3.2.1单调性与最大(小)值　第2课时函数的最大(小)值同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章3.2.1单调性与最大(小)值 第2课时函数的最大(小)值 一．选择题 1．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为( 　 ) A．f，f B．f(0)，f C．f，f(0) D．f(0)，f(3) 2．函数y＝x＋的值域是( 　 ) A．[0，＋∞) B．[2，＋∞) C．[4，＋∞) D．[，＋∞) 3．(多选)函数y＝(x≠1)的定义域为[2,5)，下列说法正确的是( 　 ) A．最小值为 B．最大值为4 C．无最大值 D．无最小值 4．若函数y＝2ax－b在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( 　 ) A．1 B．－1 C．1或－1 D．0 5．(多选)若x∈R且x≠0，f(x)是y＝与y＝x中的较大者，则f(x)( 　 ) A．最大值为1 B．最小值为1 C．最小值为－1 D．无最大值 6．函数f(x)＝的最大值是( 　 ) A． B． C． D． 7．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( 　 ) A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 8．(多选)关于函数f(x)＝的结论，下列说法正确的有( 　 ) A．f(x)的单调增区间是[－1,1] B．f(x)的单调减区间是[1，＋∞) C．f(x)的最大值为2 D．f(x)没有最小值 二．填空题 9．函数f(x)＝x－在[1,2]上的最大值是 　. 10．已知函数f(x)＝|x2－4x|，x∈[2,5]，则f(x)的最小值是 　，最大值是 　. 11．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2) 　 f(x2－4x＋6)(填“≥”“≤”或“＝”)． 12．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是 　. 三．解答题 13．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)． (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f(x)在上的值域是，求a的值． 14．已知函数f(x)＝ax2＋2bx＋1，x∈[1,3](a，b∈R且a，b为常数)． (1)若a＝1，求f(x)的最大值； (2)若a＞0，b＝－1，且f(x)的最小值为－4，求a的值． 15．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题． (1)写出函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在区间上的最大值． 16．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值． 第三章3.2.1单调性与最大(小)值 第2课时函数的最大(小)值 一．选择题 1．【解析】　由图象可知，f(0)最大，f最小．故选B. 2．【解析】　函数y＝x＋在[2，＋∞)上单调递增，所以其最小值为f(2)＝2，其值域为[2，＋∞)．故选B. 3．【解析】　函数y＝＝1＋在[2,5)上是减函数，即在x＝2处取得最大值4，由于x＝5取不到，则最小值取不到．故选BD. 4．【解析】　当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a<0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.故选C． 5．【解析】　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝，y＝x的图象，如下图所示，图中实线部分即为f(x)的图象，当x＝－1时，f(x)取得最小值－1，f(x)无最大值，故选CD. 6．【解析】　f(x)＝，当分母x2－x＋1取最小值时，f(x)取到最大值，x2－x＋1＝2＋≥，所以f(x)≤.即f(x)的最大值为.故选C． 7．【解析】　设在甲地销售量为a辆，则在乙地销售量为(15－a)辆，设利润为y万元，则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15且a∈N)，则y＝－0.15a2＋3.06a＋30，其对称轴a＝10.2，∵a∈N，∴a＝10时可求ymax＝45.6万元．故选B. 8．【解析】　要使函数有意义，有－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，可知选项B错误；当x＝－1或x＝3时－x2＋2x＋3＝0，此时函数有最小值0，可知选项D错误；令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知选项A正确；根据函数的单调性及定义域，可知f(x)max＝f(1)＝2，从而选项C正确．故选AC． 二．填空题 9． 1　. 【解析】　函数f(x)＝x－在[1,2]上是增函数，∴当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝2－1＝1. 10． 0　， 5　. 【解析】　因为函数f(x)＝|x2－4x|＝对应图象如右图，故f(x)的最小值为f(4)＝0，f(x)的最大值为f(5)＝5. 11． ≤　【解析】　∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)． 12． (1,3]或{a|1＜a≤3}　. 【解析】　画f(x)＝x2－6x＋8的图象，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3. 三．解答题 13．【解析】　(1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0， 因为f(x2)－f(x1)＝－＝－＝＞0， 所以f(x2)＞f(x1)， 所以f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数， 所以f(x)在上单调递增， 所以f＝，f(2)＝2， 即－2＝，－＝2，所以a＝. 14．【解析】　(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋2bx＋1，x∈[1,3]， 函数的对称轴为x＝－b， 当－b＞2即b＜－2时，f(x)max＝f(1)＝2b＋2， 当－b≤2即b≥－2时，f(x)max＝f(3)＝6b＋10， 综上，f(x)max＝ (2)当a＞0，b＝－1时，f(x)＝ax2－2x＋1，x∈[1,3]， 函数的对称轴为x＝＞0，当≤1，即a≥1时，f(x)min＝f(1)＝a－1＝－4，解得a＝－3，不合题意舍去，当≥3，即0＜a≤时， f(x)min＝f(3)＝9a－5＝－4，解得a＝成立， 当1＜＜3，即＜a＜1时， f(x)min＝f＝1－＝－4， 解得a＝，不合题意舍去， 故a的值为. 15． 【解析】　f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示． (1)f(x)在和[0，＋∞)上是增函数，在上是减函数， 因此f(x)的单调增区间为，[0，＋∞)，单调减区间为. (2)∵f＝，f＝， ∴f(x)在区间上的最大值为. 16．【解析】　f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]． 当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示， 函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a； 当－1<a<1时，函数f(x)的图象如图(2)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，a)上单调递减，在区间(a,1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2； 当a≤－1时，函数f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a. 综上所述，f(x)min＝ 学科网（北京）股份有限公司 $