第3章 第7节 正弦定理和余弦定理（PPT课件）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数中的正弦定理和余弦定理，覆盖解三角形的核心考点，包括定理应用、解的个数判断及三角形形状判断等。依据高考评价体系，分析近五年真题考点权重，归纳出已知两边一角求第三边、利用正余弦定理求角度等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，精选2023-2025年全国卷及北京卷真题，如2025全国二卷利用余弦定理求角度题，通过典例精析培养学生的推理能力和运算能力。针对“已知两边和其中一边对角”问题，总结“大边对大角”判断解的个数方法，帮助学生掌握答题技巧，提升得分率，同时为教师提供系统复习框架，助力高效教学。

第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 第七节　正弦定理和余弦定理 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 目录 contents Part 01 知识要点 Part 02 双基检测 Part 05 课时作业 Part 03 典例精析 Part 04 高考再现 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 知识要点 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 sin A sin B sin C sin A sin B sin C 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 双基检测 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 典例精析 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 高考再现 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 谢谢观看 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 1．正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等， 即_____________________. eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C) 2．正弦定理中常用的变形 (1)a＝2R_________，b＝2R_________，c＝2R_________. (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(C,2R). (3)asin B＝bsin A；bsin C＝csin B；asin C＝csin A. (4)a∶b∶c＝_________∶_________∶_________. (5)三角形的面积公式S△＝eq \f(1,2)absin C＝________＝________. eq \f(1,2)acsin B eq \f(1,2)bcsin A eq \f(a2＋c2－b2,2ac) a2＋b2－2abcos C eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 3．余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍，即 a2＝__________________⇔cos A＝__________， b2＝__________________⇔cos B＝__________， c2＝__________________⇔cos C＝__________. b2＋c2－2bccos A eq \f(b2＋c2－a2,2bc) a2＋c2－2accos B 4．正弦定理、余弦定理是解决有关斜三角形问题的两个重要定理，它们可以解决以下一些三角形问题： (1)利用正弦定理可以解决： ①已知两角和一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． (2)利用余弦定理可以解决： ①已知三边，求三个角； ②已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角． 同时，在利用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角，求其他两角和一边”的问题时，要结合图象并根据“三角形大边对大角”来判断解的情况，做到正确取舍． 　在△ABC中，已知a，b和A时，角的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 【友情提示】　若A为锐角，a＜bsin A时，无解；A为钝角或直角，a≤b时无解． 5．判断三角形的形状 在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解． 1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　) A．无解　　　　　 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 解析：选B　∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， ∴sin B＝eq \f(b,a)sin A＝eq \f(24,18)sin 45°＝eq \f(2\r(2),3). 又∵a<b，∴B有两个解，即此三角形有两解． 2．已知a，b，c是△ABC三边的长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析：选C　(a＋b)2－c2＝ab，故a2＋b2－c2＝－ab，cos C＝－eq \f(1,2)，C＝120°. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＝2bc，sin C＝3sin B，则A＝(　　 ) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6) 解析：选B　因为sin C＝3sin B，由正弦定理得c＝3b， 又因为a2－b2＝2bc，可得a2＝7b2， 又由余弦定理，可得cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝eq \f(b2＋3b2－7b2,2b×3b)＝eq \f(1,2)， 因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3). 4．在△ABC中，若A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,3)，a＝2eq \r(3)，则b＝(　　) A．2eq \r(3) B．3eq \r(2) C．2eq \r(6) D. 3eq \r(3) 解析：选B　根据正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，故eq \f(2\r(3),sin \f(π,4))＝eq \f(b,sin \f(π,3))，解得b＝3eq \r(2). 　(1)△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求b； (2)△ABC中，B＝30°，b＝4，c＝8，求C，A，a. [思路点拨]　直接利用正弦定理和三角形内角和定理求解，考查正弦定理的直接应用． [精解详析]　(1)由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B). ∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°， ∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(8×sin 60°,sin 45°)＝4eq \r(6). (2)由正弦定理得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(8sin 30°,4)＝1. 又∵30°＜C＜150°，∴C＝90°. ∴A＝180°－(B＋C)＝60°， a＝eq \r(c2－b2)＝4eq \r(3). [解题心得] (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 　在△ABC中，已知sin A＝eq \f(3,5)，sin A＋cos A＜0，a＝3eq \r(5)，b＝5，求c. [思路点拨]　据题意sin A＋cos A＜0，知cos A＜0，利用余弦定理求解． [精解详析]　∵sin A＋cos A＜0，且sin A＝eq \f(3,5)， ∴cos A＝－eq \r(1－sin2A)＝－eq \f(4,5). 又∵a＝3eq \r(5)，b＝5， ∴由a2＝b2＋c2－2bccos A， 得(3eq \r(5))2＝52＋c2－2×5×c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))，即c2＋8c－20＝0. 解得c＝2或c＝－10(舍去)，∴c＝2. [解题心得] 已知三角形的三边或已知两边和它们的夹角，运用余弦定理求解．熟练掌握余弦定理及其变形形式是解题的关键，同时还要注意方程思想的运用． 　(2025·北京模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin B＝eq \f(1,3)，且______． 在①a2－b2＋c2＝2，②eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－1，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求△ABC的面积； (2)若sinAsinC＝eq \f(\r(2),3)，求b. [思路分析]　(1)若选①，则根据余弦定理得accos B＝1，且cos B>0，于是利用平方公式得cos B，即可得ac的值，再根据面积公式即可得△ABC的面积；若选②，根据向量数量积定义得eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－accos B，且cos B>0，于是利用同角的平方关系公式得cos B，即可得ac的值，再根据面积公式即可得△ABC的面积； (2)由正弦定理得即可求得eq \f(b2,sin2 B)的值，开方可求eq \f(b,sin B)的值，从而得到b的值． [精解详析]　(1)若选①： 因为a2－b2＋c2＝2，由余弦定理得cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，整理得accos B＝1，则cos B>0， 又sin B＝eq \f(1,3)，则cos B＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3)，ac＝eq \f(1,cos B)＝eq \f(3\r(2),4)， 则S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(2),8)； 若选②： 因为eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－1<0，即eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝ －accos B<0，则cos B>0， 又sin B＝eq \f(1,3)，则cos B＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3)， 又eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－accos B，得ac＝eq \f(1,cos B)＝eq \f(3\r(2),4)， 则S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(2),8). (2)由正弦定理得：eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，则eq \f(b2,sin2 B)＝eq \f(a,sin A)·eq \f(c,sin C)＝eq \f(ac,sin Asin C)＝eq \f(\f(3\r(2),4),\f(\r(2),3))＝eq \f(9,4)， 则eq \f(b,sin B)＝eq \f(3,2)，b＝eq \f(3,2)sin B＝eq \f(1,2). 1．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋ eq \r(3)，AB＝ eq \r(6)，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：选A　由题意得cos A＝ eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝ eq \f((\r(6))2＋(1＋\r(3))2－22,2×\r(6)×(1＋\r(3)))＝ eq \f(\r(2),2)， 又0°<A<180°，所以A＝45°.故选：A. 2．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝eq \f(π,5)，则∠B＝(　　 ) A.eq \f(π,10) B.eq \f(π,5) C.eq \f(3π,10) D.eq \f(2π,5) 解析：选C　由题意结合正弦定理可得 sin Acos B－sin Bcos A＝sin C， 即sin Acos B－sin Bcos A ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋B))＝sin Acos B＋sin Bcos A， 整理可得sin Bcos A＝0. 由于B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，故sin B>0， 据此可得cos A＝0，A＝eq \f(π,2)，则B＝π－A－C＝π－eq \f(π,2)－eq \f(π,5)＝eq \f(3π,10).故选：C. 2．(2023·北京高考)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝(　　 ) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6) 解析：选B　因为(a＋c)(sin A－sin C) ＝b(sin A－sin B)， 所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)， 即a2－c2＝ab－b2， 则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)， 又0＜C＜π，所以C＝eq \f(π,3).故选：B. 4．(2023·全国甲卷)在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝eq \r(6)，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝_________. 解析：如图所示：记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6， 因为b>0，解得：b＝1＋eq \r(3)， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， eq \f(1,2)×2×b×sin 60°＝eq \f(1,2)×2×AD×sin 30°＋eq \f(1,2)×AD×b×sin 30°， 解得：AD＝eq \f(\r(3)b,1＋\f(b,2))＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(3))),3＋\r(3))＝2. 答案：2 5．(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝eq \r(2)cos B，a2＋b2－c2＝eq \r(2)ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋eq \r(3)，求c. 解：(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，对比已知a2＋b2－c2＝eq \r(2)ab， 可得cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(2)ab,2ab)＝eq \f(\r(2),2). 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C＝eq \r(1－cos2C)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(2),2)， 又因为sin C＝eq \r(2)cos B，即cos B＝eq \f(1,2)， 注意到B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3). (2)由(1)可得B＝eq \f(π,3)，cos C＝eq \f(\r(2),2)，C∈(0，π)，从而C＝eq \f(π,4)，A＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(5π,12)， 而sin A＝sin eq \f(5π,12)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)， 由正弦定理有eq \f(a,sin\f(5π,12))＝eq \f(b,sin\f(π,3))＝eq \f(c,sin\f(π,4))， 从而a＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)·eq \r(2)c＝eq \f(\r(3)＋1,2)c，b＝eq \f(\r(3),2)·eq \r(2)c＝eq \f(\r(6),2)c， 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)·eq \f(\r(3)＋1,2)c·eq \f(\r(6),2)c·eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3＋\r(3),8)c2， 由已知△ABC的面积为3＋eq \r(3)， 可得eq \f(3＋\r(3),8)c2＝3＋eq \r(3)， 所以c＝2eq \r(2). 6．(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－C))＝sinB. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)∵A＋B＝3C，∴π－C＝3C，即C＝eq \f(π,4). 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin Acos C＝3cos Asin C，∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，∵0<A<eq \f(π,2)，∴sin A＝eq \f(3,\r(10))＝eq \f(3\r(10),10). (2)由(1)知，cos A＝eq \f(1,\r(10))＝eq \f(\r(10),10)， ∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),10)＋\f(\r(10),10)))＝eq \f(2\r(5),5)， 由正弦定理，eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，可得b＝eq \f(5×\f(2\r(5),5),\f(\r(2),2))＝2eq \r(10)， ∴eq \f(1,2)AB·h＝eq \f(1,2)AB·AC·sin A，∴h＝b·sin A＝2eq \r(10)×eq \f(3\r(10),10)＝6. $