第2章 第8节 函数与方程（PPT课件）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

该高中数学课件聚焦“函数与方程”高考核心考点，覆盖零点概念、方程解与函数零点关系、零点存在性定理等必考点。对接高考评价体系，通过知识要点系统梳理、双基检测夯实基础、典例精析归纳常考题型，分析考点权重，体现备考针对性和实用性。 课件亮点在于“高考再现”模块融入真题训练，结合典例精析培养学生数学思维与模型意识。如针对零点存在性定理应用题型，通过f(a)·f(b)<0的条件辨析、函数图像与零点关系分析，帮助学生掌握“定理条件验证+图像辅助判断”解题技巧。助力学生高效突破高频考点，教师可精准指导复习，提升备考效率。

第二章　函数、导数及其应用 第八节　函数与方程 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 目录 contents Part 01 知识要点 Part 02 双基检测 Part 05 课时作业 Part 03 典例精析 Part 04 高考再现 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 知识要点 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 f(x)＝0 x轴 零点 f(a)·f(b)＜0 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 f(a)·f(b)＜0 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 双基检测 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 典例精析 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 高考再现 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 谢谢观看 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 一、方程的根与函数的零点 1．对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使____________的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 2．方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有______. 3．函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，并且______________________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得____________，这个x0也就是方程f(x)＝0的根． f(x0)＝0 f(c1)·f(b)＜0 二、用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证______________________； 第二步，求区间(a，b)的中点c1； 第三步，计算________； (1)若____________，则c1就是函数的零点； (2)若_____________________，则令b＝c1(此时零点x0∈(a，c1))； (3)若______________________，则令a＝c1(此时零点x0∈(c1，b))； 第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步． f(c1) f(c1)＝0 f(a)·f(c1)＜0 三、几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 四、解函数应用问题的步骤(四步八字) 1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； 2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 3．求模：求解数学模型，得出数学结论； 4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： 1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1)　 　 B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：选B　f(－1)＝2－1－3＝－eq \f(5,2)＜0，f(0)＝1＋0＝1＞0，又∵f(x)在定义域上单调递增，∴零点在(－1,0)上． 2．Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t关系时，得到的Malthus模型是N(t)＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为(参考数据：ln 6.3≈1.84)(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C　当N＝t时，N(t)＝N0e0.46t＝6.3N0，即e0.46t＝6.3， 则0.46t＝ln 6.3≈1.84，得t≈4. 3．若函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________． 解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得eq \f(1,3)<a<1，所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) 4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为________． 答案：1.56 　(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(1,x)的一个零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) (2)(2025·济南模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [思路点拨]　借助函数零点存在性定理、函数的单调性→函数零点所在区间或个数． [精解详析]　(1)∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 3－eq \f(1,2)>0， ∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B. (2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象(图略)． 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C. [答案]　(1)B　(2)C [解题心得] 方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断． 　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))内的一个零点．(精确度0.1) [思路点拨]　充分利用逼近的思想，使零点进一步接近真实值． [精解详析]　依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤． 由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0， f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0， ∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算列表如下： 端(中)点坐标 中点函数值符号 零点所在区间 |an－bn| [1,1.5] 0.5 1.25 f(1.25)＜0 [1.25,1.5] 0.25 1.375 f(1.375)＞0 [1.25,1.375] 0.125 1.312 5 f(1.312 5)＜0 [1.312 5,1.375] 0.062 5 ∴|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1， ∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.312 5，1.375]内，故函数零点的近似值为1.312 5. [解题心得] 用二分法求函数零点的近似值，其精确度为正数ε，指将零点的初始值区间[a，b]逐次二等分所得的区间[a′，b′]满足|a′－b′|＜ε，此时取[a′，b′]的一个端点值a′(或b′)作为函数的零点的近似值即可． 