上海市静安区2025-2026学年高三一模数学试卷

静安区2026届高三一模数学试卷2025.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.已知全集是实数集R，集合，则集合的补集___________． 2．已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于___________． 3.已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 4．已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数___________． 5.设是第四象限角，，则___________． 6.设等差数列的前项和为，首项，，则___________． 7.已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积 之比___________． 8.已知函数则___________． 9.抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点； 设抛物线的方程为，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线于一点， 这点的纵坐标为12，则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为___________． 10.在△中，将角、所对边的边长分别记作.设.若，， 则△的面积为___________． 11.如图，已知AB是半圆O的直径，直径长为2，点C、D均在半圆O上，且都不与点A、B重合，A、B、C、D四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为__________． B O C D A 12.设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点， 则实数的取值范围是___________． 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13.在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（ ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直 D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直 14.如图，已知某频率分布直方图形成“左偏峰右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数 平均数 中位数 B. 众数 中位数 平均数 C. 众数 平均数 中位数 D. 中位数 平均数 众数 15. 若数列满足且，则称数列为“对数底数列”； 已知正项 数列是“对数 2 底数列”且，则当时， （ ） A. B. C. D. 16. 已知函数；现有下述两个结论： ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程； 则下列说法正确的是 （ ） A.结论①和②均正确 B.结论①正确，结论②错误 C.结论①错误，结论②正确 D.结论①和②均错误 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. （本题共3小题，第1小题满分5分，第2小题满分4分，第3小题满分5分） 为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区 学科 语文 数学 学校 1 2 学校 1 1 为居民开展“义务教育咨询”活动． 已知、两所学校中的志愿者学科分布如下： （1） 假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人” 的样本空间； （2）求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率； （3）求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率． 18. （本题共2小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分） 已知函数(). （1）将函数化为的形式，并指出这个函数的振幅和初始相位； （2）若函数的最小正周期为，求的值并求函数的值域. 19. （本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，． （1）证明：平面；（2）若2，求直线与平面所成角的正弦值． 20. （本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； （3）如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于 点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 21. （本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分） 已知函数（）的图像关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数； 如果一个函数的图像关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心； 设函数，. （1）若函数是点奇函数，求实数的值；（2）证明：对于任意 给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； （3）若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心； 若不是，请说明理由. 静安区2026届高三一模数学试卷解析2025.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 2. 10 3. （30） 4. 5. 6. 42 7. 8. 9. （4，3），答案不唯一 10. 11. 12. （ ，2） 11.如图，已知AB是半圆O的直径，直径长为2，点C、D均在半圆O上，且都不与点A、B重合，A、B、C、D四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为__________． 【解析】联结OC，OD，由CD=，AB=2知DOC为直角，设BOC=，则为锐角，且DOA=， 所以= ， 由于，所以， 的取值范围为. 12.设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点， 则实数的取值范围是___________． 12. （ ，2）【解析】因为是定义在上的偶函数， 则， 函数图像关于轴对称, 且， 即的周期为4. 作出函数 在上的图像，根据的对称性及周期性， 可得出在上的图像；若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点， 则在区间上关于的方程恰有 3 个不同的实数根， 则函数与函数在上恰有 3 个不同的交点；所以，解得. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. C 14. B 15. D 16. B 14.如图，已知某频率分布直方图形成“左偏峰右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数 平均数 中位数 B. 众数 中位数 平均数 C. 众数 平均数 中位数 D. 中位数 平均数 众数 14.【解析】提示：由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边（被平均）， 故平均数大于中位数，所以众数 中位数 平均数. 故选： 15. 若数列满足且，则称数列为“对数底数列”. 已知正项数列是“对数 2 底数列”且，则当时， （ ） A. B. C. D. 15. 【解析】因为正项数列是“对数 2 底数列”，所以，所以，n=5， 因为，，所以数列仅存在5项．所以，，，，， 以上式子相乘得，所以， 所以，得，即，得， 因为，，所以；同理，，所以； ，所以； ， 所以. 故. 故选: . 16. 已知函数.现有下述两个结论： ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程则下列说法正确的是 （ ） A.结论①和②均正确 B.结论①正确，结论②错误 C.结论①错误，结论②正确 D.结论①和②均错误 16.【解析】（1） ， 当时，因为，所以，即，在定义域内单调递增； 当时，由； 由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在定义域内单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在内单调递增，且注意到，因此在区间上无零点； 当时，由可得仅有一解， 所以仅有一解， 令，则直线与的图像仅有一个交点， 因为，且直线过点， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，， 所以 ，结合 ，则 的取值范围为 . 结论①正确 （2） 由题，，记上式为 ，则 ， 在定义域内单调递减，因此 ，仅有一个解，至此可以判断结论②错误． 注意到待求方程 ，对 中含 的部分单独考察，即 ， 其中关于 的多项式的解为 ，因此 时可消去 . 当 时，有 ，满足题意； 当 时，有 ，不符合题意；综上，原方程的解为 . 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. （本题共3小题，第1小题满分5分，第2小题满分4分，第3小题满分5分） 为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为\居民开展“义务教育咨询”活动．已知、两所学校中的志愿者学科分布如下： 学科 语文 数学 学校 1 2 学校 1 1 （1）假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人” 的样本空间； （2）求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率； （3）求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率． （1）样本空间为：{ab，ac， ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}（5分）（5分） 评分说明：用文字表述样本空间，正确即可 （2）事件“抽到的2人恰好都是语文老师”只有ad一种可能，所以概率为，（4分）（9分） （3）事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”，来自学校有两种可能：ab，ac，来自学校一种可能de，总计结果有3种可能，概率为（5分）（14分） 18. （本题共2小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分） 已知函数(). （1）将函数化为的形式，并指出这个函数的振幅和初始相位； （2）若函数的最小正周期为，求的值并求函数的值域. 解 （1），（2分）（2分） （4分）（6分） 这个函数的振幅为2，初始相位为.（2分）（8分） （2）由的最小正周期为，且 ，故.（3分）（11分） 函数的值域为.（3分）（14分） 19. （本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上， 且，．（1）证明：平面； （2）若2，求直线与平面所成角的正弦值． 解（1）证明：因为，，所以， 所以，平面，平面， 所以平面；（6分）（6分） （2）解：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：（1分）（7分） 则则， 设平面的法向量为，（2分）（9分）则（2分）（11分） 取，则，，则平面的一个法向量为，（1分）（12分） 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是．（2分）（14分） 另解：三棱锥的体积等于三棱锥-的体积．（3分）（9分） 设点到平面的距离为，则有， 中，易知，，从而，所以，（3分）（12分） 设直线与平面所成角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值．（2分）（14分） 20. （本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； （3）如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 解（1）由双曲线的焦距为4，点在上， 可得，所以，且，又因为，即，（2分）（2分） 联立方程组，解得，，所以的方程为.（2分）（4分） （2） 设直线l方程为，代入圆的方程整理得，直线与圆相切， 所以判别式，所以，切点位于轴上方，故.（2分）（6分） 将直线代入双曲线方程，整理得，解得， 两点的坐标分别为（）、（），（2分）（8分） 从而；（2分）（10分） 另解：由题意设直线l方程为，该直线与圆相切， 则圆心到直线l的距离，解得. （2分）（6分）联立得 设，，，，则，（2分）（8分） （2分）（10分） （3）由题意直线与平行，由双曲线的对称性，易知=，四边形为平行四边形．（1分）（11分） 当直线垂直于x轴时，，此时四边形的面积为，不合题意，舍去；（1分）（12分） 设直线方程为，则直线方程为， （1分）（13分） 直线和的距离就是点到直线的距离，（1分）（14分） 设，，，，联立方程组，整理的， 则，且，，，（2分）（16分） 又由双曲线的渐近线的方程为， 要使得过的左焦点的直线交的左支于点、，可得，() 则， 所以，化简可得， 解得，或，因为，所以， 故直线的方程为或．（2分）（18分） 另解：设直线方程为，代入双曲线方程得，整理得 ，(因为双曲线的渐近线斜率为，直线AB与双曲线左支交于两点，所以) ，，所以， 点到直线的距离，， 化简可得，解得，或，因为当时，直线AB斜率平方， 此时AB与双曲线左支只能交于一点，舍去，所以，故直线的方程为，或． 21. （本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分） 已知函数（）的图像关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数； 如果一个函数的图像关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心； 设函数，.（1）若函数是点奇函数，求实数的值；（2）证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点；（3）若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 解（1）若函数是点奇函数，则是奇函数.（1分）（1分） 得是奇函数，即，因为， ，（1分）（2分）比较两式右边，由 所以1，解得.（2分）（4分） 另解：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立，（2分）（2分） 即，化简得，所以 解得．（2分）（4分） (2)，从而. （1分）（5分），其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，， 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时，（1分）（6分） 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点.（1分）（7分） 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. （1分）（8分） 当时，，所以时，单调递增， 当时，单调递减，因此是的极大值点(舍去)；（1分）（9分） 当时，，所以当时，单调递减， 当时，单调递增，因此是的极小值点. 综上，可得. （1分）（10分）极小值点x=1，极大值点. 所以的所有极值点为x=1和. （1分）（11分） （3）由（2）可知，当时，是的极大值点， ， （1分）（12分）极大值点x=0，极小值点. （1分）（13分） 假设 是点奇函数，则满足：， 即，（1分）（14分） 等式左边展开计算：，（1分）（15分） 要求与无关，所以的系数必须为0：. （1分）（16分） .即函数的对称中心是，函数是点奇函数. （2分）（18分） 另解：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点x=0，极小值点.符合题意（2分）（13分） 假设存在对称中心，则满足恒成立（1分）（14分） 即化简得恒成立（1分）（15分） 所以，解得（2分）（17分） 所以函数存在唯一的对称中心，函数是点奇函数.（1分）（18分） 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $