第1章 第4节 一元二次不等式及其解法（PPT课件）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式及其解法”核心考点，严格对接高考评价体系，系统梳理解法步骤、二次函数与方程及不等式关系、判别式与解集关联等知识要点，精准分析含参数不等式分类讨论、分式不等式转化、恒成立问题等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题实战训练与应试技巧指导，精选2025全国二卷、山东高考等真题，通过“一化二判三求四写”解题步骤培养学生数学思维，如分式不等式转化为整式不等式的等价变形方法，帮助学生掌握分类讨论逻辑与运算技巧，教师可据此高效开展专题复习，助力学生高考冲刺提分。

第一章　集合与常用逻辑用语 第四节　一元二次不等式及其解法 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 目录 contents Part 01 知识要点 Part 02 双基检测 Part 05 课时作业 Part 03 典例精析 Part 04 高考再现 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 知识要点 返回导航 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 ∅ R ∅ 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 双基检测 返回导航 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 典例精析 返回导航 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 高考再现 返回导航 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 谢谢观看 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右端化为0，左端化为二次项系数大于0的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； (2)求出相应的一元二次方程的根； (3)利用二次函数的图象与x轴的交点情况确定一元二次不等式的解集．即：当a>0，若方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，且x2>x1，则ax2＋bx＋c>0的解集为_____________________；ax2＋bx＋c<0的解集为___________________ {x|x＜x1或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} 2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若将符号“＝”改为不等号“>”或“<”便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)．因此，可以通过y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解，具体情况如下表： 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 一般式 y＝ax2＋bx＋c(a>0) Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0(a>0) ax2＋bx＋c>0(a>0) ax2＋bx＋c<0(a>0) 图象 与解 Δ>0 x＝x1，x＝x2 x<x1或x>x2 x1<x<x2 Δ＝0 x＝x0＝－eq \f(b,2a) ______________ __ Δ<0 无解 ___ __ x∈R且x≠x0 1．不等式(x－1)eq \r(x＋2)≥0的解集为(　　) A．[1，＋∞)　　　 B．[1，＋∞)∪{－2} C．[－2,1) D．[－2，＋∞) 答案：A 2．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x－3≤0))))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)))))，则A∩B＝(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥－3)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤3)))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥－1)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤1)))) 解析：选B　化简集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤x≤3))))， B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥0))))， 根据交集的定义，A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤3)))). 3．不等式eq \f(x－1,x－22)≥2的解集是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))∪(2,3] D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2,3] 解析：选D　原不等式可化为eq \f(x－1－2x－22,x－22) ＝eq \f(－2x＋3x－3,x－22)≥0， 有(－2x＋3)(x－3)≥0且x－2≠0， 解得eq \f(3,2)≤x≤3且x≠2.故选：D. 4．已知关于x的不等式ax＋b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式eq \f(ax－b,x－2)>0的解集为________． 答案：(－1,2) 　解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4； (3) eq \f(2x＋1,x－5)≥－1； (4)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． [精解详析]　(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤ eq \f(4,3)， 所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤x≤ \f(4,3))))). (2)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,x2－x－2≤4))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,x2－x－6≤0))⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2x＋1>0，,x－3x＋2≤0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>2或x<－1，,－2≤x≤3.)) 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}． (3)将原不等式移项通分得eq \f(3x－4,x－5)≥0， 等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－4x－5≥0，,x－5≠0，)) 解得x＞5或x≤eq \f(4,3).所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≤\f(4,3)或x>5)))). (4)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 因为a＞0，所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0. 所以当a＞1，即eq \f(1,a)<1时，解为eq \f(1,a)＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当0＜a＜1，即eq \f(1,a)>1时，解为1＜x＜eq \f(1,a). 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)).)) [解题心得] 1．解一元二次不等式的4个步骤 一化 把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 二判 计算对应方程的判别式 三求 求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根 四写 利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集 2.分式不等式的解法 求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1) eq \f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)； (2)eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)，且g(x)≠0. 3．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3,2)时，f(x) >0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0. (1)求f(x)在[0,1]内的值域； (2)c为何值，ax2＋bx＋c≤0的解集为R. [思路点拨]　由题意－3和2是f(x)＝0的两根，从而确定a与b的值，再进行求解． [精解详析]　由题意知f(x)的图象是开口向下，交x轴于两点A(－3,0)和B(2,0)的抛物线，对称轴为x＝－eq \f(1,2)(如图)． 那么x＝－3或x＝2时，y＝0. 代入原式 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＝a－32＋b－8×－3－a－ab，,0＝a×22＋b－8×2－a－ab，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝8))(舍)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5，)) ∴f(x)＝－3x2－3x＋18. (1)由图可知f(x)在[0,1]内单调递减， ∴ymin＝f(1)＝12，ymax＝f(0)＝18，值域为[12,18]． (2)令g(x)＝－3x2＋5x＋c≤0的解集为R， 则Δ≤0，∴c≤－eq \f(25,12). [解题心得] 一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，本题要注意不等式的解集的结构形式与二次项系数符号的关系． 　(1)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2) (2)若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________． [思路点拨]　(1)注意a－2是否为零； (2)分析题意设f(x)＝x2＋mx－1，则只需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fm＜0，,fm＋1＜0))即可． [精解详析]　(1)当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立． 当a≠2时， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝4a－22＋16a－2<0，,a－2<0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2<4，,a－2<0，))解得－2<a<2. ∴实数a的取值范围是(－2,2]． (2)由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fm＝m2＋m2－1<0，,fm＋1＝m＋12＋mm＋1－1<0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m2－1<0，,2m2＋3m<0，))解得－eq \f(\r(2),2)<m<0. [答案]　(1) C　(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0)) [解题心得] 1．一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 1．(2025·全国二卷)不等式 eq \f(x－4,x－1)≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1}　　　B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 解析：选C　 eq \f(x－4,x－1)≥2，即为 eq \f(x＋2,x－1)≤0， 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((x＋2)(x－1)≤0，,x－1≠0，))故－2≤x<1， 故解集为{x|－2≤x<1}．故选：C. 2．已知集合P＝{x|x2－2x≥3}，Q＝{x|2<x<4}，则P∩Q＝(　　) A．[3，4) B．(2，3] C．(－1，2] D．(－1，3] 解析：选A　因为P＝{x|x≥3或x≤－1}，所以P∩Q＝[3，4). 3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝(　　) A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4) 解析：选C　因为A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝(2，3). 4．(2020·山东高考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　 ) A．(－2,1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．[－2,1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：选A　结合图象易知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集(－2,1)，故选：A. 5．(2025·上海高考)不等式 eq \f(x－3,x－1)<0的解集为________． 解析：原不等式转化为(x－1)(x－3)<0，解得1<x<3，则其解集为(1，3). 答案：(1，3) 6．函数y＝eq \r(3－2x－x2)的定义域是________． 解析：要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]． 答案：[－3,1] $