第3章 第1节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数（PPT课件）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数第一节核心考点，依据高考评价体系梳理了任意角概念、弧度制、三角函数定义三大考查模块，通过知识要点系统整合与双基检测，明确象限角判断、三角函数求值、扇形面积计算等高频考点，归纳出定义应用、分类讨论等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧深度融合，如2023北京高考题分析象限角与正切值关系，通过典例精析中“终边在直线上求三角函数值”的分类讨论、“扇形最值问题”的二次函数转化，培养学生数学思维与符号表达能力。助力学生掌握答题技巧，也为教师提供系统复习框架，提升冲刺效率。

第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 第一节　任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 目录 contents Part 01 知识要点 Part 02 双基检测 Part 05 课时作业 Part 03 典例精析 Part 04 高考再现 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 知识要点 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 正角 负角 零角 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 αr 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 双基检测 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 典例精析 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 高考再现 返回导航 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 谢谢观看 第三章　三角函数 三角恒等变换、解三角形 返回导航 1 {x|－90°＋k·360°＜α＜k·360°，k∈Z} 1．角的概念的推广 (1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α.角分为____、____、______. (2)象限角：第一象限角：__________________________________； 第二象限角：___________________________________________； 第三象限角：___________________________________________； 第四象限角：___________________________________________． {x|k·360°＜α＜90＋k·360°，k∈Z} {x|90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z} {x|180°＋α·360°＜k＜270°＋k·360°，k∈Z} {α|α＝135°＋k·180°，k∈Z} (3)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为___________________. (4)特殊角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合为___________________； 终边在一、三象限角平分线上的角的集合为______________________________； 终边在二、四象限角平分线上的角的集合为______________________________． β＝α＋k·360°，k∈Z {α|α＝k·90°，k∈Z} {α|α＝45°＋k·180°，k∈Z} eq \f(1,2)αr2 2．弧度制 (1)定义：用“弧度”作单位来度量角的制度，叫做弧度制． (2)角度与弧度的互化：1°＝______弧度，1弧度＝______. (3)两个公式：(r为圆弧半径，α为圆心角的弧度数)． 弧长公式：l＝____，扇形面积公式：S＝______＝______. eq \f(π,180) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))° eq \f(1,2)rl 3．三角函数的定义 (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离|PO|＝r，那么角α的正弦、余弦、正切分别是： sin α＝____，cos α＝____，tan α＝____.(如图(1)) eq \f(y,r) eq \f(x,r) eq \f(y,x) (2)三角函数的符号： 各三角函数的值在各象限的符号示意如下(如图(2))． 1．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan α的值为(　　) A．－eq \f(1,2)　　　　　　　　 B.eq \f(1,2) C．－2 D．2 答案：C 2．角－863°的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　－863°＝－2×360°－143°，则－863°和－143°的终边相同，故角－863°的终边在第三象限． 3.eq \f(11,6)π化为角度是(　　) A．60° B．660° C．110° D．330° 解析：选D　eq \f(11,6)π化为角度是eq \f(11,6)×180°＝330°. 4．已知一扇形的周长是4，当扇形的面积最大时，扇形的中心角为________． 解析：l＋2r＝4，S＝eq \f(1,2)lr＝r(2－r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1≤1，r＝1，l＝2时取最大值，θ＝eq \f(l,r)＝2. 答案：2 　(1)写出终边在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合； (2)已知α是第二象限角，求eq \f(α,2)所在的象限； (3)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________． [思路点拨]　(1)分角的终边在第一象限和第三象限讨论； (2)根据象限角的定义先写出第二象限角，再写eq \f(α,2)的范围，最后确定eq \f(α,2)所在象限； (3)注意边界线的虚实． [精解详析]　(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))， 当角的终边在第三象限时，角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))))，故所求角的集合为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))∪eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))) ＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)))，k∈Z)). (2)∵α是第二象限角，∴2kπ＋eq \f(1,2)π<α<2kπ＋π(k∈Z)， ∴kπ＋eq \f(π,4)<eq \f(α,2)<kπ＋eq \f(1,2)π(k∈Z)． 当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角． 综上知，当α是第二象限角时，eq \f(α,2)是第一或第三象限角． (3)由图可知，角α用集合表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)＜α＜2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)))). [解题心得] (1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断． (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． 　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路点拨]　先设出直线上的任意点坐标，再分类讨论． [精解详析]　∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t) (t≠0)，则x＝4t，y＝－3t， r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(4t2＋－3t2)＝5|t|， 当t＞0时，r＝5t， sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,5t)＝－eq \f(3,5)， cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,5t)＝eq \f(4,5)， tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4)； 当t＜0时，r＝－5t， sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,－5t)＝eq \f(3,5)， cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,－5t)＝－eq \f(4,5)， tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4). 综上可知，当t＞0时，sin α＝－eq \f(3,5)，cos α＝eq \f(4,5)， tan α＝－eq \f(3,4)；当t＜0时，sin α＝eq \f(3,5)，cos α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4). [解题心得] 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解． 　(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [思路点拨]　根据周长与面积即可求解圆心角，根据周长求解最大面积． [精解详析]　(1)设圆心角是θ，半径是r， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2r＋rθ＝10，,\f(1,2)θ·r2＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝1，,θ＝8))(舍)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝4，,θ＝\f(1,2)，)) 故扇形圆心角为eq \f(1,2). (2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. S＝eq \f(1,2)θ·r2＝eq \f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r) ＝－(r－10)2＋100≤100， 当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2. 所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大． [解题心得] (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形． 1．(2023·北京高考)已知命题p：若α，β为第一象限角，且α＞β，则tan α＞tan β.能说明p为假命题的一组α，β的值为α＝______，β＝______. 答案：eq \f(9π,4)　eq \f(π,3)(答案不唯一) 2．sin 750°＝________. 解析：sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) 3．若tan α>0，则(　　) A．sin α>0 B．cos α>0 C．sin 2α>0 D．cos 2α>0 解析：选C　由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α>0，故选C. 4．在平面坐标系中，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox始边，OP为终边，若tan α< cos α<sin α，则P所在的圆弧是(　　) 解析：选C　设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数可得eq \f(y,x)<x<y，所以P所在的圆弧是. $