第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（PPT课件）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

该高中数学高考复习课件聚焦函数奇偶性与周期性专题，依据高考评价体系梳理定义、性质、判定等核心考点，明确奇偶性判断、周期性应用、解析式求解等高频题型，通过知识要点系统整合与双基检测夯实基础，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如典例精析中“定义法三步判断奇偶性”“周期性递推证明”等方法，结合2021-2025年全国卷真题解析，培养学生数学思维与推理能力，帮助掌握规范解题步骤，教师可据此精准把握考点，助力学生高效冲刺。

第二章　函数、导数及其应用 第三节　函数的奇偶性与周期性 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 目录 contents Part 01 知识要点 Part 02 双基检测 Part 05 课时作业 Part 03 典例精析 Part 04 高考再现 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 知识要点 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 双基检测 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 典例精析 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 高考再现 返回导航 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 谢谢观看 第二章　函数、导数及其应用 返回导航 1 1．函数的奇偶性 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数 性质 函数具有奇偶性的必要条件是函数的定义域关于原点对称 f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝－1[f(x)≠0]⇔f(x)的图象关于原点对称 f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝1[f(x)≠0]⇔f(x)的图象关于y轴对称 推广 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称 2.函数的周期性 定义 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把这个函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 最小正周期 对于一个周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期 周期函数的判定 设f(x)是定义在R上的函数，a是非零常数，且对任意的x∈R (1)若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期； (2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期； (3)若满足f(x＋a)＝±eq \f(1,fx)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期 1．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　) A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 答案：D 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b的值是(　　) A．－eq \f(1,3)　　　　 　 B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 解析：选B　若使f(x)为定义在[a－1,2a]上的偶函数，则b＝0，a－1＝－2a，∴a＝eq \f(1,3)，∴a＋b＝eq \f(1,3). 3．已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则f(3－2x)>f(1)的解集是(　　) A．(－1,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(1,2) 解析：选D　由偶函数的对称性知：f(x)在(－∞，0]上递增，则在(0，＋∞)上递减， 所以|3－2x|<1，故－1<3－2x<1，可得1<x<2，所以不等式解集为(1,2)． 4．若函数f(x)对任意实数x满足条件f(x＋1)＝－eq \f(1,fx)，若f(1)＝－5，则f[f(5)]的值为________． 解析：∵f(x＋2)＝－eq \f(1,fx＋1)＝f(x)，∴f(1)＝f(3)＝f(5)＝－5，f(－5)＝f(－5＋6)＝f(1)＝－5. 答案：－5 　讨论下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1) eq \r(\f(1－x,1＋x))； (2)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)； (3)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1). [思路点拨]　eq \x(判断定义域)→eq \x(判断f－x与fx的关系) →eq \x(得出fx的奇偶性) [精解详析]　(1)定义域要求eq \f(1－x,1＋x)≥0， ∴－1＜x≤1. ∴f(x)的定义域不关于原点对称， ∴f(x)不存在奇偶性． (2)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3))⇒－2≤x≤2且x≠0. ∴定义域关于原点对称， f(x)＝eq \f(\r(4－x2),x＋3－3)＝eq \f(\r(4－x2),x). 又f(－x)＝eq \f(\r(4－－x2),－x)＝－eq \f(\r(4－x2),x)， ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数． (3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))⇒x2＝1⇒x＝±1， 故函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． [解题心得] 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： (2)图象法 (3)性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 　已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，f(x)的表达式． [思路点拨]　eq \x(x<0)→eq \x(－x>0)→eq \x(求f－x)→eq \x(由奇函数求fx的表达式) [精解详析]　设x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|. 又∵f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x|x＋2|， ∴f(x)＝x|x＋2|. 故当x＜0时，f(x)＝x|x＋2|. [解题心得] (1)在哪个区间求解析式，x就设在那个区间里． (2)然后要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x)．从而解出f(x)． (4)也可利用奇偶函数的对称性求解，本题中f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，把x＞0时，f(x)的解析式：y＝x|x－2|中的x、y分别换为－x，－y即得所求． 　(1)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝－f(x)， 求证：f(x)是周期函数； (2)已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)的值． [思路点拨]　(1)证f(x＋T)＝f(x)； (2)首先求f(x)在一个周期上的表达式，然后求一个周期上f(x)的值，最后求f(x)所有值中出现的周期的个数． [精解详析]　(1)证明：∵f(x＋1)＝－f(x)， ∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1] ＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)是以2为周期的周期函数． (2)∵f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，∴f(x＋4)＝－eq \f(1,fx＋2)＝f(x)， ∴函数y＝f(x)的周期T＝4. 又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1， ∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－eq \f(1,f1)＝－1，f(4)＝－eq \f(1,f2)＝－eq \f(1,3). ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)] ＝506eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋3－1－\f(1,3)))＝eq \f(4 048,3). [解题心得] 判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 1．(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝(　　) A．－ eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,4) C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,2) 解析：选A　由题知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R成立，于是f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)))＝5－2× eq \f(11,4)＝－ eq \f(1,2).故选：A. 2．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：选B　由题意可知f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)＝－1＋eq \f(2,1＋x)，f(x)向右平移1个单位，向上平移一个单位即得到g(x)＝eq \f(2,x)为奇函数，所以选B. 3．(2023·新高考Ⅱ卷)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋a))·lneq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C.eq \f(1,2) D．1 解析：选B　因为f(x) 为偶函数，所以f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)lneq \f(1,3)＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0， 当a＝0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝xlneq \f(2x－1,2x＋1)，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>eq \f(1,2)或x<－eq \f(1,2)， 则其定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,2)))))或eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)))，关于原点对称． feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))lneq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))－1,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))lneq \f(2x＋1,2x－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))－1＝xlneq \f(2x－1,2x＋1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，故此时feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))为偶函数．故选：B. 4．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq \f(1,3)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝(　　) A．－eq \f(5,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(5,3) 解析：选C　因为f(1＋x)＝f(－x)，所以f(x)关于轴x＝eq \f(1,2)对称，又因为f(x)是奇函数， 所以f(1＋x)＝－f(x)，f(2＋x)＝－f(1＋x)， 所以f(2＋x)＝f(x)， 所以f(x)是周期为2的函数， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)－2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq \f(1,3). 5．(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝(　　) A．－eq \f(9,4) B．－eq \f(3,2) C.eq \f(7,4) D.eq \f(5,2) 解析：选D　因为f(x＋1)为奇函数， 所以f(1)＝0，即a＋b＝0，所以b＝－a， 又f(0)＝f(－1＋1)＝－f(1＋1)＝－f(2)＝－4a－b＝－3a， f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝0，由f(0)＋f(3)＝6，得a＝－2， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2))) ＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋1)) ＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋1))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2)) ＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) ＝－eq \f(9,4)a－b＝－eq \f(5,4)a＝eq \f(5,2)，故选D. 6．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________. 解析：设g(x)＝a·2x－2－x， 由已知知g(x)＝a·2x－2－x为奇函数， 则g(x)＋g(－x)＝(a－1)(2x＋2－x)＝0，因此a＝1. 答案：1 $