第3章 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（PPT课件）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数、三角恒等变换与解三角形核心考点，严格对接高考评价体系。通过知识要点系统梳理、双基检测巩固基础，结合典例精析归纳同角关系式应用、诱导公式化简等常考题型，精准分析考点权重，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“高考再现”模块整合真题训练，“典例精析”深入解析诱导公式综合应用、正余弦定理解三角形等典型题型。运用数学思维中的推理能力与运算能力，指导学生掌握“公式逆用技巧”“边角互化模型”等突破方法，有效提升得分率。教师可依托课件实施分层教学，助力学生高效冲刺高考。

第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 第二节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 目录 contents Part 01 知识要点 Part 02 双基检测 Part 05 课时作业 Part 03 典例精析 Part 04 高考再现 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 知识要点 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 双基检测 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 典例精析 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 高考再现 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 谢谢观看 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：______________________. (2)商数关系：___________. sin2α＋cos2α＝1 eq \f(sin α,cos α) ＝－sin α sin(－α) ＝－sin α sin(π－α) ＝sin α 2．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α，k∈Z π＋α －α π－α eq \f(π,2)－α eq \f(π,2)＋α 正弦 ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝cos α sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝cos α sin(2kπ＋α) ＝sin α sin(π＋α) ＝－cos α cos(－α) ＝cos α cos (π－α) ＝－cos α 余弦 ________ ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ 正切 ________________ ________________ ________________ ________________ coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝sin α cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝－sin α tan(2kπ＋α) ＝tan α tan(π＋α) ＝tan α tan(－α) ＝－tan α cos(2kπ＋α) tan(π－α) ＝－tan α ＝cos α cos(π＋α) 对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说eq \f(kπ,2)±α，k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．” 3．sin α±cos α与sin α·cos α的关系 (sin α±cos α)2＝________________________； sin α·cos α＝eq \f(sin α＋cos α2－1,2)＝eq \f(1－sin α－cos α2,2). 1±2sin αcos α 1．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)≤α≤π，则tan α＝(　　) A．－2　　　　　　　 B．2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 解析：选D　因为eq \f(π,2)≤α≤π，所以cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq \f(2\r(5),5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(1,2). 2．若sin (π＋α)＝ eq \f(1,3)，则sin (π－α)＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))等于(　　) A．－ eq \f(2,3) B． eq \f(2,3) C． eq \f(2\r(2),3) D．－ eq \f(2\r(2),3) 解析：选A　sin (π＋α)＝－sin α＝ eq \f(1,3)，sin α＝－ eq \f(1,3)，sin (π－α)＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin α＋sin α＝2sin α＝－ eq \f(2,3). 3．已知sin θ＋cos θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cos θ的值为(　　) A.eq \f(\r(2),3) B．－eq \f(\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3) 解析：选B　由sin θ＋cos θ＝eq \f(4,3)，得2sin θcos θ＝eq \f(7,9). ∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴0<sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ<0， (sin θ－cos θ)2＝1－eq \f(7,9)＝eq \f(2,9)，∴sin θ－cos θ＝－eq \f(\r(2),3). 4．已知tan(π－α)＝2，则eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝________. 解析：因为tan(π－α)＝2， 所以tan α＝－2， 所以eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(－2＋1,－2－1)＝eq \f(1,3). 答案：eq \f(1,3) 　化简：eq \f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α)，k∈Z. [思路点拨]　化简时注意观察题设中的角出现了kπ，需讨论k是奇数还是偶数． [精解详析]　当k为偶数时，记k＝2n(n∈Z)， 原式＝eq \f(sin2nπ－αcos[2n－1π－α],sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α) ＝eq \f(sin－αcos－π－α,sinπ＋αcos α)＝eq \f(－sin α－cos α,－sin αcos α)＝－1； 当k为奇数时，记k＝2n＋1(n∈Z)， 原式＝eq \f(sin[2n＋1π－α]cos[2n＋1－1π－α],sin[2n＋1＋1π＋α]cos[2n＋1π＋α]) ＝eq \f(sinπ－αcos α,sin αcosπ＋α)＝eq \f(sin αcos α,sin－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1. [解题心得] 用诱导公式化简三角表达式一般多从正面直接应用公式进行化简，在此种情况下最容易出错的地方是三角函数的符号，为此需要牢记诱导公式，可通过“函数名不变，符号看象限”这一简便记法理解记忆． 　已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ)，k∈Z， 求： (1)eq \f(4sin θ－2cos θ,5cos θ＋3sin θ)；(2)eq \f(1,4)sin2θ＋eq \f(2,5)cos2θ. [思路点拨]　此类题目的一般做法是：化简已知条件，把化简得到的三角函数式用已知表示，然后代入已知求解． [精解详析]　由已知得cos(θ＋kπ)≠0. ∴tan(θ＋kπ)＝－2，k∈Z，即tan θ＝－2. (1)eq \f(4sin θ－2cos θ,5cos θ＋3sin θ)＝eq \f(4tan θ－2,5＋3tan θ)＝10. (2)eq \f(1,4)sin2θ＋eq \f(2,5)cos2θ＝eq \f(\f(1,4)sin2θ＋\f(2,5)cos2θ,sin2θ＋cos2θ) ＝eq \f(\f(1,4)tan2θ＋\f(2,5),tan2θ＋1)＝eq \f(7,25). [解题心得] 已知tan α的值，求形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的值，可将1＝sin2α＋cos2α代入，转化为关于tan α的函数后再求值． 　(2025·湖南名校联考)已知f(α)＝eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋α))). (1)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π))，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α))＝－eq \f(1,2)，求α的值； (2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α))－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，求tan α的值． [思路点拨]　(1)由诱导公式化简，根据特殊角的三角函数值求角； (2)利用同角三角函数的关系求值． [精解详析]　(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α))＝eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋α))) ＝eq \f(－sin α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan α))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos α)),－cos αtan α)＝sin α， 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2π))，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α))＝sin α＝－eq \f(1,2)， 所以α＝eq \f(7π,6)或α＝eq \f(11π,6). (2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α))－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sin α－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sin α＋cos α＝eq \f(1,5)， 则sin α＝eq \f(1,5)－cos α，所以cos2α＋sin2α＝cos2α＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－cos α))2＝1， 解得cos α＝eq \f(4,5)或cos α＝－eq \f(3,5)， 由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则cos α＝－eq \f(3,5)， 得sin α＝eq \f(4,5)， 所以tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3). 【友情提示】 在△ABC中常用的变形结论有： ∵A＋B＋C＝π，2A＋2B＋2C＝2π，eq \f(A,2)＋eq \f(B,2)＋eq \f(C,2)＝eq \f(π,2)， ∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C， tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C， sin(2A＋2B)＝sin(2π－2C)＝－sin 2C， cos(2A＋2B)＝cos(2π－2C)＝cos 2C， tan(2A＋2B)＝tan(2π－2C)＝－tan 2C， sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝coseq \f(C,2)， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq \f(C,2)， 以上结论在熟练应用的基础上加强记忆． 1．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cos θ)＝(　　) A．－eq \f(6,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(6,5) 解析：选C　eq \f(sin θ1＋sin 2 θ,sin θ＋cos θ) ＝eq \f(sin θsin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ,sin θ＋cos θ) ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ ＝eq \f(sin2θ＋sin θcos θ,sin2θ＋cos2 θ)＝eq \f(tan2θ＋tan θ,tan2θ＋1)， 将tan θ＝－2代入得eq \f(tan2θ＋tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(4－2,4＋1)＝eq \f(2,5)，故C正确． 2．(2023·全国甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________. 解析：因为y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋ax＋ sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－1))2－eq \f(π,2)a＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))2＋eq \f(π,2)a＋coseq \f(π,2)， 则πa＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))2＝2π，故a＝2， 此时feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋2x＋cos x ＝x2＋1＋cos x， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))2＋1＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x)) ＝x2＋1＋cos x＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))， 又定义域为R，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))为偶函数， 所以a＝2. 答案：2 3．(2023·全国乙卷)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan θ＝eq \f(1,2)，则sin θ－cos θ＝________. 解析：因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ＝eq \f(sin θ,cos θ)＝eq \f(1,2)，则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sin θ＝eq \f(\r(5),5)或sin θ＝－eq \f(\r(5),5)(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－eq \f(\r(5),5). 答案：－eq \f(\r(5),5) 4．已知sin α－cos α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝(　　) A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9) C.eq \f(2,9) D.eq \f(7,9) 解析：选A　因为sin α－cos α＝eq \f(4,3)，所以(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝eq \f(16,9)，解得sin 2α＝－eq \f(7,9). 5．已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________. 解析：由题意sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋\f(π,2)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)， 因为2kπ＋eq \f(3π,2)＜θ＜2kπ＋2π(k∈Z)， 所以2kπ＋eq \f(5π,4)＜θ－eq \f(π,4)＜2kπ＋eq \f(7π,4)(k∈Z)， 从而sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝－eq \f(4,5)，因此taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝－eq \f(4,3). 答案：－eq \f(4,3) 6．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析：sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos2α ＝eq \f(2sin α·cos α－cos2x,sin2α＋cos2α)＝eq \f(2tan α－1,tan2α＋1)， ∴原式＝eq \f(2×－2－1,－22＋1)＝－1. 答案：－1 $