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq \f(1,3)x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋eq \f(10 000,x)－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完． (1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ [思路点拨]　(1)用“利润L＝销售收入－成本”列函数关系式； (2)分别求出每段上利润的最大值，然后求整个函数的最大值． [精解详析]　(1)当0＜x＜80，x∈N＋时， L(x)＝eq \f(500×1 000x,10 000)－eq \f(1,3)x2－10x－250＝－eq \f(1,3)x2＋40x－250； 当x≥80，x∈N＋时， L(x)＝eq \f(500×1 000x,10 000)－51x－eq \f(10 000,x)＋1 450－250 ＝1 200－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10 000,x)))， ∴L(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋40x－2500＜x＜80，x∈N＋，,1 200－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10 000,x)))x≥80，x∈N＋.)) (2)当0＜x＜80，x∈N＋时， L(x)＝－eq \f(1,3)(x－60)2＋950， ∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950. 当x≥80，x∈N＋， L(x)＝1 200－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10 000,x)))≤ 1 200－2eq \r(x·\f(10 000,x))＝1 200－200＝1 000， ∴当x＝eq \f(10 000,x)，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1 000＞950. 综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 1．(2025·天津高考)函数f(x)＝0.3x－ eq \r(x)的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3)　　　　　B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) 解析：选B　由指数函数、幂函数的单调性可知y＝0.3x在R上单调递减，y＝ eq \r(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)＝0.3x－ eq \r(x)在定义域上单调递减， 显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0， 所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3，0.5).故选：B. 2．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　 ) A．－1 B． eq \f(1,2) C．1 D．2 解析：选D　令f(x)＝g(x)，即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x， 令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x， 原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点， 注意到F(x)，G(x)均偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2， 若a＝2，令F(x)＝G(x)，可得2x2＋1－cos x＝0. 因为x∈(－1，1)，则2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点， 所以a＝2符合题意． 3．(2023·全国乙卷)函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　 ) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－2)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－3)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－1)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，0)) 解析：选B　f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a， 若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))要存在3个零点，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))要存在极大值和极小值，则a<0， 令f′(x)＝3x2＋a＝0，解得x＝－ eq \r(\f(－a,3))或 eq \r(\f(－a,3))， 且当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(－a,3))))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(\f(－a,3))，＋∞)))时， f′(x)>0，当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(－a,3))， \r(\f(－a,3))))，f′(x)<0， 故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的极大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(－a,3))))，极小值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(\f(－a,3)))))， 若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))要存在3个零点，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(－a,3))))>0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(\f(－a,3)))))<0，)) 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,3) \r(\f(－a,3))－a \r(\f(－a,3))＋2>0，,\f(－a,3) \r(\f(－a,3))＋a \r(\f(－a,3))＋2<0，)) 解得a<－3.故选：B. 4．已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．1 解析：选C　法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数． ∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点． 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝eq \f(1,2).故选C. 法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2eq \r(ex－1·e－x＋1)＝2， 当且仅当x＝1时取“＝”． －x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝eq \f(1,2). 若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C. 5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2\r(x)，0≤x≤1，,\f(1,x)，x>1，))若关于x的方程f(x)＝－eq \f(1,4)x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))∪{1} D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))∪{1} 解析：选D　作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2\r(x)，0≤x≤1，,\f(1,x)，x>1)) 的图象，以及直线y＝－eq \f(1,4)x的图象， 关于x的方程f(x)＝－eq \f(1,4)x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，即为y＝f(x)和y＝－eq \f(1,4)x＋a的图象有两个交点，平移直线y＝－eq \f(1,4)x，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时， 有两个交点，可得a＝eq \f(9,4)或a＝eq \f(5,4). 考虑直线与y＝eq \f(1,x)在x>1相切，可得ax－eq \f(1,4)x2＝1，由Δ＝a2－1＝0，解得a＝1(－1舍去)，综上可得a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))∪{1}． 6．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 解析：∵|x－a|≥0恒成立，∴要使y＝2a与y＝|x－a|－1只有一个交点，必有2a＝－1，解得a＝－eq \f(1,2). 答案：－eq \f(1,2) $