第2章 第6节 对数与对数函数（PPT课件）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

该高中数学高考复习课件聚焦对数与对数函数核心考点，覆盖定义、性质、运算及函数图象与性质等高考必考点，对接高考评价体系，通过知识要点系统梳理与双基检测，明确对数运算、比较大小等高频考点权重，归纳运算化简、图象辨析等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于融合2020-2025年全国卷高考真题训练，如2023新高考Ⅰ卷声压级实际应用题，培养学生数学思维与数学语言素养。典例精析中通过对数运算化简、函数单调性判断等典型题，传授数形结合等突破方法，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导高效复习。

第二章　函数、导数及其应用 第六节　对数与对数函数 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 目录 contents Part 01 知识要点 Part 02 双基检测 Part 05 课时作业 Part 03 典例精析 Part 04 高考再现 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 知识要点 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 以a为底N的对数 底数 真数 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 e 10 lg N 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 N N 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 (0，＋∞) R (1,0) y＞0 y＜0 增 y＜0 y＞0 减 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 y＝x 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 双基检测 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 典例精析 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 高考再现 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 谢谢观看 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 1．对数 (1)定义：一般地，如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做________________，记作x＝logaN，其中a叫做对数的____，N叫做______. (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 以a(a＞0且a≠1)为底的对数 ________ 自然对数 以__为底的对数 ln N 常用对数 以____为底的对数 _______ logaN 2.对数的性质及恒等式、换底公式 (1)恒等式：＝__；logaaN＝__(a＞0且a≠1，N使式子有意 义)． (2)换底公式：logbN＝eq \f(logaN,logab)(a，b，N的值均使式子有意义)． (3)logab·logbc·logcd＝________. logad 3．对数的运算性质 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(M·N)＝__________________； (2)logaeq \f(M,N)＝__________________； (3)logaMn＝__________(n∈R)； (4) ＝eq \f(n,m)logaM. logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 4．对数函数图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：_________ 值域：____ 当x＝1时，y＝0，即过定点__________ 当x＞1时，______； 当0＜x＜1时，______； 在(0，＋∞)上是__函数 当x＞1时，______； 当0＜x＜1时，______； 在(0，＋∞)上是__函数 5.反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称． 1．函数f(x)＝ eq \f(1,x－2)＋ln (x－1)的定义域为(　　) A．(1，＋∞)　　　　B．(1，2)∪(2，＋∞) C．(－∞，1) D．(0，2)∪(2，＋∞) 解析：选B　因为f(x)＝ eq \f(1,x－2)＋ln (x－1)， 所以要使函数有意义，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－2≠0，)) 解得x>1且x≠2， 所以f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞). 2．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　) 解析：选B　函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B. 3．已知a＝log53，b＝0.2－0.3，则(　　 ) A．c<a<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 解析：选A　因为eq \f(1,2)＝log5 eq \r(5)<log5 3<log5 5＝1，即eq \f(1,2)<a<1， b＝0.2－0.3＝(0.2－1)0.3＝50.3>1， ＝log6 2，且0<log6 1<log6 2<log6eq \r(6)＝eq \f(1,2)，即0<c<eq \f(1,2)， 所以c<a<b.故选：A. 4．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是________． 解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2) 　(1)计算：2(lgeq \r(2))2＋lgeq \r(2)·lg 5＋ eq \r(lg\r(2)2－lg 2＋1)； (2)已知2lgeq \f(x－y,2)＝lg x＋lg y，求 [思路点拨]　(1)观察式子的特征，利用对数的运算性质将式子化简(如去根号、降幂等)，然后求值； (2)利用已知条件求得eq \f(x,y)的值后，代入求值； [精解详析]　(1)原式＝lgeq \r(2)(2lgeq \r(2)＋lg 5)＋eq \r(lg\r(2)2－2lg\r(2)＋1)＝lgeq \r(2)(lg 2＋lg 5)＋|lgeq \r(2)－1|＝lgeq \r(2)＋(1－lgeq \r(2))＝1. (2)由已知得lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,2)))2＝lg xy， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,2)))2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0. ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))2－6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＋1＝0. ∴eq \f(x,y)＝3＋2eq \r(2)或eq \f(x,y)＝3－2eq \r(2). ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＞0，,x＞0，,y＞0，))∴eq \f(x,y)＞1，∴eq \f(x,y)＝3＋2eq \r(2)， ∴＝ (3＋2eq \r(2)) ＝eq \f(1,3－2\r(2))＝－1. [解题心得] (1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立． (2)在运算中要注意对数化同底和指数与对数的转化． 　已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________． [思路点拨]　画出f(x)的图象，利用数形结合来解决． [精解详析]　问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1. [答案]　(1，＋∞) [解题心得] 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 　已知函数f(x)＝logaeq \f(1－mx,x－1)是奇函数(a＞0，且a≠1)． (1)求m的值； (2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明； (3)当a＞1时，f(x)在[2，＋∞)上取得最大值4，求a的值． [精解详析]　(1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)在其定义域内恒成立， 即logaeq \f(1＋mx,－x－1)＝－logaeq \f(1－mx,x－1)恒成立， ∴1－m2x2＝1－x2恒成立， ∴m＝－1或m＝1(舍去)，∴m＝－1. (2)由(1)得f(x)＝logaeq \f(x＋1,x－1)(a＞0，且a≠1)， 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 令t(x)＝eq \f(x＋1,x－1)，则t(x1)＝eq \f(x1＋1,x1－1)，t(x2)＝eq \f(x2＋1,x2－1)， ∴t(x1)－t(x2)＝eq \f(x1＋1,x1－1)－eq \f(x2＋1,x2－1)＝eq \f(2x2－x1,x1－1x2－1)， ∵1＜x1＜x2，∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0. ∴t(x1)＞t(x2)，即eq \f(x1＋1,x1－1)＞eq \f(x2＋1,x2－1)， ∴当a＞1时，logaeq \f(x1＋1,x1－1)＞logaeq \f(x2＋1,x2－1)， 即f(x1)＞f(x2)，f(x)在(1，＋∞)上是减函数； 当0＜a＜1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f(x)在[2，＋∞)上单调递减， 故当x＝2时，f(x)取到最大值． 即f(x)max＝f(2)＝4，∴logaeq \f(2＋1,2－1)＝4，loga3＝4，即a4＝3，∴a＝eq \r(4,3). [解题心得] (1)利用f(x)的奇偶性，转化为方程f(－x)＝－f(x)在定义域内恒成立，从而建立m的关系，求出的m值．应检验使得满足定义域关于原点对称的条件； (2)第(2)问不可忽视底数a的取值对单调性的影响； (3)解答本题应认真领会数学转化思想的灵活运用． 1．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 解析：选B　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝ eq \f(1,3)，z＝5-3＝ eq \f(1,125)，此时x>y>z，A有可能； 令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能； 令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能．故选：B. 2．((2024·全国甲卷))已知a>1且eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝－eq \f(5,2)，则a＝______. 解析：由eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝eq \f(3,log2a)－eq \f(1,2)log2a＝－eq \f(5,2)，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， ⇒log2a＝－1或log2a＝6，又a>1， 所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 答案：64 3．(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6) 解析：选B　本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式．因为alog34＝log34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝eq \f(1,4a)＝eq \f(1,9)，故选B. 4．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq \f(p,p0)，其中常数p0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p0>0))是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 解析：选ACD　由题意可知：Lp1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(60，90))，Lp2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(50，60))，Lp3＝40. 对于选项A：可得Lp1－Lp2＝20×lgeq \f(p1,p0)－20×lgeq \f(p2,p0)＝20×lgeq \f(p1,p2). 因为Lp1≥Lp2，所以Lp1－Lp2＝20×lgeq \f(p1,p2)≥0，即lgeq \f(p1,p2)≥0，所以eq \f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确； 对于选项B：可得Lp2－Lp3＝20×lgeq \f(p2,p0)－20×lgeq \f(p3,p0)＝20×lgeq \f(p2,p3). 因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lgeq \f(p2,p3)≥10，即lgeq \f(p2,p3)≥eq \f(1,2)， 所以eq \f(p2,p3)≥eq \r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq \r(10)p3， 当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为Lp3＝20×lgeq \f(p3,p0)＝40，即lgeq \f(p3,p0)＝2，可得eq \f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：Lp1－Lp2＝20×lgeq \f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lgeq \f(p1,p2)≤40， 即lgeq \f(p1,p2)≤2，可得eq \f(p1,p2)≤100，且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选：ACD. 5．(2022·北京高考)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg p的关系，其中T表示温度，单位是K；p表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，p＝1 026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，p＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，p＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，p＝729时，二氧化碳处于超临界状态 解析：选D　A选项：lg p＝lg 1 026>3，T＝220，由图易知处于固态；B选项：lg p＝lg 128>2，T＝270，由图易知处于液态；C选项：lg p＝lg 9 987≈3.999，T＝300，由图易知处于固态；D选项：lg p＝lg 729>2，T＝360，由图易知处于超临界状态．所以选D. 6．(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝eq \f(2,3)，则(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：选A　本题考查对数值比较大小． $