22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.2 二次函数与一元二次方程 一、单选题 1．若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（    ）． A．， B．， C．， D．， 2．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 3．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像如图所示，则方程 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．在平面直角坐标系中，当二次函数图象的顶点到轴的距离最小时，该二次函数图象与轴两交点之间的距离为（    ） A．4 B．8 C． D． 5．如图是函数的部分图象，已知其对称轴为直线，则当（　　）时，函数值大于0． A．或 B． C． D． 6．平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，如果，那么和的关系是（    ） A． B． C． D． 7．将抛物线沿x轴向右平移m（）个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．8 D．9 8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值与自变量的四组对应值如表所示 则方程的根的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 二、填空题 9．已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与轴的一个交点的坐标为(m，0)，若2<m<3，则a的取值范围是 ． 10．二次函数的图象如图，对称轴为直线． （1） ； （2）若直线与抛物线在的范围内有两个交点，则t的取值范围是 ． 11．已知抛物线的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 12．若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且∠ACB＝90°，则＝ ． 13．已知二次函数中，函数y与x的部分对应值如下表： … … … 0 … 则一元二次方程的解是 ． 三、解答题 14．已知抛物线经过点，且． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； (2)证明：直线与该抛物线有两个不同的交点． 15．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程无实数根，写出的取值范围． 16．已知，如图，二次函数的图像与轴交于A，两点，与轴交于点，且经过点 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴． （3）求的面积，写出时的取值范围． 17．人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利元时，平均每天可销售件．经调查发现，该商品每降价元，商场平均每天可多售出 件． 假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到元，请你帮忙思考，该降价多少？ 假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？ 18．如图，已知二次函数的图像经过，两点． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当为何值时，？ （3）在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的左侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，．当矩形为正方形时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 则−=−=2， 解得：b=−4， ∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0， 则(x−5)(x+1)=0， 解得：x1=5，x2=−1. 故选D. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题. 2．A 【分析】由求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围，再结合图象即可得出答案． 【详解】解：∵求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围， 又∵当时，二次函数的图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查图象法解一元二次不等式．利用数形结合的思想是解题关键． 3．B 【分析】二次函数图像与轴有两个交点，由一元二次方程的根的判别式，一元二次方程有两个不相等是实根，即可求出答案． 【详解】解：一元二次方程的根的判别式，一元二次方程有两个不相等实根，即二次函数与轴有两个交点， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数与x轴的交点个数，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 4．D 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，根据顶点坐标计算公式可得原二次函数的顶点坐标为，根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值可得二次函数图象的顶点到轴的距离为，根据二次函数的性质求出有最小值时，c的值，进而确定原二次函数解析式，再求出原二次函数与x轴的两个交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解；∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当时二次函数图象的顶点到轴的距离最小， ∴此时二次函数解析式为， 当时，解得， ∴当二次函数图象的顶点到轴的距离最小时，该二次函数图象与轴两交点之间的距离为， 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向上， ∴当或时，． 故选：A． 6．C 【分析】根据题意可知，，，为直线与抛物线和直线的交点；设，在抛物线上，在直线上，根据二次函数与一元二次方程的关系可得，根据一次函数的性质可得，据此即可求得答案． 【详解】根据题意可知，，，为直线与抛物线和直线的交点． 设，在抛物线上，在直线上． 根据题意，得 ． 移项，得 ． 可得 ． 根据题意，得 ． 可得 ． 则 ． 可得 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数，牢记二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到关于m的不等式是解题的关键．根据平移规律得到新抛物线为，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线，由点，在新抛物线上，且，即可得到关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向右平移m（）个单位得到一条新抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点，在新抛物线上，且， ∴， ∴， 故选：D． 8．C 【分析】利用表格中数据得出二次函数图象的大体位置，再结合一元二次方程的性质得出即可． 【详解】利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示： 即图象与x轴交点个数为2个,即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2. 故选C. 【点睛】此题考查图象法求一元二次方程的近似根，解题关键在于根据题意画出函数图象. 9．<a<或-3＜a＜-2． 【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵y=ax2+（a2-1）x-a=（ax-1）（x+a）， ∴当y=0时，x1=，x2=-a， ∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（-a，0）． ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3， ∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜； 当a＜0时，2＜-a＜3，解得-3＜a＜-2． 故答案为：<a<或-3＜a＜-2． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 10． -2 0 ≤t＜4 【分析】（1）根据二次函数系数与对称轴的关系求出b值． （2）将二次函数解析式化为顶点式，借助函数图象的对称性求出t的范围． 【详解】（1）二次函数对称轴为， 则， 故． （2）由（1）知，， 故函数的最大值为4； 又时，， 时，， 要使直线与抛物线在的范围内有两个交点， 则． 故答案为：-2；0 ≤t＜4． 【点睛】本题考查二次函数的对称性、函数关系式的转化，解决本题的关键是熟知二次函数的性质． 11．0＜x＜2 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到（0，-3）关于对称轴对称的点，再结合图像可得x的范围． 【详解】解：由图象可得， 该抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为（0，-3）， 故（0，-3）关于对称轴对称的点为（2，-3）， 故当y＜-3时，x的取值范围是0＜x＜2， 故答案为：0＜x＜2． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是理解，结合函数的对称性得到结果． 12．3 【分析】设x=0,y=m-1,得C(0,m-1), 设A,B横坐标为,,再根据根与系数的关系及两点之间的距离公式求解即可. 【详解】令x=0,y=m-1,得C(0,m-1) 设A,B横坐标为,, ,是方程 的两根 ∠ACB=90°,设线段AB中点M,则到, , M坐标(m,0) ,m=1或m=3 m=1,C(0,0),不合题意 ∴m=3 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是掌握两点之间的距离公式. 13．， 【分析】由抛物线经过点，可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过求解． 【详解】解：抛物线经过点，， 抛物线抛物线对称轴为直线， 又抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线经过， 一元二次方程的根是，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系． 14．(1)抛物线顶点的坐标为 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程的关系， （1）将点M的坐标代入关系式，用含有a的代数式表示b，再配方得出顶点式，可得答案； （2）将两个函数关系式联立得出一元二次方程，再求出根的判别式，根据结果分析得出答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ∴， 解得， ∴， 抛物线顶点的坐标为； （2）证明：联立直线与抛物线解析式， 得， 即：， 可得， ∴， 由（1）知，且， ， ， ∴直线与该抛物线有两个不同的交点． 15．（1），；（2）或；（3） 【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可； （3）根据图象可以看出k取值范围． 【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，． （2）观察图象可知：不等式的解集为或． （3）由图象可知，时，方程无实数根． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可． 16．（1）；（2）顶点坐标是，对称轴是；（3）的面积为21，时，的取值范围是． 【分析】（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案； （2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可； （3）首先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点、， ∴， 解这个方程组，得， ∴该二次函数的解析式是； （2）， ∴顶点坐标是； 对称轴是； （3）∵二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解这个方程得：，， 即二次函数与轴的两个交点的坐标为，． ∴的面积． 由图像可得，当时，， 故时，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范围，用配方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键． 17．（1）降价20元可使销售利润达到1750元；（2）当x=15时 日盈利达到最大，为1800元． 【分析】（1）设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可以售出30+2x，所以此时商场平均每天要盈利（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利1750元，为等量关系列出方程求解即可．（2）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（30+2x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【详解】（1）设每件降价x元，则每天可以售出（30+2x）件． 根据题意得：（45-x）（30+2x）=1750， 解得x1=10，x2=20． 因为要减少库存，所以x=20． 答：降价20元可使销售利润达到1750元． 设商场平均每天盈利元，则商场平均每天盈利元与每件应降价元之间的函数关系为： ． ∴当时 日盈利达到最大，为元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值． 18．（1），直线；（2）当时，；（3）点坐标为： 【详解】 解：（1）二次函数的图像经过，两点． ， 解得：， ， ， ， ， 对称轴为：直线． （2）当， ， ， ，， 抛物线与轴交点坐标为：，，，， 当时，； （3）当矩形为正方形时， 假设点坐标为， 点坐标为，， 即：，， 对称轴为：直线，到对称轴距离等于到对称轴距离相等， ， 解得：，（不合题意舍去）， 时，， 点坐标为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $