最短距离是√13。 件的圆柱的侧面积=12π·8=96π(cm2);圆锥母线长OC F √8+（皆）-10(m,这个等件的内制面积=号 2 12π·10=60π(cm2),∴.这个零件的表面积为36π十96π十 B N 60π=192π(cm). ① ② 14.144或384π 同行学案学练测·25·