第1章 第3节 不等关系与不等式（PPT课件）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

该高中数学高考复习课件聚焦“不等关系与不等式”专题，依据高考评价体系梳理了不等式概念、性质、比较大小、充要条件判断、基本不等式应用等核心考点，通过近5年高考真题（如2022上海卷、2020全国卷等）分析，明确比较大小、性质应用、充要条件判断等高频考点分布，归纳出作差法、作商法等常考题型的解题思路。 课件亮点在于“真题精析+技巧提炼+素养培育”的备考模式，如以2020山东卷多选题为例，用基本不等式证明“√a+√b≤√2”，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。特设易错点警示（如忽视不等式性质成立条件）和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准定位学情，实现高效复习。

第一章　集合与常用逻辑用语 第三节　不等关系与不等式 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 目录 contents Part 01 知识要点 Part 02 双基检测 Part 05 课时作业 Part 03 典例精析 Part 04 高考再现 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 知识要点 返回导航 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 ≠ 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 b＜a a＞c a＞b⇔a＋c＞b＋c a＋c＞b＋d 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 ac＞bc ac＞bd 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 双基检测 返回导航 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 典例精析 返回导航 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 高考再现 返回导航 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 谢谢观看 第一章　集合与常用逻辑用语 返回导航 1 1．不等式的概念 (1)用__(>、<或≠)连结而成的式子叫做不等式)． (2)对于两个或两个以上的不等式又有同向不等式和异向不等式，以及同解不等式等概念． 2．两个实数大小的比较 (1)作差法：设a，b∈R，则a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，这是比较两个实数大小和运用比较法的根据． (2)作商法：依据：设a>0，b>0，则a>b⇔eq \f(a,b)__1，a<b⇔eq \f(a,b)__1. 3．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔______； (2)传递性：a>b，b>c⇔______； (3)加法性质：____________________； 推论：a>b，c>d⇒______________； (4)乘法性质：a>b，c>0⇒__________； 推论：a>b>0，c>d>0⇒__________； (5)乘方性质：a>b>0⇒_____________________； (6)开方性质：a>b>0⇒____________________； (7)倒数性质：a>b，ab>0⇒________. an＞bn(n∈N，n≥2) eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2) eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) 1．设a＋b<0，且b>0，则(　　) A．b2>a2>ab　　 B．b2<a2<－ab C．a2<－ab<b2 D．a2>－ab>b2 答案：D 2．若a<b<0，则下列不等式不能成立的是(　　) A.eq \f(1,a－b)> eq \f(1,a) B.eq \f(1,a)>eq \f(1,b) C．|a|>|b| D．a2>b2 解析：选A　取a＝－2，b＝－1，则eq \f(1,a－b)> eq \f(1,a)不成立． 3．设M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，则有(　　) A．M<N B．M＝N C．M>N D．无法确定 解析：选C　因为M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6， 所以M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－3a＋6)＝a2－a＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)>0，所以M >N. 4．若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a－b的取值范围是____________． 解析：∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2， ∴－1<a－b<2. 答案：(－1，2) 　(2025·酒泉模拟)铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，且体积不超过72 000 cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为(　　) A．a＋b＋c<130且abc<72 000 B．a＋b＋c>130且abc>72 000 C．a＋b＋c≤130且abc≤72 000 D．a＋b＋c≥130且abc≥72 000 [思路点拨]　根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”． [精解详析]　由长、宽、高之和不超过130 cm，得a＋b＋c≤130，由体积不超过72 000 cm3，得abc≤72 000. [答案]　C [解题心得] (1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的是表示两者不等关系的式子，可用“a>b”“a<b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现，离开不等式，不等关系就无法体现． (2)将不等关系熟练地化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视． 　若a<0，b<0，则p＝eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p>q B．p≥q C．p<q D．p≤q [思路点拨]　通过作差或作商比较大小关系． [精解详析]　法一：p－q＝ eq \f(b2,a)＋ eq \f(a2,b)－(a＋b)＝ eq \f(b2,a)－a＋ eq \f(a2,b)－b＝ eq \f(b2－a2,a)＋ eq \f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·( eq \f(1,a)－ eq \f(1,b))＝(b2－a2)× eq \f(b－a,ab)＝ eq \f((b－a)2(a＋b),ab)， ∵a<0，b<0，∴a＋b<0，ab>0，(b－a)2≥0， ∴p－q≤0，即p≤q，选D. 法二：p＝ eq \f(b2,a)＋ eq \f(a2,b)＝ eq \f(a3＋b3,ab)，∵a<0，b<0， ∴ eq \f(b,a)>0， eq \f(a,b)>0，∴ eq \f(p,q)＝ eq \f(a3＋b3,ab)× eq \f(1,a＋b)＝ eq \f(a2－ab＋b2,ab)＝ eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)－1≥1，又q＝a＋b<0， ∴p≤q，当且仅当a＝b时等号成立． [答案]　D [解题心得] 实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差法)的符号的判定，当数式中含有字母时常需分类讨论．实数的大小比较常用方法：①作差比较法和作商(同号时常用)比较法，前者与0比较，后者与1比较；②找中间量，往往是1(或0)；③特殊值；④构造函数，利用函数的单调性等． 　对于实数a，b，c，判断下列命题的真假． (1)若a>b，则ac>bc； (2)若a>b，则ac2>bc2； (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； (4)若a<b<0，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)； (5)若a<b<0，则eq \f(b,a)>eq \f(a,b). [思路点拨]　可利用不等式的性质判断一个命题为真命题，要说明一个命题为假，可通过举反例说明． [精解详析]　(1)因为未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题． (2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才能正确． c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题． 变式：若ac2>bc2，则a>b，命题是真命题． (3)a<b，a<0⇒a2>ab；a<b，b<0⇒ab>b2，命题是真命题． (4)由性质定理a<b<0⇒eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，命题是真命题． (5)eq \f(b,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b2－a2,ab)，由a<b<0得b2＜a2⇒eq \f(b,a)<eq \f(a,b)，命题是假命题． 　(2025·石家庄质检)(1)设a>b>0，比较eq \f(a2－b2,a2＋b2)与eq \f(a－b,a＋b)的大小； (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：eq \f(e,a－c)>eq \f(e,b－d). [思路点拨]　(1)由题意得eq \f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq \f(a－b,a＋b)>0，利用作商法即可得出答案； (2)利用不等式的性质和作差法即可证明结论． [精解详析]　(1)∵a>b>0， ∴eq \f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq \f(a－b,a＋b)>0， ∴eq \f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝eq \f(a＋b2,a2＋b2)＝1＋eq \f(2ab,a2＋b2)>1， ∴eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b). (2)证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0， 又a>b>0， ∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0. 又e<0， ∴eq \f(e,a－c)－eq \f(e,b－d)＝eq \f(eb－d－ea－c,a－cb－d)＝eq \f(eb－d－a＋c,a－cb－d)＝eq \f(eb－a＋c－d,a－cb－d)>0， ∴eq \f(e,a－c)>eq \f(e,b－d). 1．(2022·上海高考)已知a＞b＞c＞d，下列选项中正确的是(　　 ) A．a＋d＞b＋c B．a＋c＞b＋d C．ad＞bc D．ac＞bd 解析：选B　∵3＞2＞1＞0，但3＋0＝2＋1,3×0＜2×1，∴A、C错； ∵a＞b＞c＞d，∴a＞c，b＞d， ∴a＋c＞b＋d.B正确． ∵30＞2＞－1＞－2，但30×(－1)＜2×(－2)，D错．故选：B. 2．(2020·全国高考)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　 ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选B　求解二次不等式x2－4≤0，可得A＝{x|－2≤x≤2}，求解一次不等式2x＋a≤0，可得Beq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))))). 由于A∩B＝{x|－2≤x≤1}，故－eq \f(a,2)＝1，解得：a＝－2.故选：B. 3．设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件． 4．已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则(　　) A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0 C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0 解析：选D　讨论a的取值范围，可以利用指数式、对数式的互化将条件转化为a与b的关系，再判断即可．∵a，b>0且a≠1，b≠1， ∴当a>1，即a－1>0时，不等式logab>1可化为>a1，即b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.当0<a<1，即a－1<0时，不等式logab>1可化为<a1，即0<b<a<1， ∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0， (b－1)(b－a)>0.综上可知，选D. 5．(2020·天津高考)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　本题考查充分条件、必要条件的判断．由a2＞a，即a2－a＞0，得a＜0或a＞1，所以“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A. 6．(多选)(2020·山东高考)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥eq \f(1,2) B．2a－b>eq \f(1,2) C．log2a＋log2b≥－2 　 D.eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2) 解析：选ABD　本题考查基本不等式的应用．由a>0，b>0，a＋b＝1，得eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,4)，即a2＋b2≥eq \f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号，故A正确； 由a>0，b>0，a＋b＝1，得a－b＝2a－1>－1，故2a－b>eq \f(1,2)，故B正确； log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝－2，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立，故C错误； (eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝1＋2eq \r(ab)≤1＋a＋b＝2，得eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立，故D正确．故选ABD. $