第四章数列章末能力提升专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章　数列 【章末能力提升专项训练】 单项选择题 1.已知数列-1,,-,2,-,…,则该数列的第2 026项为(　　) A.- B. C.45 D.-45 2.等差数列{an}中,a2=10,a7-a4=2a1,则a7=(　　) A.10 B.20 C.30 D.40 3.已知等比数列{an}的前6项和为63,其中偶数项和是奇数项和的两倍,若Sm=1 023,则m=(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 4.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,a7+a9=,且b2b6b10=8,则=(　　) A. B. C. D. 5.【模块综合】“anan+2=c(n∈N*,c为非零常数)”是“数列{an}满足an=an+4(n∈N*)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.【情境创新】小宝同学为备战马拉松,制定了一个为期20周的跑步训练计划.计划第1周跑步2 km,之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍.当周跑步量首次超过30 km后,每周比前一周多跑2 km;当周跑步量首次超过全马里程(42.195 km)后,保持这个周训练量直至训练结束.请问:训练计划结束时,小宝同学跑步的总量是(　　) A.736 km B.724 km C.692 km D.660 km 7.数列{an}中,a1>0,a1an=p21-n(p>1),若Tn是数列{an}的前n项积,则Tn的最大值为(　　) A.p110 B.p56 C. D.p55 8.已知{an}为正项等比数列,且a1 013=1,若函数f(x)=-2ln x+1,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 025)=(　　) A.2 025 B.2 024 C. D.1 013 多项选择题 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,且当n=5或6时,Sn取得最大值,则(　　) A.{an}的公差为2 B.S4=S7 C.数列{|an|}的前10项和为50 D.{an}中存在连续三项成等比数列 10.在数列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=2,前n项的和为Sn,则(　　) A.a2a4的最大值为1 B.数列{a2n-1}是等差数列 C.数列{a2n}是等差数列 D.S25=181 11.【探索创新】已知数列{an},若存在常数M>0,对任意的n∈N*,恒有|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M,则称数列{an}为M-数列.记Sn是数列{an}的前n项和,下列说法正确的是(　　) A.首项为1,公比为的等比数列是M-数列 B.不存在等差数列{an}和等比数列{bn},使得数列{anbn}是M-数列 C.若数列{Sn}是M-数列,则数列{an}是M-数列 D.若数列{an}是M-数列,则数列{Sn}是M-数列 填空题 12.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则使得为整数的n的取值集合为　　　　.  13.【开放创新】将公差不为零的等差数列a1,a2,a3调整顺序后构成一个新的等比数列ai,aj,ak,其中{i,j,k}={1,2,3},试写出一个调整顺序后成等比数列的数列公比:　　　　.(写出符合条件的一个即可)  14.已知数列{an}的第一项为1,第二项为2+4,第三项为8+16+32,…,依此类推.记数列{an}的前n项和为Sn,bn=2log2(Sn+1)-λ·2n,若数列{bn}单调递减,则实数λ的取值范围是　　　　.  解答题 15.(13分)设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足bn-an=9-2n,求数列{bn}的前n项和Tn. 16.(15分)【开放创新】已知条件①a3n=3an+5,②{}是公差为的等差数列,从这两个条件中任选一个,补充在题中的横线处,并解答问题. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,对任意的n∈N*,都有　　　　.  (1)求数列{an}的通项公式; (2)已知数列{bn}满足bn=an·()n,是否存在k∈N*,使得对任意的n∈N*,都有bn≤bk?若存在,试求出k的值;若不存在,请说明理由. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.  17.(15分)已知数列{an}满足a1=4,an+1=4an-3. (1)证明:数列{an-1}为等比数列; (2)令bn=n(an-1),求{bn}的前n项和Tn; (3)令cn=an-2,证明:++…+<. 18.(17分)甲、乙两家企业同时投入生产,第1年的利润都为a万元(a>0),由于生产管理方式不同,甲企业前n年的总利润为(n2-2n+2)a万元,乙企业第n年的利润比前一年的利润多()n-1a万元,设甲、乙两家企业第n年的利润分别为an万元,bn万元. (1)求an,bn; (2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的25%时,该家企业将被另一家企业兼并收购.判断哪一家企业有可能被兼并收购,如果有这种情况,出现在第几年. 19.(17分)已知等差数列{an}的前n项和是Sn,且满足S2=4,S4=16;数列{bn}的各项都是正数,且满足b1=a1,b3=a3-1,bnbn+2=(n∈N*). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记cn=求数列{cn}的前2n项和T2n; (3)在ak和ak+1,k∈N*中插入k个相同的数(-1)k+1·k构成一个新数列{dn}:a1,1,a2,-2,-2,a3,3,3,3,a4,…,求{dn}的前2 026项和. 参考答案 1.B　依题意,该数列的奇数项为负数,偶数项为正数,各项绝对值是项数的算术平方根,因此该数列的第n项为(-1)n·,所以该数列的第2 026项为(-1)2 026·=. 2.C　设等差数列{an}的公差为d,由a7-a4=2a1,得3d=2a1,即d=a1,又a2=10,所以a1+d=a1+a1=10,解得a1=6,d=4,a7=a1+6d=6+24=30. 3.B　设等比数列{an}的公比为q,由题可知,==q=2,又S6==63,即a1×=63,故a1=1,Sn==2n-1,故Sm=2m-1=1 023,m=10. 4.D　因为数列{an}是等差数列,a7+a9=2a8=,所以a8=,a3+a8+a13=3a8=2π.因为数列{bn}是等比数列,b2b6b10==8,所以b6=2,b4b8-1=-1=4-1=3,所以=. 5.A　周期数列+充分、必要条件的判断 思路导引　由anan+2=c可得an=an+4(n∈N*)成立,可得充分性成立.举反例an=可得必要性不成立. ∵anan+2=c(n∈N*,c为非零常数),∴an+2an+4=c(n∈N*),∴anan+2=an+2an+4(n∈N*),an+2≠0,∴an=an+4(n∈N*),∴充分性成立.若an=则an=an+4(n∈N*),但anan+2=c(n∈N*,c为非零常数)不成立,∴必要性不成立.综上,“anan+2=c(n∈N*,c为非零常数)”是“数列{an}满足an=an+4(n∈N*)”的充分不必要条件. 6.C　等差数列、等比数列的实际应用 思路导引　根据题意,前5周的跑步量为等比数列,第6周到第11周的跑步量为等差数列,第12周到第20周的跑步量为常数列,分别求和即可. 记第n周跑步量为an,则第一周跑步量a1=2,所以a2=4,a3=8,a4=16,a5=32>30,所以前5周的跑步量为等比数列;从第6周开始,每周比前一周多跑2 km,则a6=32+2=34,a7=36,a8=38,a9=40,a10=42,a11=44>42.195,故第6周到第11周的跑步量为等差数列;第12周到第20周每周跑步量均为44 km.所以小宝同学跑步的总量是++44×9=692(km). 7.D　等比数列的函数特性+等差数列的前n项和 思路导引　先求得an,然后求得Tn的表达式,再根据二次函数的性质即可求得Tn的最大值. 依题意,a1>0,a1an=p21-n(p>1),符合等比数列通项公式的指数型特征,故{an}为等比数列,设其公比为q,则a1an=qn-1=()n-1-20=p2()n-1(p>1),所以=p20,a1=p10,所以an===p11-n.所以Tn=a1a2·…·an=p10p9·…·p12-np11-n=p10+9+…+(11-n)===.函数y=-x2+21x的图象开口向下,对称轴为x==10.5,所以当n=10或11时,Tn取得最大值=p55( 因为p>1,所以当11-n≥0时,p11-n≥1,当11-n<0时,0<p11-n<1,故前n项积Tn取最大值时,11-n=1或11-n=0,即n=10或11,此时Tn=p10p9·…·p=p10+9+…+1=p55). 8.A　因为{an}为正项等比数列,且a1 013=1,所以a1·a2 025=a2·a2 024=a3·a2 023=…==1,由f(x)=-2ln x+1可得f()=-2ln +1=+2ln x+1,所以f(x)+f()=2,设S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 025),则S=f(a2 025)+f(a2 024)+…+f(a1),两式相加可得2S=2×2 025(一个数列与首、末项等距的两项之和等于首、末两项之和,可用倒序相加法求和),故S=2 025. 9.BC　A(✕)由当n=5或6时,Sn取得最大值知,S5=S6,即a6=0,因为a1=10,所以公差d===-2. B(√)an=10-2(n-1)=-2n+12,Sn==-n2+11n,所以S4=-16+44=28,S7=-49+77=28,即S4=S7( S7-S4=a5+a6+a7=3a6=0,即S4=S7). C(√)记{|an|}的前10项和为T10,当an>0时,解得n<6;当an=0时,解得n=6;当an<0时,解得n>6.所以T10=|a1|+|a2|+…+|a9|+|a10|=a1+a2+…+a6-a7-a8-a9-a10=S6-(S10-S6)=2S6-S10=2×(-36+66)-(-100+110)=50. D(✕)假设{an}中存在连续三项成等比数列,且为an=-2n+12,an+1=-2n+10,an+2=-2n+8,则(-2n+10)2=(-2n+8)(-2n+12),化简得100=96,不可能成立,故{an}中不存在连续三项成等比数列. 10.ABD　A(√)当n=2时,有a4+a2=2,若a4>0,a2>0,由基本不等式可得2=a4+a2≥2(a4=a2=1时取等号),所以a2a4≤1;若a2,a4中有一个为0或负值,则a2a4≤0;若a4<0,a2<0,则a4+a2=2不可能成立,故a2a4的最大值为1. B(√)数列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=2,当n为奇数时,有an+2-an=2,所以数列{a2n-1}是等差数列. C(✕)当n为偶数时,有an+2+an=2,只有an+2=an=1时,数列{a2n}是等差数列,否则数列{a2n}不是等差数列. D(√)S25=(a1+a3+…+a25)+(a2+a4+…+a24)=13×1++6×2=181. 11.AC　A(√)设首项为1,公比为的等比数列是{an},则an=,因为|an+1-an|=-=,所以|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|=++…+==1-<1,故该数列是M-数列. C(√)当n=1时,a1=S1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,因为数列{Sn}是M-数列,所以存在常数M>0,满足|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M,则|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|=|(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)|+|(Sn-Sn-1)-(Sn-1-Sn-2)|+…+|(S2-S1)-S1|≤|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+|Sn-Sn-1|+|Sn-1-Sn-2|+…+|S2-S1|+|S1|=(|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+|Sn-1-Sn-2|+…+|S2-S1|+|S1|)+(|Sn-Sn-1|+|Sn-1-Sn-2|+…+|S2-S1|)≤2M+|S1|,而2M+|S1|是另一个常数,故数列{an}是M-数列. D(✕)当an=1,n∈N*时,an+1-an=0,易得数列{an}是M-数列,而此时Sn=n,于是|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|==n,而n∈N*,具有任意性,故数列{Sn}不是M-数列. 12.{2,8}　因为=,所以========3+,若使为整数,则n+1是9的因数,因为n∈N*,所以n=2或n=8,即n的取值集合为{2,8}. 13.-2(或-)　等比中项+等比数列基本量的计算 解题路线　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)d与a1的等量关系求得公比. 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a2=a1+d,a3=a1+2d,则a1,a2,a3或a3,a2,a1不成等比数列.(1)若a2,a1,a3或a3,a1,a2成等比数列,则=a2a3,即=+3a1d+2d2,解得d=-a1,此时等比数列a2,a1,a3的公比为=-2,等比数列a3,a1,a2的公比为=-;(2)若a2,a3,a1或a1,a3,a2成等比数列,则=a1a2,即+4a1d+4d2=+a1d,解得d=-a1,此时等比数列a1,a3,a2的公比为=-,等比数列a2,a3,a1的公比为=-2.综上可得,等比数列的公比为-或-2. 14.(2,+∞)　第一步:求出Sn 由题意得,Sn=a1+a2+a3+…+an=20+(21+22)+(23+24+25)+…+[++…+]==-1. 第二步:求出bn,列出bn+1-bn 因为bn=2log2(Sn+1)-λ·2n=2log2-λ·2n=n(n+1)-λ·2n,所以bn+1-bn=[(n+1)(n+2)-λ·2n+1]-[n(n+1)-λ·2n]=2(n+1)-λ·2n(作差法,此处不适合用作商法). 第三步:利用递推关系,结合单调性可得到不等式恒成立 因为数列{bn}单调递减,所以有bn+1-bn=2(n+1)-λ·2n<0对n∈N*恒成立. 第四步:分离参数,求出范围 即λ>=对n∈N*恒成立(不等式恒成立求参问题常用分离参数法).取cn=,则cn+1-cn=-=<0,可知数列{cn}单调递减,则cn=≤c1=2,所以要使得不等式λ>对n∈N*恒成立,则需满足λ>2,即实数λ的取值范围是(2,+∞). 15.【解析】(1)因为Sn=2n-1, 所以当n=1时,a1=S1=1,(2分) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1, a1=1也满足上式, 所以an=2n-1.(6分) (2)bn-an=9-2n,即bn=2n-1+9-2n, Tn=b1+b2+…+bn =20+21+…+2n-1+9n-2(1+2+…+n) =+9n-2× =2n-1+9n-n2-n =2n-n2+8n-1.(13分) 16.【解析】若选条件①. (1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a3n=3an+5,所以a1+(3n-1)d=3[a1+(n-1)d]+5,即2a1-2d=-5.(3分) 又因为a1=-1,所以d=,所以an=-1+(n-1)×=(3n-5).(6分) (2)bn=an·()n=·()n.(7分) 当n≥2时,bn>0,所以令==×>1,即3(3n-2)>4(3n-5),即2≤n<,(12分) 又因为n∈N*,所以2≤n≤4,所以当2≤n≤4时,bn+1>bn;当5≤n时,bn+1<bn.所以当n=5时,bn取得最大值,即存在k=5,使得对任意的n∈N*,都有bn≤bk.(15分) 若选条件②. (1)因为{}是公差为的等差数列,所以=+(n-1)×=n-,所以Sn=n2-n.(3分) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-n)-[(n-1)2-(n-1)]=n-,当n=1时,a1满足上式,故an=(3n-5).(6分) (2)同①. 17.【解析】(1)由an+1=4an-3,得an+1-1=4(an-1),又a1=4,所以an-1≠0,则=4, 所以{an-1}是以3为首项,4为公比的等比数列.(4分) (2)由(1)得an-1=3×4n-1,bn=n(an-1)=3n×4n-1, 则Tn=3×40+6×41+…+3n×4n-1, 4Tn=3×41+6×42+…+3n×4n, 两式相减,得-3Tn=3(1+41+42+…+4n-1)-3n×4n=-3n×4n=(1-3n)4n-1, 即Tn=(n-)4n+.(9分) (3)cn=an-2=3×4n-1-1,则=<,( 分式型放缩最广泛的是应用糖水不等式“若a>b>0,m>0,则),(12分) 记dn=, 则++…+<d1+d2+…+dn==(1-)<.(15分) 18.【解析】 (1)当n≥2时, an=(n2-2n+2)a-[(n-1)2-2(n-1)+2]a=(2n-3)a, 所以an=(3分) 由题意知,bn-bn-1=()n-1a(n≥2)(减法结构,考虑累加法), 所以 相加得bn-b1=[+()2+…+()n-1]a=·a=2[1-()n-1]a(n≥2),所以bn=[3-2()n-1]a(n≥2), 当n=1时也满足上式,所以bn=[3-2()n-1]a.(8分) (2)当n=2时,a2=a,b2=a,可得b2=a<a2, 因此当n=1或2时,不可能出现兼并收购的情况, 当n≥3时,an≥3a,bn<3a,所以an>bn, 由题意知,甲企业可能兼并收购乙企业.(10分) 如果出现兼并收购的情况,n必满足an>bn, 由(2n-3)a>[3-2()n-1]a,化简得()n<1.(11分) 令f(n)=()n, 当n≥8时,f(n)<0,所以满足f(n)<1; 又f(n)-f(n-1)=()n-()n-1=()n-1(11-2n),　 当4≤n≤5时,f(n)-f(n-1)>0,即f(n)>f(n-1), 所以f(5)>f(4)>f(3)=>1, 当n≥6时,f(n)-f(n-1)<0,即f(n)<f(n-1), f(6)>f(7)=>1. 综上可知,当n≥8时,()n<1, 所以在第8年甲企业兼并收购乙企业.(17分) 19.等差数列+等比数列+裂项相消法求和+分组法求和 思路导引　(1)根据等差数列基本量的计算确定其首项与公差,可得数列{an}的通项公式;先根据等比中项的概念判断数列{bn}为等比数列,再求首项与公比,可确定数列{bn}的通项公式. (2)分别求前2n项中奇数项的和与偶数项的和,再相加即可. (3)弄清楚数列{dn}的前2 026项的组成,利用分组求和法求和. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由S2=4,S4=16, 可得2a1+d=4,4a1+6d=16,解得a1=1,d=2, 所以an=1+2(n-1)=2n-1.(2分) 数列{bn}的各项都是正数,且满足b1=a1=1, b3=a3-1=5-1=4,bnbn+2=(n∈N*), 可得数列{bn}为等比数列,设公比为q, 所以b3=b1q2=q2=4,解得q=2或q=-2(舍去), 所以bn=2n-1.(5分) (2)设{cn}的前2n项和中,奇数项的和为Pn,偶数项的和为Qn, 所以Pn=c1+c3+c5+…+c2n-1,Qn=c2+c4+c6+…+c2n, 当n为奇数时,cn==-(裂项), 所以Pn=c1+c3+c5+…+c2n-1=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-=-1;(9分) 当n为偶数时,cn=an=2n-1, 所以Qn=a2+a4+…+a2n=3+7+…+(4n-1)==2n2+n. 所以T2n=Pn+Qn=-1+2n2+n.(11分) (3){dn}:a1,1,a2,-2,-2,a3,3,3,3,a4,…,ak+1,…. 从a1到ak+1共有k+1+(1+2+…+k)=(项),(12分) 所以当k=62时,=2 016, 故{dn}的前2 026项和为a1+a2+…+a63+1+2×(-2)+3×3+…+62×(-62)+(2 026-2 016)×63(14分) =+1-22+32+…-622+10×63 =+(12-22)+(32-42)+…+(612-622)+10×63 =632-(3+7+11+…+123)+10×63 =632-+10×63 =63×(63-31+10) =2 646.(17分)  1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $