精品解析：广东省广州市天河外国语学校2025-2026学年高二上学期期中数学试题

广州市天河外国语学校2025学年第一学期期中考试试卷 高二年级 数学学科 命题时间：2025年10月 命题人：赵雯晗 刘倩妤 审题人：许泽然 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡上. 2.回答Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答Ⅱ卷时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知直线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】分为直线斜率存在和不存在两种情况直接求解即可. 【详解】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意； 当时，由两直线垂直可得，解得或1（舍去）， 综上所述，或. 故选：C 2. 已知直线平分圆：的周长，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得直线过圆心，代入圆心坐标可求. 【详解】由，可得圆心为， 因为直线平分圆：的周长， 所以直线过圆的圆心，则，解得. 故选：B. 3. 为空间任意一点，点与共面，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共面的性质，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为点与共面， 所以，解得. 故选：D 4. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 5. 已知正三棱柱的所有棱长均为2，且点在上运动，则直线与平面所成角的最大正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，根据已知易得底面，且为等边三角形，再由线面角的定义找到直线与平面所成角的平面角，进而分析其最大对应的正弦值即可. 【详解】过作于，根据正三棱柱的结构特征知底面，且为等边三角形. 所以直线与平面所成角是，而， 显然，要使最大，只需最大，即最小， 在中，故，此时最大， 所以，此时. 故选：B 6. 已知椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线l：对称的点在椭圆C上，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称关系和三角形中位线得出，结合椭圆的定义及离心率公式可求答案. 【详解】设F关于直线l：对称的点为P，右焦点为， 再设FP的中点为M，由于O也为的中点，故，， 焦点中，，，所以， ，由椭圆的定义可知， 解得. 故选：A． 7. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B 8. 在正中，M为BC中点，P为平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由求得点轨迹，再将转化为关于的函数，利用直线斜率的几何意义求得的范围，进而求得的最大值，从而的最大值可求. 【详解】依题意，以为坐标原点，以为轴，以为轴建立直角坐标系如图1， 不妨设正三角形的边长为 2，则, 设 , 则， ， ，即，即， 点轨迹为：，则， 所以， 当时, ，即； 当时, 令, 则表示与连线的斜率，如图2， 且， 设直线与圆 相切，直线化为， 则圆心到直线距离, 解得或， ，故， 则当时，取得最大值为， 的最大值为； 综上：的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键有两个，一个是建立直角坐标系，求得点轨迹方程，且将转化为关于的函数，另一个是利用直线斜率的几何意义求得的范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量，的夹角为 B. C. 若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用向量夹角公式可得；对于B：先得到的坐标，再平方即得答案；对于C：利用平行四边形的面积公式可得；对于D：利用投影向量公式可得. 【详解】选项A：计算数量积：， 模长：，， 夹角余弦：， 因此 ，故选项A正确； 选项B：计算：，， 模长：，故选项B错误； 选项C：以，为邻边的平行四边形的面积，故选项C正确； 选项D：向量在向量上的投影向量为：， ，， 代入得：，故选项D错误. 故选：AC 10. 已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ） A. 直线l与⊙M相离 B. 点P到直线l距离的最小值为 C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 D. 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和 【答案】AC 【解析】 【分析】利用圆心到直线l的距离与半径的关系可以判断A正确；点P到直线l距离的最小值为，判断B错误；求出圆心关于直线l对称点，进而求出圆的方程，判断C正确；利用圆心到直线的距离，求出其切线方程，判断D错误. 【详解】⊙M ：，圆心，半径， 圆心到直线l：的距离为：， 所以直线l与⊙M相离，故A正确； 点P到直线l距离的最小值为，故B错误； 设圆心关于直线l对称点为， 则，解得， 则与⊙M关于直线l对称的圆的方程为，故C正确； 设平行于l且与⊙M相切的直线方程为， 则，解得或， 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（ ） A. 的长度的最大值为 B. 若平面，则点为的一个三等分点 C. 平面截正方体所得截面的周长为 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据两点间距离公式、线面垂直的性质、正方体截面的性质，结合空间向量夹角公式、基本不等式逐一判断即可. 【详解】A：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，当时，的长度的最大值为， 此时点与点重合，故本选项正确； B：，设平面的法向量为， ，， 所以有，可取， 当平面时，则有，则有， 即，，， 显然，所以点为的一个三等分点，因此本选项正确； C：如上图所示：截面是五边形， 显然， 由平面几何知识可知， 因为，所以， 得，同理，可得， 于是，， ，， 所以平面截正方体所得截面的周长为，因此本选项说法不正确； D：由上可知平面的法向量为，， 直线与平面所成角的正弦值为， 因为， 所以有，当且仅当时取等号， 于是有，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值最大为，因此本选项说法正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本遡共8小题，每小题5分，共18分. 12. 已知圆：和圆：内切，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据两圆内切可得方程，求解即可. 【详解】圆：，圆心，半径为， 圆：，圆心，半径， 因为两圆内切，所以，解得（舍去负值）． 故答案为： 13. 设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案. 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 14. 已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由三角形内切圆的性质结合椭圆的定义可得，再结合条件可得，，然后在与中，结合余弦定理列出方程，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设的内切圆与相切于点， 由切线长定理可得， 又，则，即， 由椭圆的定义可得， 即， 所以，又，即，所以， 则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 化简可得，即，即， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 利用三角形内切圆的性质和椭圆的定义，得到，从而得到的值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形的三个顶点是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求三角形的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得中点坐标，再由两点式方程，即可得到结果； （2）由点斜式可得直线的方程，再由点到直线的距离公式以及两点间距离公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由已知边的中点坐标为， 所以直线的方程为，化简得； 【小问2详解】 直线的方程为，即， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为； 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点． （1）求圆M的标准方程； （2）经过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，然后根据条件求出圆心，进而可得半径，则圆M的标准方程可求； （2）检验直线的斜率存在，设出直线方程，然后利用垂径定理列方程求解. 【小问1详解】 圆M的圆心在直线上， 设， 则， 解得，即， 圆的半径为， 圆M的标准方程为； 【小问2详解】 经过点的直线被圆M截得的弦长为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线被圆M截得的弦长为，不符，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ， 解得或， 直线的方程为或. 17. 椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. （1）求椭圆的方程； （2）若面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解出的值，则椭圆的方程可知； （2）设出直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，根据，代入韦达定理求解出参数值，则直线的方程可知. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率为时，显然不符合题意； 因为，设， 联立，可得， 则， ， 因为， 所以，解得， 所以直线的方程. 18. 如图，四棱锥中，四边形是边长为6的正方形，. （1）当四棱锥的体积取得最大值时. （i）求的值； （ii）证明：平面平面； （2）若，求二面角正弦值的最小值. 【答案】（1）（i）； （ii）证明如下： 显然，由平面，平面，可知， 而平面，平面，，故平面， 而平面，故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由题意可求得，记点到平面的距离为，可得，可求得体积的最大值；（ii）由线面垂直可得，又，，可得平面，进而可证结论； （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设，计算可得，，设平面，平面的法向量分别为，，利用向量法求得，，记二面角的大小为，，求得最大值即可. 【小问1详解】 （i）由四边形是边长为6的正方形，可得， 记与交于点，易知点为的中点， 故由可知， 记点到平面的距离为，则 故，当且仅当平面时等号成立， 故. （ii）略 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，不妨设， 则，，， 由，可知，即，① 由，可知，② ②①得，，且， 得到，故. 设平面，平面的法向量分别为， 则，即，可取， 同理可得，即，可取 记二面角的大小为， 则 ， 而，故， 于是，取等时点坐标为， 综上，二面角正弦值的最小值为. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于A，两点，直线，分别交轴于，两点，点，若，，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）证明：设直线方程为，，， 由，联立消x得， 所以，，， 由题意知，，均不为1． 设，， 由，，A三点共线知与共线， 所以，化简得； 由，，三点共线，同理可得； 由，得，即； 由，同理可得； 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得，代入点坐标，可得，联立即可求得，，即可得答案. （2）设直线方程为，，，与椭圆联立，根据韦达定理，可得，表达式，设，，由，，A三点共线知与共线，即可求得表达式，同理可得表达式，根据题意，可得，同理可得，代入，化简整理，即可得证. 【小问1详解】 由题意知，则， 又椭圆经过点，所以； 联立解得，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】解题的关键是将直线与曲线联立，根据韦达定理，求得，表达式，再根据共线，坐标成倍数关系，计算整理，求得表达式，代入计算，即可得答案，考查计算化简的能力，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市天河外国语学校2025学年第一学期期中考试试卷 高二年级 数学学科 命题时间：2025年10月 命题人：赵雯晗 刘倩妤 审题人：许泽然 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡上. 2.回答Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答Ⅱ卷时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知直线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 2. 已知直线平分圆：的周长，则（ ） A. B. C. D. 3. 为空间任意一点，点与共面，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三棱柱的所有棱长均为2，且点在上运动，则直线与平面所成角的最大正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线l：对称的点在椭圆C上，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 在正中，M为BC中点，P为平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量，的夹角为 B. C. 若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ） A. 直线l与⊙M相离 B. 点P到直线l距离的最小值为 C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 D. 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（ ） A. 的长度的最大值为 B. 若平面，则点为的一个三等分点 C. 平面截正方体所得截面的周长为 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本遡共8小题，每小题5分，共18分. 12. 已知圆：和圆：内切，则______． 13. 设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形的三个顶点是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求三角形的面积； 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点． （1）求圆M的标准方程； （2）经过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程． 17. 椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. （1）求椭圆的方程； （2）若面积为，求直线的方程. 18. 如图，四棱锥中，四边形是边长为6的正方形，. （1）当四棱锥的体积取得最大值时. （i）求的值； （ii）证明：平面平面； （2）若，求二面角正弦值的最小值. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于A，两点，直线，分别交轴于，两点，点，若，，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $