专题01 直角三角形的性质与判定（五大题型）（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题01 直角三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、斜边的中线等于斜边的一半（重点） 1 题型二、含30度角的直角三角形（重点） 6 题型三、直角三角形全等判定（重点） 7 题型四、直角三角形性质综合（难点） 9 题型五、直角三角形的性质与判定综合（难点） 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、斜边的中线等于斜边的一半 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，与分别是斜边上的高与中线，以下判断中正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）如果直角三角形的面积是8，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是 ． 3．如图，，是中点，，则的度数为 ． 4．如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则 ． 5．如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，．若，则的度数为 ． 6．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在和中，，连接与交于点O，M，N分别是、的中点．求证：垂直平分． 7．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．    8．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，三边上的高相交于点M，P为的中点，Q为的中点，求证：． 9．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 20．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）已知：如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： (1)； (2)． 11．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在取点，使，分别连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 12．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在中，，，高与高相交于点，为的中点． 求证： (1)； (2)． 13．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证： (1)． (2)若，求证：是等边三角形 题型二、含30度角的直角三角形 14．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得，．如果，那么塔高 （结果用含字母的代数式表示）． 15．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于，若，，则的长是 ． 16．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，且平分，则梯形的周长是 cm．    17．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，在等边中，点分别在边上，，线段交于点，连接．（本大题须书写完整依据） (1)求证； (2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 18．（24-25八年级上·上海·月考）如图，在中，，点在边上，， (1)当，求证：； (2)当时，是否一定为，如果一定，给出证明：如果不一定，请说明理由． 题型三、直角三角形全等判定 19．已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，求证：． 20.如图，在与中，，，与交于点F，且， 求证： (1) ； (2)． 21．（22-23八年级上·上海宝山·期中）五边形中，，平分，，求证：． 题型四、直角三角形性质综合 22．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，．线段、分别为的高和中线，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·上海普陀·月考）在中，为斜边上的中线，已知，则的周长= ． 24．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． (1)若，求线段的长； (2)求证：． 25．（24-25八年级上·上海·期中）已知，，，点、分别在边、上，连接、． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，连接，若，点为的中点，连接、，求的大小． 题型五、直角三角形的性质与判定综合 26．（22-23八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 27．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，点D在边上，，垂足为E，点G在上，且，．求证：． 28．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连接和，相交于点．以下结论①；②；③是等腰三角形；④中正确的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·期末）中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 5．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 6.（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：四边形中，，、分别是对角线、的中点，、交于，当，，时，求的长． 7．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点C在上，点E在上，，，点G是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 8.已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 9．（24-25八年级上·上海闵行·期中）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，是的角平分线，是的中线，，垂足为点． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究； （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规作出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点），如果不存在，请说明理由． 10．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，，平分交边于．求证：点在斜边的垂直平分线上； （2）如图2，在（1）的条件下，如果点是斜边上一点（不与点、重合），过点分别作，垂足分别是． 求证：； （3）如图3，在中，，点在边上，，点是斜边上一点（不与点重合），过点分别作，垂足分别是．那么结论“”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 11．（24-25八年级上·上海·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，为中点，于交于点，连接，若．求证：． 如图，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系．请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图，在中，，为中点，于交于点．连接，若，求证：． 【学以致用】（3）如图，在中，，点在边上，，过作交的延长线于点，直接写出 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直角三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、斜边的中线等于斜边的一半（重点） 1 题型二、含30度角的直角三角形（重点） 13 题型三、直角三角形全等判定（重点） 18 题型四、直角三角形性质综合（难点） 22 题型五、直角三角形的性质与判定综合（难点） 26 B综合攻坚・能力跃升 题型一、斜边的中线等于斜边的一半 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，与分别是斜边上的高与中线，以下判断中正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，根据斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，同角的余角相等，进行判断即可． 【详解】解：∵在中，，与分别是斜边上的高与中线， ∴， ∴， ∴，； 故①②③正确， 无法得到，故④错误； 综上分析可得：正确的有3个． 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）如果直角三角形的面积是8，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．设直角三角形的斜边长为，根据三角形的面积可得：，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为， 直角三角形的面积是8，斜边上的高是2， ， 解得：， 直角三角形的斜边长为8， 斜边上的中线长是4， 故答案为：4． 3．如图，，是中点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，，，从而利用三角形的外角性质和三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：，是中点， ，， ，，， . ， ， ， 故答案为：． 4．如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则 ． 【答案】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出，即可得出答案． 【详解】证明：如图，联结CE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE,∠EDB=90°， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠AEC=30°， Rt△EDB中，∵F是BE的中点， ∴DF=BE， Rt△ACE中,∵∠AEC=30°， ∴AC=AE， ∴AC=DF=4． 故答案为：． 5．如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，．若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形斜边中线的性质． 利用三角形外角性质求出，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，证得，，求出，利用四边形内角和求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴P为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在和中，，连接与交于点O，M，N分别是、的中点．求证：垂直平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形的性质， 连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的三线合一即可证明 【详解】解：连接，如图所示 ，M是的中点 又 N分别是的中点 垂直平分 7．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，，推出，从而证明，得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明． 【详解】证明：， ，， ， 在和中 又点、分别是、的中点 ， ． 8．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，三边上的高相交于点M，P为的中点，Q为的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的斜边上中线等于斜边的一半，线段垂直平分线的判定，正确添加辅助线是解题的关键． 可得均为直角三角形，继而由斜边上的中线性质得到，则点在的垂直平分线上，继而可求证． 【详解】证明：连接， ∵三边上的高相交于点M， ∴均为直角三角形， ∵P为的中点，Q为的中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴． 9．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得出结论． 【详解】解：，证明如下： ∵在中，，为的中点， ∴， ∵在中，，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）． 20．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）已知：如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则； （2）如图所示，连接，根据直角三角形的性质得到，则，再由角平分线的定义证明，推出，即可证明垂直平分，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． 11．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在取点，使，分别连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一： （1）根据直角三角形斜边中线的性质求出，，可证； （2）证出，得出，证出，根据等腰三角形三线合一即可得出结论． 【详解】（1）证明： ，，点是的中点， ，， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ， 是的角平分线， 又， ，平分， 垂直平分． 12．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在中，，，高与高相交于点，为的中点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定性质，直角三角形斜边上中线的性质；解决本题的关键是得到． （1）根据等腰直角三角形的性质证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可以解决问题； （2）由（1）得，然后证明，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ∵ ∴， ∴，， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 为的中点． ， ，， 为的中点． ， ； （2）证明：由（1）知：，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证： (1)． (2)若，求证：是等边三角形 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出即可证明． 【详解】（1）如图：连接、， 、分别是、边上的高， ,， 在与中， M是线段的中点， ,， ， 是等腰三角形， 又因为N是线段的中点， ； （2）在中，， ， 由（1）可知： ， ，， ， ， ， 由（1）可知是等腰三角形， 是等边三角形． 题型二、含30度角的直角三角形 14．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得，．如果，那么塔高 （结果用含字母的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握直角三角形中所对的直角边为斜边的一半成为解题的关键． 先根据三角形的外角的性质可得，进而得到，由等腰三角形的判定可得，最后根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为． 15．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明，进一步说明，然后再根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半即可． 【详解】解：如图：连接    ∵的垂直平分线交的延长线于F， ∴，,， ∵在中，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为∶2． 16．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，且平分，则梯形的周长是 cm．    【答案】15 【分析】由推出，得到，由角平分线的定义得到因此，推出求出，得到梯形是等腰梯形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴梯形的周长， 故答案为：15． 17．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，在等边中，点分别在边上，，线段交于点，连接．（本大题须书写完整依据） (1)求证； (2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形性质，直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）通过证明得出，再由即可推出结论； （2）作交于点H，通过证明得出，再根据含的直角三角形性质推出即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 又， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2），证明如下： 如图，作交于点H， ， 由（1）知，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·上海·月考）如图，在中，，点在边上，， (1)当，求证：； (2)当时，是否一定为，如果一定，给出证明：如果不一定，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)当时，，详见解析 【分析】(1)由条件得到直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一边，再利用等腰三角形的性质，等角对等边，从而可证得结果； (2)通过作辅助线，得到,再利用，得到为等边三角形，从而可得到结果． 【详解】（1）证明：当时， ， ， ， 且， ， ， ， ； （2）解：当时，，理由如下： 取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型三、直角三角形全等判定 19．已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，先根据，且可知，再根据，即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先根据（1）中可知，由全等三角形的判定定理可得出，再根据全等三角形的性质可得出，，同理证明，得出，推出，由等腰三角形三线合一即可得出． 【详解】（1）证明：连接． ，且， ， 又， ， ， ； （2）证明：由（1）可知，， 在与中， ，，， ， ，， 在与中， ，，， ， ， ， 又为的中点， 垂直平分． 20.如图，在与中，，，与交于点F，且， 求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据AAS证明即可； （2）解法一：连接证明，进而可证明结论成立；解法二：连接，利用等腰三角形的性质和判定方法证明即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴ ∴ （2）解法一：连接 ∵ ∴ 在与中 ， ∴ ∴， ∴， 即 解法二：连接 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ 21．（22-23八年级上·上海宝山·期中）五边形中，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】在上截取，连接，过点A作，根据全等三角形的判定分别证明，，，然后再由其性质即可证明． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接，过点A作， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 题型四、直角三角形性质综合 22．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，．线段、分别为的高和中线，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高和中线的性质，熟练掌握三角形高和中线的性质是解题的关键； 根据三角形高和中线的性质，结合图形对选项一一判断即可求解． 【详解】解：线段、分别为的高和中线， ， ， ， ，故A选项正确，不符合题意； 在中，， ， ， ，故B选项正确，不符合题意； ， ，故选项C正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出，故无法推出，故选项D错误，符合题意； 故选：D 23．（24-25八年级上·上海普陀·月考）在中，为斜边上的中线，已知，则的周长= ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，两锐角互余以及斜边上中线等于斜边的一半，角的直角三角形性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由直角三角形锐角互余得到，则，再由斜边上中线得到，即可求解周长． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． (1)若，求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1)4； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边中线 等于斜边的一半等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由含30度角的直角三角形可知，再由等角对等边可得出． （2）连接，由直角三角形的性质可知，从而证得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ，， ， ， ． 25．（24-25八年级上·上海·期中）已知，，，点、分别在边、上，连接、． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，连接，若，点为的中点，连接、，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，设与相交于点，由等腰直角三角形的性质可得，设，，则，，由可求得，进而可得，由直角三角形的性质即可求证； （）连接，由直角三角形的性质可得，进而可得，，，得到，，可得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴可设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 即， ∴． 题型五、直角三角形的性质与判定综合 26．（22-23八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明，即可解决问题． 【详解】证明： ， ． ∵点E、F分别是、的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 27．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，点D在边上，，垂足为E，点G在上，且，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】过点D作于点M，根据三角形内角和定理及等腰三角形的判定推出，求出，则，证明，根据全等三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】证明：如图，过点D作于点M， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴、是直角三角形， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴． 28．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)证明过程见详解． 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等，熟练运用这些知识点是正确解答此题的关键． （1）由为边上的高，证明，都是直角三角形，用证明即可得结论； （2）由得，进而得出是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，进而得，根据，得，等量代换得，即可证明． 【详解】（1）证明：为边上的高， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， 即是直角三角形， 为边上的中点， ， ， ， ， ， ． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连接和，相交于点．以下结论①；②；③是等腰三角形；④中正确的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由“”可证，可得，故①正确．由等腰直角三角形的性质可得②正确，由角的数量关系可求，可得，即是等腰三角形，故③正确．由角平分线的性质可得点F到的距离等于点F到的距离，由三角形的面积公式可得出④正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，故①正确； 点为的中点，， ∴， ∴， ，，， ；故②正确； 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形，故③正确； 平分， ∴点F到的距离等于点F到的距离， ，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共有4个， 故选：A 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，连接，三线合一，得到，等边对等角，求出，进而求出，利用含30度的直角三角形的性质，求出的长，进一步求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，D是的中点， ∴，，                                                     ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．（23-24八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的高和中线，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角； 根据同角的余角相等，直角三角形斜边中线的性质证明即可得出答案． 【详解】解：在中，∵，、分别是斜边上的高和中线， ∴，，， ∴，， ∴， 无法得出，，， ∴A、B、C错误，D正确； 故选：D． 4．（24-25八年级上·上海·期末）中，是锐角，与的平分线交于点D，过A作交的延长线于点E．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键．根据题意，画出°和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系，设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ①当时， ， ； ②当时， ，， ， ， ； 如图2所示，当时， 设，则， 与的平分线交于点D， ，， ， ， ， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 5．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 【答案】 【详解】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长，熟练掌握性质是解题的关键． 【解答】解：方程， ， 解得：或（舍去）， ∴等腰直角三角形斜边上的高为，即为斜边上的中线， 则这个直角三角形斜边的边长为， 故答案为：． 6.（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：四边形中，，、分别是对角线、的中点，、交于，当，，时，求的长． 【答案】 【分析】如图，连接．证明，求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点C在上，点E在上，，，点G是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质． （1）连接，得到，根据三线合一，即可得证； （2）三线合一，得到，根据，得到，即可得证； 掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点G是的中点， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵点G是的中点， ∴． 8.已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及判定、直角三角形性质， （1）先证明，结合得出，即可证明结论； （2）连接，根据直角三角形性质得出，由等腰三角形性质得出，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）连接， ，点为的中点， ， ∵点为的中点，， ∴， ， ∵点为的中点， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·上海闵行·期中）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，是的角平分线，是的中线，，垂足为点． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究； （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规作出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点），如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3）存在，图见解析 【分析】（1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）作线段的垂直平分线交线于O，以M为圆心，为半径画弧，以N为圆心，为半径画弧，两弧相交点，连接，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以， 理由如下： ①当时，如图， ∵，是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的角平分线， ∴； ②当时，如图， ∵是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ③当，，与“线垂”三角形中，，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或； （3）解：存在，如图，即为所求， 由作图知：O为中点，，，平分， ∴， ∴等腰是以为“分角”的“线垂”三角形． 10．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，，平分交边于．求证：点在斜边的垂直平分线上； （2）如图2，在（1）的条件下，如果点是斜边上一点（不与点、重合），过点分别作，垂足分别是． 求证：； （3）如图3，在中，，点在边上，，点是斜边上一点（不与点重合），过点分别作，垂足分别是．那么结论“”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、30度直角三角形的性质、 （1）根据题意和角平分线的定义，可以得到和的关系，然后即可得到和的关系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立； （2）根据30度直角三角形的性质得，，进而得出结论； （3）利用面积法得到求证即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在斜边的垂直平分线上； （2）证明：∵，， ∴， 由（1）可得， 又∵， ∴，， ∴， ∴； （3）成立，理由如下： 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·上海·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，为中点，于交于点，连接，若．求证：． 如图，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系．请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图，在中，，为中点，于交于点．连接，若，求证：． 【学以致用】（3）如图，在中，，点在边上，，过作交的延长线于点，直接写出 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的定义，含角的直角三角形等知识点，掌握转化思想是解答本题的关键． （1）延长至点，使，连接，证明，得到，所以，进而得到，根据题意得到，所以，进而可证； （2）延长至，使，连接，则，证明， 得到，又，所以，再根据等腰三角形三线合一即可得出结论； （3）在上方作，并交于点，由题意得且，则在中，，进而根据已知条件求出，所以，再经过转化即可得到的值． 【详解】解：（1）延长至点，使，连接，则， 为中点， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）如图，延长至，使，连接，则， 为中点， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即； （3）如图，在上方作，并交于点， 则， 且， ， 则在中，， 又，， ， 则， ， 故， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $