专题02 分式（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

该初中数学分式专题知识清单系统覆盖分式的6大知识模块，包括分式概念、运算、方程及应用等核心内容，通过17类题型、4项易错点解析和2种解题方法清单，搭建从概念辨析到运算技巧再到实际应用的递进式学习支架。 清单以知识清单、题型分类、易错警示、方法总结四维架构呈现，结合思维导图构建完整知识体系，突出数学思维和模型意识的培养。如易错点标注“分式值为0”口诀“分子等于零，分母不为零”，方法清单中换元法、裂项法的实例解析，帮助学生精准突破难点，教师可利用其系统设计分层教学，提升复习效率。

专题02 分式（6知识&17题型&4易错&2方法清单） 【清单01】分式及其基本性质 1）分式的概念：如果把A÷B写成的形式，其中A、B都是整式，且B中含有 ，那么代数式就叫做分式．其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 2）分式有意义的条件：（1）分式有意义的条件是 （2）分式无意义的条件是 （3）分式的值为正数的条件是 。 （4）分式的值为负数的条件是 。 3）分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子 且分母 4）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 【清单02】分式的乘法与除法 1）约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 2）最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 3）把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4）分式的乘法法则：两个分式相乘，把 的积作积的分子， 的积作积的分母。 5）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6）分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 【清单03】分式的加法与减法 1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母 ，分子 。 2）通分的定义：这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成 分式的变形叫做分式的通分。 3）最简公分母的定义：通常取各分母系数的 与字母因式的 的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 4）异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先把他们通分，变为同分母分式，再加减。 5）分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 【清单04】分式方程 1）分式方程的定义：分母中含有 的方程叫做分式方程。 2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3）增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合 方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4）解分式方程的一般步骤： 【清单05】分式方程的应用 1） 列分式方程解应用题的一般步骤： 2）要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝ ×时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 一般步骤： 【清单06】分式与比 1）比的定义：两个整式A与B(B≠0)相除，叫作 ，记作A:B或 ，其中A叫作比的前项，B叫作比的后项。 2)比例的定义：表示两个比相等的式子叫作 ，简称比例。如果a与b的比等于c与d的比，那么就说a，b，c，d四个数 。可以写成a:b=c:d或=。在比例中，a，b，c，d叫作组成比例的项，其中a与d叫作比例的外项， b与c叫作比例的内项。当比例的两个内项相等，即当时，b叫作a和c的比例中项。 3）比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果=，那么ad = bc. 4)两条线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。 5)成比例线段：如果四条线段a，b，c，d的长成比例，我们就把这四条线段a，b，c，d称为成比例线段，简称比例线段。 【题型一】分式的定义 【例1】下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在式子中，分式有（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列各式：，，，，，其中分式共有（    ）个． A． B． C． D． 【变式1-3】对于，，，，，其中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】分式有无意义的条件 【例1】如果分式有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若分式无意义，则x的值为（　　） A．3 B．3或－3 C．－3 D．9 【变式1-2】．当时，下列分式中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若分式无意义,则x的值是(   ) A．0 B．1 C．-1 D． 【题型三】 分式值为0的条件 【例3】若分式的值等于，则的值为 ． 【变式3-1】在的值为零，则的取值是（ ） A．6 B． C． D．0 【变式3-2】若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如果分式的值为零，那么的值是（    ） A． B． C． D．或 【题型四】分式基本性质 【例4】如果把分式：中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（   ） A．扩大10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【变式4-1】若将分式中、都扩大为原来的10倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的100倍 【变式4-2】把分式中的和都扩大2倍，分式的值（    ） A．不变 B．扩大4倍 C．缩小 D．扩大2倍 【变式4-3】若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【题型五】分式的约分 【例5】化简：，其结果为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列分式的约分中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】约分∶ 【变式5-3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． ． 【题型六】最简分式 【例6】在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【题型七】分式的通分 【例7】通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【变式7-1】通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【变式7-2】通分： (1)，； (2)，． 【变式7-3】通分： (1)，； (2)，，． 【题型八】 分式的乘除 【例8】化简的结果为（   ） A．3 B． C． D． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【变式8-3】化简： 【题型九】分式的乘方 【例9】计算： （1） ；（2） ；（3） ． 【变式9-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】计算： (1)； (2)； 【变式9-3】分式计算：． 【题型十】 分式的加减 【例10】计算： ． 【变式10-1】计算：． 【变式10-2】计算下列各式． (1) (2) 【变式10-3】计算： (1)； (2)． 【题型十一】 分式混合运算 【例11】化简 的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【变式11-1】化简： 【变式11-2】（1）化简：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【变式11-3】化简． 【题型十二】 分式化简求值 【例12】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】先化简，再求值：请从中选择一个数字a代入求值． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中． 【变式12-3】先化简，再求值：，其中． 【题型十三】 解分式方程 【例13】在求解方程时，在方程两边同乘，把原方程化为：，这一变形过程体现的数学思想主要是（    ） A．类比思想 B．函数思想 C．方程思想 D．转化思想 【变式13-1】对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】解方程 【变式13-3】解分式方程：． 【题型十四】 根据分式方程解的情况求参数的值或取值范围 【例14】若关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的负整数 的和是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【变式14-2】已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为______． 【变式14-3】．已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解； (2)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______． 【题型十五】 分式方程增根与无解 【例15】已知关于x的方程有增根，那么__________． 【变式15-1】若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A． B．1 C．或2 D．或 【变式15-2】关于x的方程有增根，则m的值为（　　） A． B．6 C．和6 D．0 【变式15-3】若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．1 B．1或 C．1或或2 D．1或或6 【题型十六】分式方程的应用 【例16】一项工程，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③___________，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　） A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的 【变式16-1】在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】随着市场逐渐扩大，某物流公司拟实行快递分拣自动化，可供选择的分拣流水线有A、B两种，已知A型流水线每小时完成的工作量是B型流水线的1.5倍，据实验数据知完成18000件分拣，A型流水线单独完成分拣所需的时间比B型流水线少10小时． (1)求两种流水线每小时分别分拣快递多少件？ (2)若A型流水线工作1小时所需的维护费用为8元，B型流水线工作1小时所需的维护费用为6元，若该快递公司在两种流水线中选择其中的一种流水线单独完成分拣任务，则选择哪种流水线所需维护费用较小？请计算说明． 【变式16-3】某经销商用元购进一些水果，很快售完，第二次又用了元购进同品种的水果，每斤水果的进货价格为第一次进货价格的，两次共购进斤水果． (1)求第一次购进的水果每斤多少元？ (2)该经销商若以相同的价格出售这些水果，获得的利润不低于元，这些水果每斤的售价至少为多少元？ 【题型十七】 分式与比 【例17】加工一批零件、甲要时，乙要时，甲、乙工效比是 ． 【变式17-1】某厂原来男、女职工的人数之比为，在新调入男职工36人后，男、女职工的人数之比为，现在的男职工比女职工少 人． 【变式17-2】《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜多少千克？（请用比例的方法解答） 【变式17-3】一辆汽车从甲地到乙地，前3小时行了156千米，照这样速度，从甲地到乙地共需8小时，甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 【题型一】分式的值为0时，忽略分母不为0的条件 方法点拨：记住口诀：分式值为0，定要看两层，分子等于零 ，分母不为零。 【例1】若分式的值等于，则的值为 ． 【变式1-1】如果分式的值为0，则（　　） A． B． C．或2 D．或2 【变式1-2】如果分式的值为0，那么x的值为（  ） A．－1 B．1 C．－1或1 D．1或0 【变式1-3】如果分式的值为0，那么的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【题型二】解分式方程去分母时漏乘不含分母的项 【例2】小明同学在对分式方程去分母时，方程右边的没有乘，若此时求得方程的解为，则原方程的解为______． 【变式2-1】把分式方程化为整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】以下是小明同学解方程的过程： 【变式2-3】以下是小亮同学在解分式方程的过程： 解：去分母得………………①化简得………………………………② 解得，……………………………③ 经检验，，是原方程的解………④ 所以原方程的解为， 根据小亮的解题过程，回答下列问题： (1)小亮的解题过程中第 步开始出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【题型三】混淆增根和无解 方法点拨：无解情况下不要忽略整式方程无意义的情况。 【例3】已知关于的分式方程 (1)若分式方程的根是，求的值 (2)若分式方程有增根，求的值 (3)若分式方程有无解，求的值 【变式3-1】分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】若关于x的分式方程无解，求k的值． 【变式3-3】若关于x的分式方程无解，求m的值． 【题型四】根据方程解的情况，求参数值或范围时忽视产生增根的情况 【例4】已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式4-1】已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式4-2】已知关于的分式方程的解为正数．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式4-3】若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 分式的混合运算法则是解题的关键． 【题型一】拓展解分式方程的方法——换元法 【例1】用换元法解分式方程，若设，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程： 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘以y得：，解得：，经检验： 都是方程的解， ∴当时，，解得；当时，，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题： (1)若在方程中，设 ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ； (2)模仿上述换元法解方程：． 【题型二】特殊分式的化简方法------------裂项法 【例2】阅读下列材料，并回答问题： 我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”．单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差．今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式： ；，，． (1)由此可推测__________；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母m的等式表示出来（m表示正整数）__________； (2)请用简便方法计算：； (3)请用观察到的规律解方程． 【变式2-1】观察下列各式：，，，，，… (1)请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___． (2)请利用上述规律计算：．（n为正整数） (3)请利用上述规律，解方程：． 【变式2-2】观察下列等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出下列各式的计算结果：＝　　 (2)猜想并写出：＝　　． (3)探究并解方程：． 【变式2-3】阅读理解． (1)观察：，，······，填空： ； (2)填空： ； (3)利用上述规律解分式方程： 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式（6知识&17题型&4易错&2方法清单） 【清单01】分式及其基本性质 1）分式的概念：如果把A÷B写成的形式，其中A、B都是整式，且B中含有字母，那么代数式就叫做分式．其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 2）分式有意义的条件：（1）分式有意义的条件是分母不等于零。 （2）分式无意义的条件是分母等于零。 （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号。 （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 3）分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 4）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 【清单02】分式的乘法与除法 1）约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 2）最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 3）把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4）分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 5）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6）分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 【清单03】分式的加法与减法 1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 2）通分的定义：这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的变形叫做分式的通分。 3）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 4）异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先把他们通分，变为同分母分式，再加减。 5）分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 【清单04】分式方程 1）分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3）增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4）解分式方程的一般步骤： 【清单05】分式方程的应用 1） 列分式方程解应用题的一般步骤： 2）要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量工作×时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 一般步骤： 【清单06】分式与比 1）比的定义：两个整式A与B(B≠0)相除，叫作A与B的比，记作A:B或 ，其中A叫作比的前项，B叫作比的后项。 2)比例的定义：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如果a与b的比等于c与d的比，那么就说a，b，c，d四个数成比例。可以写成a:b=c:d或=。在比例中，a，b，c，d叫作组成比例的项，其中a与d叫作比例的外项， b与c叫作比例的内项。当比例的两个内项相等，即当时，b叫作a和c的比例中项。 3）比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果=，那么ad = bc. 4)两条线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。 5)成比例线段：如果四条线段a，b，c，d的长成比例，我们就把这四条线段a，b，c，d称为成比例线段，简称比例线段。 【题型一】分式的定义 【例1】下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查的是分式的定义，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、是整式，不符合题意； B、是整式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】在式子中，分式有（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意不是字母，是常数．根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案． 【详解】解：式子中，分式有，共2个， 故选：B． 【变式1-2】下列各式：，，，，，其中分式共有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式； ，的分母中含有字母，因此是分式，分式共有2个； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式分母中必须含有字母． 【变式1-3】对于，，，，，其中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式的定义判定即可求出答案． 【详解】解：、这两个是分式，、、这三个不是分式是整式； 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义：形如：（A、B是整式，且B中含有字母）的式子叫分式，属于基础题型． 【题型二】分式有无意义的条件 【例1】如果分式有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-1】若分式无意义，则x的值为（　　） A．3 B．3或－3 C．－3 D．9 【答案】B 【分析】分式无意义的条件是分母等于． 【详解】分式无意义， 或 故选B． 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，正确把握定义是解题的关键． 【变式1-2】．当时，下列分式中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A.当时，x+1=0，分式无意义，不符合题意； B.当时，，分式无意义，不符合题意； C.当时，，分式有意义，符合题意； D.当时，，分式无意义，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键． 【变式1-3】若分式无意义,则x的值是(   ) A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】D 【详解】根据题意得，|x|-1≠0，所以x≠±1，故选D. 【题型三】 分式值为0的条件 【例3】若分式的值等于，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为的条件，根据分式有意义和分式的值为的条件可得，据此解答即可求解，掌握分式有意义和分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 【变式3-1】在的值为零，则的取值是（ ） A．6 B． C． D．0 【答案】C 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零且分母不为零即可解答． 【详解】 的值为零 且 故选C 【点睛】此题主要考察了分式的值为零，分子为零且分母不为零，正确把握相关定义是解答该题的关键． 【变式3-2】若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式的值为零需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0． 【详解】解：由题意，得 且， 解得， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件：是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【变式3-3】如果分式的值为零，那么的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分母不为0，分子为0是解题的关键． 【题型四】分式基本性质 【例4】如果把分式：中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（   ） A．扩大10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】根据要求对分式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，观察分式的前后变化． 本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：将分式中的和都扩大倍，得： ， ∴和都扩大倍后，分式的值缩小为原来的， 故选：B． 【变式4-1】若将分式中、都扩大为原来的10倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的100倍 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．解题的关键在于对知识的熟练掌握．根据分式的基本性质判断作答即可． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的10倍，则分式， 则分式的值扩大为原来的10倍， 故选：B． 【变式4-2】把分式中的和都扩大2倍，分式的值（    ） A．不变 B．扩大4倍 C．缩小 D．扩大2倍 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】此题考查分式的性质，先根据分式的基本性质进行计算，即可求出答案． 【详解】解：分式中的x和y都同时扩大2倍， 可得 所以分式的值不变． 故选：A． 【变式4-3】若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变． a，b都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 【题型五】分式的约分 【例5】化简：，其结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的约分，涉及完全平方公式、平方差公式进行分解因式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．利用完全平方公式与平方差公式进行分解因式，再约分化简即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式5-1】下列分式的约分中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式． 分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】解：A．，此选项约分错误； B．不能约分，此选项错误；     C．，此选项正确；     D．，此选项错误；     故选：C． 【变式5-2】约分∶ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分，找出分子分母的公因式约去即可，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】平方差公式分解因式、约分、完全平方公式分解因式、提公因式法分解因式 【分析】本题考查分式的约分； （1）分子分母提取公因式后约分即可； （2）分子分母提取公因式后约分即可； （3）分子分母因式分解后约分即可； （4）分子分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【题型六】最简分式 【例6】在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，是最简分式，符合题意； 故选：D． 【变式6-1】下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】最简分式 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握分子分母不含公因式的分式叫做最简分式成为解题的关键． 根据最简分式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、 ，不是最简分式，不符合题意；     B、 ，是最简分式，符合题意；     C、 ，不是最简分式，不符合题意；     D、，不是最简分式，不符合题意。 故选B． 【变式6-2】下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 【变式6-3】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的判断，解题关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式．根据最简分式的定义，即可求出答案． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【题型七】分式的通分 【例7】通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【难度】0.85 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以； ； ； （2）解：最简公分母是， 所以； ． 【变式7-1】通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)，，． 【难度】0.85 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （3）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以，，； （2）解：最简公分母是， 所以，； （3）解：最简公分母是， 所以，，． 【变式7-2】通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.85 【知识点】最简公分母、通分 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 【变式7-3】通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【难度】0.85 【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的通分，确定各分式的最简公分母即可． （1）最简公分母为，据此即可求解； （2）最简公分母为，据此即可求解； 【详解】（1）解：， （2）解： 【题型八】 分式的乘除 【例8】化简的结果为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先将各分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】分式乘法、分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘法和除法运算，根据法则计算即可． （1）约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，再按乘法法则化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式8-3】化简： 【答案】， 【解析】解： ， 【题型九】分式的乘方 【例9】计算： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【解析】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 【变式9-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】云南省昆明市昆十中教育集团 2024—2025学年八年级上学期期中质量检测数学试卷 【知识点】分式乘法、分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方及分式的乘法，先算乘方，再算乘法即可． 【详解】解：． 故选C． 【变式9-2】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：； （2）解：． 【变式9-3】分式计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： 先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 【题型十】 分式的加减 【例10】计算： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握分式的加法法则．根据分式的加法法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式10-1】计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式10-2】计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】同分母分式加减法、整式与分式相加减 【分析】此题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用同分母分式减法法则计算即可； （2）通分化为同分母分式减法计算即可． 【详解】（1） （2） 【变式10-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】异分母分式加减法 【分析】此题考查了异分母分式加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先通分，再计算同分母分式减法； （2）先通分，再计算同分母分式加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十一】 分式混合运算 【例11】化简 的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合法则是解决此题的关键． 先根据乘法分配律去括号，再根据分式的减法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式11-1】化简： 【答案】 【难度】0.85 【来源】15.2分式运算（知识解读 达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（人教版） 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的混合运算，先算括号再算除法，注意运用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 【变式11-2】（1）化简：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【来源】2024年广东省中考模拟数学试卷（一） 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】（1）先计算括号内，利用异分母分式减法运算法则，通分化为同分母的分式再计算，再将除法化为乘法，然后对分式分子分母因式分解化简即可得到答案； （2）先计算括号内，利用异分母分式减法运算法则，通分化为同分母的分式再计算，再将除法化为乘法，然后对分式分子分母因式分解化简后，再由整式乘法运算求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查分式的化简，涉及异分母分式减法运算、通分、分式乘除运算、因式分解及整式乘法运算等知识，熟练掌握分式的混合运算法则是解决问题的关键 【变式11-3】化简． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内的分式的加减运算，再把除法化为乘法，再约分即可． 【详解】解： ． 【题型十二】 分式化简求值 【例12】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得，再代入分式计算即可，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴原式， 故选：． 【变式12-1】先化简，再求值：请从中选择一个数字a代入求值． 【答案】，3 【难度】0.85 【来源】云南省昆明市五华区云南民族中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴当时，原式． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算小括号内的减法，再计算除法，结果化为最简分式，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则，运算顺序及公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式12-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 【题型十三】 解分式方程 【例13】在求解方程时，在方程两边同乘，把原方程化为：，这一变形过程体现的数学思想主要是（    ） A．类比思想 B．函数思想 C．方程思想 D．转化思想 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，故利用的数学思想是转化思想． 【详解】在求解方程时，在方程两边同乘，把原方程化为：，将分式方程转化为一元一次方程， 这一变形过程体现的数学思想主要是转化思想， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解分式方程，能够熟练运用数学的转化思想是解决关键 【变式13-1】对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：根据题中新定义列方程得：， 解得：， 把代入得：， ∴是方程的解，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出关于x的方程，注意分式方程要进行检验． 【变式13-2】解方程 【答案】 【分析】①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．依此即可求解． 【详解】解：． 去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验． 【变式13-3】解分式方程：． 【答案】. 【分析】先找到最简公分母，方程的左右两边同时乘以最简公分母，将其转化为整式方程，再解一元一次方程即可，最后检验． 【详解】解： ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的求解，去分母是解题的关键，注意分式方程要检验 【题型十四】 根据分式方程解的情况求参数的值或取值范围 【例14】若关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的负整数 的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出分式方程的解，然后结合分式方程的解为正整数，再求出的值，即可得到答案． 【详解】解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， ∴； ∵，则； ∵分式方程的解为正整数， ∴， ∴， 又为负整数， ∴的值为； 故选：D 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不能等于0． 【变式14-1】若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据解分式方程的方法，用含的式子表示的值，再根据解为非负数即可求解． 【详解】解： 分式变形得， 分式加减得， 合并同类项得， 去分母得，，且， 移项得，， ∴，且，即， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴且， 故选：． 【点睛】本题主要考查解分式方程，及根据分式方程的根求参数，掌握分式的性质，分式有意义的条件，分式的混合运算法则是解题的关键． 【变式14-2】已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为______． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， ∴且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查解分式方程，分式方程的解、解一元一次不等式组，解分式方程是解答的关键，注意不能产生增根所以要使． 【变式14-3】．已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解； (2)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______． 【答案】(1) (2)且． 【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程的即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 去分母得：， 解得：， 检验：当时， 故方程的解为：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 去分母得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数， 且，即：且， 即：且． 故答案为：且． 【点睛】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 【题型十五】 分式方程增根与无解 【例15】已知关于x的方程有增根，那么__________． 【答案】 【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得k值． 【详解】解：， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程， 解得． 把代入整式方程 无解． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法及增根问题，解题的关键是熟知分式方程的解法． 【变式15-1】若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ） A． B．1 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式无解得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， 整理，得， 当即时，方程无解，即原分式方程无解； 当时，， ∵当或时，原分式方程无解， ∴或，则， 综上，满足条件的m值为或， 故选：D． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解答的关键． 【变式15-2】关于x的方程有增根，则m的值为（　　） A． B．6 C．和6 D．0 【答案】C 【分析】化为整式方程，求得方程的最简公分母，根据方程有增根，得到x，代入整式方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：最简公分母为，当时，， 去分母得：， 当增根为时，，解得； 当增根为时，，解得； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的求解，根据方程有增根求解参数的值，熟练掌握分式方程的求解以及分式方程增根的含义是解题的关键． 【变式15-3】若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．1 B．1或 C．1或或2 D．1或或6 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：方程两边乘，得： ， 即 当时，方程化简为，无解，符合题意； 当时， ∵分式方程无解， ∴， 解得：， 把代入整式方程，得， 解得； 把代入整式方程，得， 解得． 故m的值为或6或1． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，本题中分式方程无解即为最简公分母为0，将分式方程化为整式方程是解本题的关键． 【题型十六】分式方程的应用 【例16】一项工程，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③___________，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　） A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的 【答案】A 【分析】根据题意和方程，可知甲干了4天，乙干了天，从而可以得到③后面应填入的内容，本题得以解决． 【详解】解：某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：， 甲工作了4天，乙工作了天， 即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工， 可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解答此类题目的关键是明确题意，根据方程可以推测出空白处应填写的内容，注意要联系实际情况． 【变式16-1】在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设实际每天铺xm管道，则原计划每天铺m管道， 根据题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【变式16-2】随着市场逐渐扩大，某物流公司拟实行快递分拣自动化，可供选择的分拣流水线有A、B两种，已知A型流水线每小时完成的工作量是B型流水线的1.5倍，据实验数据知完成18000件分拣，A型流水线单独完成分拣所需的时间比B型流水线少10小时． (1)求两种流水线每小时分别分拣快递多少件？ (2)若A型流水线工作1小时所需的维护费用为8元，B型流水线工作1小时所需的维护费用为6元，若该快递公司在两种流水线中选择其中的一种流水线单独完成分拣任务，则选择哪种流水线所需维护费用较小？请计算说明． 【答案】(1)A型流水线每小时分拣快递900件，B型流水线每小时分拣快递600件 (2)A型流水线所需维护费用较小，理由见解析 【分析】（1）设B型流水线每小时分拣快递x件，则A型流水线每小时分拣快递件，列分式方程求解即可； （2）根据（1）中的结论，求出A、B流水线需要的时间即可求解． 【详解】（1）解：设B型流水线每小时分拣快递x件，则A型流水线每小时分拣快递件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型流水线每小时分拣快递900件，B型流水线每小时分拣快递600件； （2）解：选择A型流水线所需维护费用较小，说明如下： A型流水线完成搬运任务所需维护费用为：（元）， B型流水线完成搬运任务所需维护费用为：（元）， ∵， ∴选择A型流水线所需维护费用较小． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题关键． 【变式16-3】某经销商用元购进一些水果，很快售完，第二次又用了元购进同品种的水果，每斤水果的进货价格为第一次进货价格的，两次共购进斤水果． (1)求第一次购进的水果每斤多少元？ (2)该经销商若以相同的价格出售这些水果，获得的利润不低于元，这些水果每斤的售价至少为多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）设第一次每本的进货价是元，根据第二次进货的价格为第一次进货价格的，两次共购进斤水果，列方程求解即可； （2）设这些水果每斤的售价为元，根据获利不低于元，列不等式求解求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进的水果每斤元，， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：第一次购进的水果每斤元． （2）设这些水果每斤的售价为元， 根据题意，得， 解得：． 答：这些水果每斤的售价至少为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 【题型十七】 分式与比 【例17】加工一批零件、甲要时，乙要时，甲、乙工效比是 ． 【答案】 【解析】解：∵甲要时，乙要时， ∴甲的工效为：，乙的工效为：， ∴甲、乙工效比是：． 故答案为：． 【变式17-1】某厂原来男、女职工的人数之比为，在新调入男职工36人后，男、女职工的人数之比为，现在的男职工比女职工少 人． 【答案】54 【解析】解：人， 人， 答：现在的男职工比女职工少54人． 故答案为：54 【变式17-2】《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜多少千克？（请用比例的方法解答） 【答案】150千克 【解析】解：设这个鼎含铜x千克，根据题意得： ， ， 解得：， 答：这个鼎含铜150千克． 【变式17-3】一辆汽车从甲地到乙地，前3小时行了156千米，照这样速度，从甲地到乙地共需8小时，甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 【答案】甲、乙两地相距千米． 【解析】解：设甲、乙两地相距x千米． 答：甲、乙两地相距千米． 【题型一】分式的值为0时，忽略分母不为0的条件 方法点拨：记住口诀：分式值为0，定要看两层，分子等于零 ，分母不为零。 【例1】若分式的值等于，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为的条件，根据分式有意义和分式的值为的条件可得，据此解答即可求解，掌握分式有意义和分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 【变式1-1】如果分式的值为0，则（　　） A． B． C．或2 D．或2 【答案】A 【分析】根据分子为零，分母不为零，列式计算即可． 【详解】∵分式的值为0， ∴， 解得 故， 故选A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握基本条件是解题的关键． 【变式1-2】如果分式的值为0，那么x的值为（  ） A．－1 B．1 C．－1或1 D．1或0 【答案】B 【分析】根据分子等于0且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意得 且， 解得． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 【变式1-3】如果分式的值为0，那么的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为0，进而得出答案． 【详解】解：分式的值为零， 且， 解得：，且， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义，掌握分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，是解题的关键． 【题型二】解分式方程去分母时漏乘不含分母的项 【例2】小明同学在对分式方程去分母时，方程右边的没有乘，若此时求得方程的解为，则原方程的解为______． 【答案】 【分析】先按小明同学的方法去分母再将代入方程，即可求得的值，再求解方程． 【详解】解：由错误的去分母可得：， 解得：， 解得：， ∴原方程为， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，既是基础知识又是重点．由于方程中两个分母互为相反数，所以去分母时，要注意符号问题，这是本题的关键． 【变式2-1】把分式方程化为整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第二个分式的分母为，首先要化成，再将等式两边都乘以即可得到答案． 【详解】解：可化为：， 等式两边都乘以，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了将分式方程化为整式方程，等式两边都要乘以最简公分母是解题的关键． 【变式2-2】以下是小明同学解方程的过程： 解：方程两边同时乘，得，…………第一步 解得…………第二步 检验：当时，…………第三步 所以是原方程的解…………第四步 (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)写出正确的解方程的过程． 【来源】专题5.27 解分式方程100题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版） 【答案】(1)一 (2)见详解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤一步步检查即可. （2）按照解分式方程的步骤进行计算即可. 【详解】（1）第一步去分母时等式右边的整数2没有乘以，因此小明的解法从第一步开始出现错误. 故答案为：一 （2）解：方程两边同时乘，得, 去括号，得, 解得, 检验：当时，, 所以是原方程的解. 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘以最简公分母，这是解题的关键. 【变式2-3】以下是小亮同学在解分式方程的过程： 解：去分母得………………①化简得………………………………② 解得，……………………………③ 经检验，，是原方程的解………④ 所以原方程的解为， 根据小亮的解题过程，回答下列问题： (1)小亮的解题过程中第 步开始出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】（1）根据分式方程的解法进行分析即可得到答案； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小亮的解题过程中第①步开始出现了错误， 故答案为：①； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项合并同类项，得：， 检验：把代入， 所以原方程的解为． 【点睛】本题考查的是解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题关键． 【题型三】混淆增根和无解 方法点拨：无解情况下不要忽略整式方程无意义的情况。 【例3】已知关于的分式方程 (1)若分式方程的根是，求的值 (2)若分式方程有增根，求的值 (3)若分式方程有无解，求的值 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案； （2）原方程整理得，由分式有增根，则，得到或，分两种情况分别求解即可； （3）由（2）可知，，分和两种情况分别求解即可. 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得； （2）， 两边都乘以得， ， 整理得，， 由分式有增根，则， ∴或， 把代入，a的值不存在， 把代入，解得， 综上可知，； （3）由（2）可知，， 当时，方程无解，即， 当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知， 综上可知，或． 【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【变式3-1】分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的解法即可得到，再利用增根的定义即可解答． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， ∴， ∴， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查的了解分式方程，分式方程的增根，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【变式3-2】若关于x的分式方程无解，求k的值． 【答案】或12 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到，求出，代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：分式方程两边同乘，去分母得：， 由分式方程无解得到，或，即或， 代入整式方程得：或12． 【点睛】此题考查了分式方程的无解问题，解决本题的关键是将分式方程去分母转化为整式方程． 【变式3-3】若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】m=-4或2或-1 【分析】去分母，整理得（m+1）x=-6，根据分式方程无解可知增根分别为x=2或x=-2或m+1=0，分别求解即可． 【详解】解：去分母，得2（x+2）+mx=x-2， 整理，得（m+1）x=-6， ∵关于x的分式方程无解， ∴当x=2时，得2（m+1）=-6， 解得m=-4， 当x=-2时，得-2（m+1）=-6， 解得m=2， 当m+1=0时，m=-1， ∴m=-4或2或-1． 【点睛】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 【题型四】根据方程解的情况，求参数值或范围时忽视产生增根的情况 【例4】已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】首先去分母化分式方程为整式方程，然后求出整式方程的解，结合题目条件即可求出m的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵原方程的解是负数， ∴，且， ∴且． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键在于利用分式方程的解是负数的条件，同时考虑整式方程的解不能使分式方程的分母为0． 【变式4-1】已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【来源】（培优特训）专项5.1 分式性质与含参数分式综合高分必刷-2022-2023学年八年级数学下册《同步考点解读�专题训练》（北师大版） 【答案】C 【分析】用a表示出该分式方程的解，再结合该分式方程的解为非负数和分式方程有意义的条件，即得出关于a的不等式，解出a的解集即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． ∵该分式方程的解为非负数，且， ∴，且， ∴，且， ∴，且　． 故选C． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，分式有意义的条件．能够正确把分式方程转化为整式方程是解题关键． 【变式4-2】已知关于的分式方程的解为正数．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程得出，根据方程的解为正数，分式有意义的条件得出且，即可求解． 【详解】解： 即 ∴ 解得： ∵ ∴ ∵的解为正数 ∴ 解得： ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键． 【变式4-3】若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据解分式方程的方法，用含的式子表示的值，再根据解为非负数即可求解． 【详解】解： 分式变形得， 分式加减得， 合并同类项得， 去分母得，，且， 移项得，， ∴，且，即， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴且， 故选：． 【点睛】本题主要考查解分式方程，及根据分式方程的根求参数，掌握分式的性质，分式有意义的条件，分式的混合运算法则是解题的关键． 【题型一】拓展解分式方程的方法——换元法 【例1】用换元法解分式方程，若设，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元法即等量代换，将用整体替换，再去分母，可得到答案． 【详解】解：用整体替换，得 ， 去分母并移项，得， 故选：B． 【点睛】本题难度不大，考查学生的整体思想及换元思想，合理替换是本题解题的关键． 【变式1-1】阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程： 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘以y得：，解得：，经检验： 都是方程的解， ∴当时，，解得；当时，，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题： (1)若在方程中，设 ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ； (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1)，，或 (2) 【分析】（1）根据换元法，可得答案； （2）根据分式的加减，可得，根据换元法，可得答案． 【详解】（1）设，则原方程化为：， 方程两边同时乘以得：，解得：或2， 经检验：和2都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得：． 经检验：和是原分式方程的解， 故答案为：，，或； （2）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘以y得：，解得：， 经检验：都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得：． 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法，注意将所得的解代入分式方程检验分式方程是否有意义． 【题型二】特殊分式的化简方法------------裂项法 【例2】阅读下列材料，并回答问题： 我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”．单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差．今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式： ；，，． (1)由此可推测__________；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母m的等式表示出来（m表示正整数）__________； (2)请用简便方法计算：； (3)请用观察到的规律解方程． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给式子，对照可得结果； （2）首先把分数裂项，然后进行抵消即可算出结果； （3）首先提取，再把分数裂项，然后进行抵消即可得到最简分式方程，解之即可． 【详解】（1）解：根据已知条件可得：， 则一般规律为：； （2）解： ； （3）解：， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解． 【点睛】本题考查了裂项法解规律计算的问题，涉及了解分式方程，掌握裂项法是解决本类问题的前提． 【变式2-1】观察下列各式：，，，，，… (1)请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___． (2)请利用上述规律计算：．（n为正整数） (3)请利用上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给出的式子，写出用n表示的一般规律即可； （2）利用找出的一般规律进行计算即可； （3）根据找出的规律将方程变形为，然后解分式方程即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， …， ∴． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：分式方程整理得：， 即， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原分式方程的解， ∴原方程的解为：． 【点睛】此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，解分式方程，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键． 【变式2-2】观察下列等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出下列各式的计算结果：＝　　 (2)猜想并写出：＝　　． (3)探究并解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出拆项规律，原式利用拆项法变形，计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律，写出即可． （3）先将方程左边拆项变形为，合并后再解方程． 【详解】（1） （2）． （3） 所以原方程可化为 两边同时乘以得， 当时最简公分母不等于0， 所以原分式方程的解是． 【点睛】此题考查了用裂项相消的方法解含形如的分式方程的解法，熟练掌握拆项的方法是解本题的关键． 【变式2-3】阅读理解． (1)观察：，，······，填空： ； (2)填空： ； (3)利用上述规律解分式方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律作答即可； （2）根据（1）中规律列式计算即可； （3）根据（2）中结论可知即，然后解分式方程即可． 【详解】（1）由，，可知： ， 故答案为． （2） ， 故答案为． （3）∵， ∴， ， ， ， 经检验，是原分式方程的根． 【点睛】本题考查了实数运算规律和解分式方程，解题的关键是求出规律． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $