专题07 解答题压轴精选（期末真题汇编 云南专用）高一数学上学期

专题07 解答题压轴精选 板块01 集合与简易逻辑 板块02 一元二次函数、方程和不等式 板块03 函数的概念与性质 板块04 基本初等函数 板块05 三角函数 集合与简易逻辑 地 城 板块01 1．(25-26高一上·云南昆明长水教育集团·)已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 2．(25-26高一上·云南昆明长水教育集团·)设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 3．(25-26高一上·云南民族中学·月考)已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． (1)若，求集合M，N； (2)若A中有5个元素，求m； (3)证明：． 4．(25-26高一上·云南昆明仁泽中学·月考)给定数集，若对于任意，有，则称集合为闭集合． (1)判断集合是否为闭集合，并给出证明： (2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由： (3)若集合为闭集合，且，，证明：． 5．(25-26高一上·云南玉溪元江哈尼族彝族傣族自治县第一中学·)已知全集，集合. (1)若，求的取值范围； (2)若存在，使得，求的取值范围. 6．(24-25高一上·云南玉溪·期末)设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 7．(24-25高一上·云南曲靖民族中学·月考)设且. (1)当有4个元素时，应当满足什么关系式； (2)若有3个元素，试求：当满足什么关系式时，以中元素为顶点的三角形恰为等边三角形. 地 城 板块02 一元二次函数、方程和不等式 8．(25-26高一上·云南迪庆藏族藏文中学·期中)若不等式的解集为， (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 9．(25-26高一上·云南玉溪第一中学·期中)已知函数 (1)若关于的不等式的解集是或，求实数、的值； (2)当时，，，求实数的取值范围. 10．(25-26高一上·云南昆明长水教育集团·)已知且满足. (1)若恒成立，求实数m的取值范围； (2)求的最小值. 11．(25-26高一上·云南玉溪元江哈尼族彝族傣族自治县第一中学·)（1）已知都是正数，证明：. （2）已知且，求的最小值. 12．(19-20高一上·云南玉溪第一中学·期末)已知 （1）当时，解不等式； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 13．(19-20高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中)已知二次函数满足且. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）求在上最小值的表达式. 函数的概念与性质 地 城 板块03 14．(25-26高一上·云南文山富宁县新纪元云贵发展中心·月考)已知函数， (1)求出该函数的定义域、值域、判断奇偶性； (2)求出函数的所有单调区间，证明函数在区间上的单调性. (3)当，时，函数的最大值与最小值之差为1，求的值. 15．(25-26高一上·云南玉溪第一中学·期中)对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”. (1)证明：是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围. 16．(24-25高一上·云南昭通镇雄县三校·月考)已知函数与. (1)若求k的值； (2)若函数和函数在区间上都是增函数．求实数k的取值范围． 17．(25-26高一上·云南昭通直中学·月考)设，函数的定义域为．若对满足的任意，，均有，则称函数具有“性质”． (1)在上述条件下，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)已知，且函数具有性质，求实数a的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 18．(24-25高一下·云南大理白族·月考)已知定义在上的奇函数． (1)求实数a，b的值． (2)用定义法证明：在上单调递增． (3)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．(24-25高一下·云南昭通一中教研联盟·期中)若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“函数”． (1)试判断函数是否是“函数”，并说明理由； (2)若函数（其中e为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围． 20．(24-25高一上·云南曲靖宣威十中教育发展集团·期末)若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”． (1)若函数是优美的，求； (2)写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的； (3)对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有． 21．(24-25高一上·云南曲靖宣威第六中学·月考)已知定义在上的函数满足： ①值域为，且当时，； ②对于定义域内任意的实数，均满足；试回答下列问题： (1)试求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 22．(24-25高一上·云南昆明云南民族大学附属高级中学·期末)已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. (1)判断函数：①；②是否满足性质？（直接写出判断结果，不用证明） (2)若满足性质在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式； (3)在（2）的条件下，已知，若，证明：. 23．(24-25高一上·云南云县第一完全中学·月考)若定义域是的函数对任意的，都有成立，且当0时，. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 24．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)现定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则（，为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如：函数在上是同步函数.理由：，，，得，在上是同步函数. (1)若函数在上是同步函数，求的值； (2)已知反比例函数在上是同步函数，求的值； (3)若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，求的最小值. 25．(23-24高一上·云南丽江宁蒗彝族自治县第二中学·期中)在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 26．(23-24高一下·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 27．(23-24高一上·云南昭通一中教研联盟·期末)已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 28．(23-24高一上·云南昆明五华区·期末)设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题： (1)分别求在区间、上的平均变化率； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 29．(22-23高一上·云南西双版纳傣族第一中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. (1)求，的值； (2)判断的单调性（不需要写证明过程）； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 30．设函数且． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，试判断函数的单调性．并求使不等式对一切恒成立的的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值． 地 城 板块04 基本初等函数 31．(25-26高一上·云南昆明第八中学·期中)已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)证明：函数是在上的增函数； (3)对于任意的，不等式恒成立，求常数的取值范围． 32．(25-26高一上·云南昆明第八中学·期中)若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． (1)试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； (2)若，求的最小值； (3)设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 33．已知函数. (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，若且，求的取值范围. 34．(24-25高一下·云南保山·期末)已知函数，，若存在，使得，则称为函数的不动点；已知函数，．若存在，使得，则称为函数的稳定点． (1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点． (2)已知函数， （ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点; （ⅱ）若函数在区间上存在2个不动点，求实数的取值范围． 35．(24-25高一下·云南红河州、文山州·)已知函数，，. (1)判断函数的奇偶性： (2)证明：； (3)若的最小值为，求实数的值. 36．(24-25高一上·云南临沧中学·月考)定义：若函数满足，，为常数，且，则称为上的“倍型线性函数”． (1)判断是否为上的“倍型线性函数”，并说明理由 (2)若为上的“倍型线性函数”，求的取值范围 (3)若是定义域为的偶函数，且为定义域上的“倍型线性函数”，证明：，． 37．(24-25高一上·云南保山·期末)双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）. (1)求的值； (2)证明：两角和的双曲余弦公式； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 38．(24-25高一上·云南保山·期末)数控机床（Computer Numerical Control Machine Tools，简称CNC机床）是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用50万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，，单位：年）之间满足函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为24万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）． (1)写出与之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该机床开始盈利？ (3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出． 以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利盈利额机床剩余价值） （参考数据：，，，，） 39．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)已知函数 (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 40．(24-25高一上·云南曲靖宣威十中教育发展集团·期末)已知函数，． (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，，，若且，求的取值范围． 地 城 板块05 三角函数 41．(24-25高一下·云南玉溪第一中学·期中)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 42．(24-25高一上·云南红河州、文山州·期末)设函数的定义域为，，如果满足：任意，均有成立，则称是在上的“密切函数”. (1)判断函数是否为上的“密切函数”； (2)某市拟在直线段道路一侧或两侧修建一条分流车道，车道的第一部分为如下图所示的曲线段，是函数的图象；第二部分为曲线段，是函数且的图象. （i）求点的坐标； （ii）为确保分流车道不至于偏离道路过远，要求分流车道对应的函数是在上的“密切函数”，求符合要求的实数的取值范围. 43．(24-25高一上·云南大理白族大理·期末)已知函数 (1)将化成的形式； (2)求的对称中心及单调递减区间； (3)若在上的值域为，求的取值范围. 44．(24-25高一上·云南昆明官渡区·期末)如图所示，角的终边与单位圆交于点，过作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线交射线OP于. (1)由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段MP，AQ的长. （i）求的值； （ii）判断的大小关系； (2)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的最大值. 45．(23-24高一下·云南昭通第一中学教研联盟·期末)已知的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围. 46．(21-22高一上·云南昆明第一中学·期末)如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到，的距离分别为和2.B，C分别是直线上的动点，且，设，. (1)写出关于x的函数解析式； (2)求函数的最小值及相对应的x的值. 47．(20-21高一·1.4.1正弦函数、余弦函数的图象-·)已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值． （1）求函数的解析式； （2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围． 48．(20-21高一上·云南昆明第一中学·期末)函数在上的最大值为. （1）求常数的值； （2）当时，求使不等式成立的的取值集合. 49．(18-19高一下·云南玉溪·期末)已知，函数，. （1）若在上单调递增，求正数的最大值； （2）若函数在内恰有一个零点，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解答题压轴精选 板块01 集合与简易逻辑 板块02 一元二次函数、方程和不等式 板块03 函数的概念与性质 板块04 基本初等函数 板块05 三角函数 集合与简易逻辑 地 城 板块01 1．(25-26高一上·云南昆明长水教育集团·)已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义证明. （2）利用反证法，由题意得同为奇数或同为偶数，为奇数，假设有整数根，分同为奇数，同为偶数，结合的奇偶性可证结论. 【详解】（1）必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. （2）当时，为奇数， 当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数， 所以同为奇数或同为偶数， 假设有整数根，则， 1、当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 2、当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 若为奇数，则为奇数，为奇数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 综上，假设不成立，所以方程无整数根. 2．(25-26高一上·云南昆明长水教育集团·)设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 3．(25-26高一上·云南民族中学·月考)已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． (1)若，求集合M，N； (2)若A中有5个元素，求m； (3)证明：． 【答案】(1)，． (2)19或13． (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的新定义确定集合的元素即可得集合； （2）设中5个元素为，，，，，且，根据集合中元素性质可得，再根据集合的新定义确定集合的元素即可得集合中的元素个数的值； （3）设，根据集合的新定义确定集合的元素，从而得结论. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）设中5个元素为，，，，，且． 因为若，则，所以，，，即． 对于M中的元素，若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为． 若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，，，． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为．若，则，即． 综上，若，则，若则．即m的值为19或13． （3）证明：设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于M中任意一个元素，都有对应的，所以． 设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于N中任意一个元素，都有对应的，所以．综上，． 4．(25-26高一上·云南昆明仁泽中学·月考)给定数集，若对于任意，有，则称集合为闭集合． (1)判断集合是否为闭集合，并给出证明： (2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由： (3)若集合为闭集合，且，，证明：． 【答案】(1)A不是闭集合，证明见解析 (2)不一定，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）集合A：直接根据题干定义验证即可； （2）令，，说明集合为闭集合，然后取特值进行验证即可； （3）可采用反证法，假设，由，可得存在且，故；同理，存在且，故；然后讨论和两种情况，得到矛盾，从而判断假设不成立，从而得到． 【详解】（1）A不是闭集合． ∵，，，∴A不是闭集合； （2）结论：不一定； 不妨令，， 任取，设，，，则且，∴，同理，，故为闭集合； 则由以上可知，为闭集合，同理可证为闭集合， ∵，， 因此，不是闭集合， ∴若集合为闭集合，则不一定为闭集合； （3）假设， 由，可得存在且，故； 同理，存在且，故， ∵，∴或． 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 综上，不成立，故． 5．(25-26高一上·云南玉溪元江哈尼族彝族傣族自治县第一中学·)已知全集，集合. (1)若，求的取值范围； (2)若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，的且，得到不等式，即可求解； （2）根据题意，分，和，三种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. （2）解：当时，可得集合，此时是空集， 不存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，可得，则， 因为，所以不存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，可得，则， 因为，所以存在，使得，符合题意， 综上可得，实数的取值范围为. 6．(24-25高一上·云南玉溪·期末)设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)至多只有5个，理由见解析 【分析】（1）根据新定义判断是否具有性质即可； （2）利用反证法，假设具有性质，可得集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾，从而得证； （3）分①5，6，7同时选，②5，6，7选2个，③5，6，7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义求解即可. 【详解】（1）∵，，，，， ∴具有性质． （2）假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． （3）．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 7．(24-25高一上·云南曲靖民族中学·月考)设且. (1)当有4个元素时，应当满足什么关系式； (2)若有3个元素，试求：当满足什么关系式时，以中元素为顶点的三角形恰为等边三角形. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得到有关于的两个一元二次方程，再根据有四个元素可得到两个二次方程均有两个实数根可求得结果； （2）根据（1）中的不等式可得到只能让有一解，让有两个解，即可得到之间的关系. 【详解】（1）有4个元素，即等价于与分别有两个不同实数根， 因为， 于是要求即可； （2）由于有3个元素，因此仅有一解，可以得到， 设是方程的两个解，于是得到， 可解得， 由于点到直线的距离为3，因此三个点构成的三角形为等边三角形， 所以. 地 城 板块02 一元二次函数、方程和不等式 8．(25-26高一上·云南迪庆藏族藏文中学·期中)若不等式的解集为， (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三个二次的关系得出，，，代入不等式化简求解即可； （2）由（1）代入不等式，由恒成立可得，再结合得出的范围即可. 【详解】（1）由的解集为， 知，且关于的方程的两个根分别为， 所以不等式可变形为 即． 又因为，所以， 所以所求不等式的解集为． （2）由（1）知． 不等式化为 即：对任意实数x恒成立，所以， 又， 所以，得， 又，所以． 9．(25-26高一上·云南玉溪第一中学·期中)已知函数 (1)若关于的不等式的解集是或，求实数、的值； (2)当时，，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意可知，为方程的两个实数根，根据根与系数的关系建立的等式计算求解即可； （2）方法1：由得，求出函数的对称轴，根据对称轴和开口方向得到在区间上单调递增，根据 ，，得到，从而得到的范围. 方法2：由得到，由 ，，得到，分离参数得到.由，得到的范围，从而得到的范围. 【详解】（1）不等式的解集是或，，为方程的两个实数根， ，. （2）方法1：因为，所以，，所以，函数的对称轴为. 因为，，所以，在区间上单调递增，又因为，， 所以，解得. 又因为，所以，. 方法2：因为，所以，，因为，， 所以，即：，又因为，， 所以.因为，， 所以，又因为，所以. 10．(25-26高一上·云南昆明长水教育集团·)已知且满足. (1)若恒成立，求实数m的取值范围； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得恒成立，利用基本不等式即可求解； （2）利用转化，结合基本不等式可求最小值. 【详解】（1）因为恒成立，，所以恒成立， 所以，又，所以，所以， 所以实数m的取值范围为； （2） ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 11．(25-26高一上·云南玉溪元江哈尼族彝族傣族自治县第一中学·)（1）已知都是正数，证明：. （2）已知且，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）对不等式进行化简，然后根据基本不等式的性质验证即可. （2）分讨论，根据基本不等式的性质进行计算即可. 【详解】（1）.， 当且仅当时，等号成立. （2）由题意知. 当时，，当且仅当，即时，等号成立. 当时， ，当且仅当，即时，等号成立. 综上，的最小值为. 12．(19-20高一上·云南玉溪第一中学·期末)已知 （1）当时，解不等式； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）当时,可得,由，解对数不等式即可求出; （2）由在上单调递减,可得函数在区间上的最大值与最小值的差为,将转化为对任意恒成立,利用二次函数的性质即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时， ，， ，，则不等式的解集为. （2）因为在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值的差为， 因此 即对任意恒成立， 因为，所以在上单调递增， 所以 因此，. 【点睛】本题考查对数不等式的解法,借助二次函数恒成立求未知参数范围问题,难度较难. 13．(19-20高一上·云南昆明官渡区第一中学·期中)已知二次函数满足且. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）求在上最小值的表达式. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（Ⅰ）由，可设函数式为，代入求得，得函数解析式； （Ⅱ）由对称轴是，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，按，，分类，分别求得最小值，得分段函数． 【详解】（Ⅰ）因为，所以令二次函数为： 又因为， ， ∴，，∴． （Ⅱ）因为对称轴为：，所以函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 若在 当时， 当时， 当时， 综上可得. 【点睛】本题考查求二次函数解析式，方法是待定系数法，考查求二次函数在给定区间上的最值，必须按对称轴与区间的关系分类求解． 函数的概念与性质 地 城 板块03 14．(25-26高一上·云南文山富宁县新纪元云贵发展中心·月考)已知函数， (1)求出该函数的定义域、值域、判断奇偶性； (2)求出函数的所有单调区间，证明函数在区间上的单调性. (3)当，时，函数的最大值与最小值之差为1，求的值. 【答案】(1)定义域，值域，奇函数 (2)答案见解析 (3)1 【分析】（1）分析出要使函数有意义，只须分母不等于0，即可得定义域；利用基本不等式即可求值域；根据函数奇偶函数的定义，即可判断奇偶性； （2）由（1）及对勾函数的性质得到函数的单调区间，再根据函数单调性的定义证明即可； （3）利用函数在区间上单调性，求出函数在，上的最大值及最小值，然后列出等式，求解即可. 【详解】（1）要使有意义，须满足，所以函数的定义域为； 当时，，当且仅当，即时等号成立； 当时，，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以函数的值域为； 因为函数的定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数； （2）由（1）及对勾函数的性质可知， 函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为和. 设， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增； （3）由（2）知函数在区间上单调递增，所以当，时， 在处取得最小值，且； 在处取得最大值，且. 已知函数的最大值与最小值之差为1，则， 即，即，因为，所以， 即，解得或（舍）. 所以的值是1. 15．(25-26高一上·云南玉溪第一中学·期中)对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”. (1)证明：是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，， (3) 【分析】（1）根据在上的单调性和值域可证； （2）根据“翻倍区间”的定义列方程组求解可得； （3）转化为方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，利用二次函数性质求解可得. 【详解】（1）证明：由函数在上单调增函数知，的值域为， 所以，是函数的一个“翻倍区间”； （2）假设存在一个“翻倍区间”， 由函数是上的单调增函数，有，   解得，0，，，0，， 由知所有“翻倍区间”为，，. （3）由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数， 而，可得，解得， 由②知，可得，是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 即方程在上有两个不等实根 或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，故实数的取值范围为. 16．(24-25高一上·云南昭通镇雄县三校·月考)已知函数与. (1)若求k的值； (2)若函数和函数在区间上都是增函数．求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，进而可得，求解即可； （2）利用二次函数的单调性和反比例函数的单调性可求得实数k的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 又所以，所以， 解得或（舍去），所以； （2）对于函数，它是二次函数，开口向下，对称轴为， 因为在区间上是增函数，所以， 对于函数，它是反比例函数向左平移2个单位得到的， 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增； 由在区间上是增函数，所以， 综上所述：实数k的取值范围为． 17．(25-26高一上·云南昭通直中学·月考)设，函数的定义域为．若对满足的任意，，均有，则称函数具有“性质”． (1)在上述条件下，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)已知，且函数具有性质，求实数a的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据函数具有性质的条件进行判断即可； （2）原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； （3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性. 【详解】（1）因为对任意， ，符合定义； 因此，函数具有性质. （2）显然，所以设， 则， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立.，即恒成立， 由，可得，所以. （3）充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足，即， 而，故存在，使，且，即， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 18．(24-25高一下·云南大理白族·月考)已知定义在上的奇函数． (1)求实数a，b的值． (2)用定义法证明：在上单调递增． (3)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义建立关于参数的方程组，求解并验证即得参数值； （2）利用函数的单调性定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式，将其化成二次函数在给定区间上的恒成立问题，数形结合列出不等式即可求得参数范围. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以 即解得． 经验证符合题意. （2）由（1）可知． 任取，则 因为，所以，所以， 则在上单调递增. （3）由，得， 因为为奇函数，所以， 因为在上单调递增，所以，即， 因为对任意的，关于的不等式恒成立， 即关于的不等式在上恒成立， 故 解得，即实数的取值范围是． 19．(24-25高一下·云南昭通一中教研联盟·期中)若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“函数”． (1)试判断函数是否是“函数”，并说明理由； (2)若函数（其中e为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)． 【分析】（1）由题意结合作差法可完成判断； （2）由，结合题意可得对一切正数恒成立；由，可得对一切正数恒成立，据此可得答案. 【详解】（1）对于，当时，． 因为， 所以， 所以是“函数”． （2）当时，由是“函数”， 得， 即对一切正数恒成立． 因为，所以对一切正数恒成立， 所以． 由， 得， 即，注意到： 所以． 因为，所以． 由对一切正数恒成立， 所以，即， 综上可知，实数的取值范围为． 【点睛】关键点睛：对于恒成立或能成立问题，常见思路为分离参数后，转化为最值问题求解. 20．(24-25高一上·云南曲靖宣威十中教育发展集团·期末)若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”． (1)若函数是优美的，求； (2)写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的； (3)对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过对给定等式合理赋值来求解； （2）先根据条件确定一个满足的函数，再验证其是否满足“优美的”函数定义； （3）需要分情况讨论有理数为正整数、负整数、分数时，证明成立. 【详解】（1）已知函数是“优美的”，即对任意的和，都有. 令，则，即. 即，所以. （2）设，此时，满足. 下面证明是“优美的”： 对于任意的和，，而. 所以，故是“优美的”. （3）证明对任意有理数，都有. 有理数包括整数和分数，分类讨论. 当为0时，显然. 当为正整数时： 设（为正整数），由可得： . 同理，以此类推可得. 当为负整数时： 设（为正整数），因为，由前面已证得，所以，则，即. 当为分数时： 设（为整数，），因为， 又由前面已证得当为整数时，所以， 则，即. 综上，对任意的有理数，都有. 【点睛】关键点点睛：本题属于函数新定义题，关键是读懂题意，将其联想到熟悉的知识点，解题即可.第三问关键是对有理数进行分类，然后按照分类讨论，证明即可. 21．(24-25高一上·云南曲靖宣威第六中学·月考)已知定义在上的函数满足： ①值域为，且当时，； ②对于定义域内任意的实数，均满足；试回答下列问题： (1)试求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用赋值法代入计算，再根据函数值域即可得； （2）根据已知条件可证明得出，再由函数单调性定义证明即可得出结论； （3）结合函数奇偶性，将不等式恒成立问题转化为，再由单调性即可求得结果. 【详解】（1）在中，令， 则有．即． 也即． 由于函数的值域为，所以， 所以． （2）函数的单调性必然涉及到， 于是由已知，我们可以联想到：是否有（*） 这个问题实际上是：是否成立？ 为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即与的关系． 由于，所以在中， 令，得．所以函数为奇函数．故（*）式成立． 所以． 任取，且，则，故且． 所以，； 所以，函数在上单调递减． （3）由（2）知为奇函数，且对恒成立， 即对恒成立， 由（2）知为减函数，所以对恒成立， 所以，令， 因为在上单调递增，，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：在解决第三问中求解取值范围的关键是利用函数奇偶性将不等式恒成立转化为求解函数最小值的问题，再结合函数单调性即可求解. 22．(24-25高一上·云南昆明云南民族大学附属高级中学·期末)已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. (1)判断函数：①；②是否满足性质？（直接写出判断结果，不用证明） (2)若满足性质在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式； (3)在（2）的条件下，已知，若，证明：. 【答案】(1)①不是；②是； (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题中所给新定义，可直接判断结果； （2）由满足性质，结合条件，得到，再结合函数单调性，将不等式化为，分类讨论求解不等式即可； （3）根据函数满足性质，先得到，再由函数单调性得出，结合基本不等式，即可证明结论成立. 【详解】（1）①不满足性质；②满足性质；理由如下： ①由中，可取零，而中，不能取零，因此不满足性质； ②由得对其定义域内任意给定的实数都成立，因此满足性质. （2）若满足性质，且定义域为， 令时，得到， 在上单调，在时恒有， 所以在上单调递减， 由得到， 即，因为在上是单调减函数， 所以，即，即， ①当时，不等式为，不等式解集为； ②时，不等式解集为. ③当时，即时，不等式为，不等式解集为； ④当时，，不等式解集为； ⑤当时，，不等式解集为. （3）已知，若， ，， ∵在上是单调函数，∴，， ∵，∴. 【点睛】方法点睛：求解函数新定义问题，关键在于理解所给新定义，结合新定义以及函数相关性质求解即可. 23．(24-25高一上·云南云县第一完全中学·月考)若定义域是的函数对任意的，都有成立，且当0时，. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用赋值法，结合函数的奇偶性的定义进行证明. （2）利用函数单调性的定义，通过计算来进行证明. （3）根据函数的单调性、奇偶性等知识，结合对进行分类讨论来求得正确答案. 【详解】（1）函数为奇函数， 证明如下：令，可得，故， 令可得， 即. 又函数的定义域是，故函数为奇函数. （2）函数单调递减， 证明如下：任取，则， 故，即， 所以在上单调递减. （3）因为在上单调递减，且为奇函数， 则不等式， 可化为，即. 即，即， 当时，不等式为，解得， 则不等式的解集； 当时，不等式变形为0， 由于， 解得或， 故此时不等式的解集为； 当时，不等式变形为0， 由于， 解得， 故此时不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】方法点睛： 奇偶性判断：通过与的关系来判断奇偶性，这种方法适用于所有定义域对称的函数. 单调性判断：利用函数的定义域上任意两点的值，结合单调性定义证明函数的单调性. 不等式求解：将不等式转化为符合函数特性的形式，通过分类讨论（正、负及零）来求解. 24．(24-25高一上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)现定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则（，为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如：函数在上是同步函数.理由：，，，得，在上是同步函数. (1)若函数在上是同步函数，求的值； (2)已知反比例函数在上是同步函数，求的值； (3)若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）直接按新定义求解即可； （2）经分析得出含的方程组解出即可； （3）由新定义解出抛物线方程，进而利用基本不等式解出的最小值即可. 【详解】（1）函数在上是同步函数，且函数是递减函数， 又，，故当时，；当时，； 即，解得，. （2）由反比例函数在上是同步函数，，， 反比例函数在和上都是递减的， 当时，取最大值，当，取最小值， 即，故得. （3）可化为，过点， 因，，则对称轴， 故在上递增， 又在上是同步函数， 当时，取最小值1，当时，取最大值3. 即得，，解得，， 函数表达式为， 所以，当且仅当时取“”， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：转化思想是解决集合新定义题目的一种常见方法；如小问由函数新定义解出，变形转化为；小问解出函数表达式为，将转化成基本不等式求最值. 25．(23-24高一上·云南丽江宁蒗彝族自治县第二中学·期中)在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是，不是 (2)存在， 【分析】（1）根据点的“界函数”的定义分析判断即可； （2）由题意得，则，都有，然后分，，和求解函数的值域，再结合求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以是点的界函数； 因为，，所以， 所以不是点的界函数； （2）因为在函数上，所以， 所以，都有. 当，即时，在上单调递减， 所以， 所以，得，解得或（舍去）； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，在上单调递增， 所以，所以，得，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 26．(23-24高一下·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)是增长函数 (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】（1）的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； （2）依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数的最小值为； （3）由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 27．(23-24高一上·云南昭通一中教研联盟·期末)已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分析判断； （2）先对函数化简变形后，再任取，且，然后化简变形，再判断符号，可得结论； （3）利用函数是奇函数将原不等式转化为，再由函数为上的减函数，得，即存在，使得成立，然后求出的最大值即可. 【详解】（1）∵，定义域为，关于原点对称， 又， ∴为奇函数. （2）∵， 任取，且，则 ， ∵，∴，，， 故，即， ∴在上为减函数. （3）∵为上的奇函数，又， ∴. 又由于函数为上的减函数， ∴， 则， 又存在，使得成立，则， 又∵在上为减函数， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性，函数单调性的证明，考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，第（3）问解题的关键是利用函数为奇函数将原不等式转化后，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 28．(23-24高一上·云南昆明五华区·期末)设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题： (1)分别求在区间、上的平均变化率； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为 (2) 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）参变分离可得在时恒成立，利用所给定义证明在上单调递增，上单调递减，即可求出当时，从而求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，，， 所以，， 所以在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为. （2）因为当时，不等式恒成立， 所以在时恒成立， 对于函数，， 设任意且，则， 因为且，所以，，则， 所以，即在上恒成立， 所以在区间上单调递增，同理可证在上单调递减， 所以当时，所以. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是参变分离得到在时恒成立，结合所给定义证明函数，的单调性. 29．(22-23高一上·云南西双版纳傣族第一中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. (1)求，的值； (2)判断的单调性（不需要写证明过程）； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)函数在为单调递增函数 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质，可求出的值，再利用可求出的值； （2）根据（1）的结论及对勾函数的性质，结合奇函数单调性的性质即可求解； （3）根据（1）结论及奇偶法求函数的解析式，再利用（2）的结论及函数单调性与最值的关系，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，结合一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数 ∴，即∴.   又因为，即，所以，经检验得符合题意. 综上所述，. （2）由（1）知，，，所以，由对勾函数的性质知，在上单调递减，所以在上单调递增， 又因为函数是定义在上的奇函数 所以函数在为单调递增函数. （3）由（1）可知，，则 因为当时，有，函数是定义在上的奇函数 所以，    所以， 综上所述，， 由（2）知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立，则，， 即，于是有，解得或， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】解决此题的关键第一问利用奇函数在上有定义，则有即可，第二问主要利用对勾函数的性质及在公共定义域内函数单调性的性质即可；第三问利用奇偶法求函数的解析式及将不等式恒成立问题转化为函数的最值的最值问题即可. 30．设函数且． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，试判断函数的单调性．并求使不等式对一切恒成立的的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)奇函数 (2) (3) 【分析】(1)用证明奇偶性的定义，可证得为奇函数. (2)利用题目条件求出的范围，再将转化为不等式恒成立问题求解即可. (3)用换元法转化为新函数（二次函数），再分类讨论参数，分别求出函数的最小值为2.从而求出的值. 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，且)， 为奇函数． （2）且． ，， 又，且， ， 故在上单调递减， 不等式化为， ，即恒成立， ， 解得； （3），，即， 解得或舍去)， ， 令，由(1)可知为增函数， ，， 令， 若，当时，，； 若时，当时，，解得，无解； 综上，. 地 城 板块04 基本初等函数 31．(25-26高一上·云南昆明第八中学·期中)已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)证明：函数是在上的增函数； (3)对于任意的，不等式恒成立，求常数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数、增函数的性质将不等式转化为对恒成立，再换元，结合二次函数性质列式求解. 【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得，解得， 函数，，是奇函数， 所以. （2）由（1）知， 设，且，， 当时，，则，即， 所以函数是在上的增函数． （3）不等式， 依题意，任意，不等式恒成立， 由（2）知函数在上单调递增，则不等式对恒成立， 令，而均为增函数，则是增函数， 由，得，且， 因此不等式在上恒成立， 设，由函数开口向上，得， 则，解得， 所以的取值范围是. 32．(25-26高一上·云南昆明第八中学·期中)若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． (1)试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； (2)若，求的最小值； (3)设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 【答案】(1)、是；不是，理由见解析 (2)12 (3)证明见详解 【分析】（1）结合函数新定义逐个判断即可； （2）由（1）结合，得到，再结合基本不等式即可求解； （3）确定在上单调递增，在上单调递增．根据零点存在性定理可得函数在上有且只有一个零点，再结合可判断在存在一个零点，即可. 【详解】（1）， 所以是“好玩函数”． ， 所以是“好玩函数”． 由，则或，而， 当或时无意义， 所以不是“好玩函数”． （2）因为， 所以在上单调递增， 由（1）知，，所以， 又，所以， 所以． ， 当且仅当即时等号成立． 所以，的最小值为12． （3）因为， 在上单调递增，在上单调递增． 又， 由零点存在性定理知，， 所以在上有且只有一个零点． 又 所以是“好玩函数”，， 所以， 故也是的零点， 所以在和各有一个零点， 即在定义域内有且只有两个零点． 33．已知函数. (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，若且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分析的单调性并将问题转化为“存在，使得不等式有解”，根据二次函数的最值可求解出结果. （2）求出函数，再借助基本不等式求出的范围，进而用表示出，由此求的范围. 【详解】（1）函数， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，由存在，不等式有解， 得存在，不等式有解，即存在，不等式有解， 而当时，，则，所以实数的取值范围为. （2）依题意，， 由，得， 而，即，当且仅当时取等号， 解得，即，又， 则，即， 因此，而，则， 于是， 所以的取值范围为. 34．(24-25高一下·云南保山·期末)已知函数，，若存在，使得，则称为函数的不动点；已知函数，．若存在，使得，则称为函数的稳定点． (1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点． (2)已知函数， （ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点; （ⅱ）若函数在区间上存在2个不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）不动点为，，稳定点为0，，，；（ⅱ） 【分析】（1）根据函数的不动点和稳定点的定义易得； （2）（ⅰ）由解方程即得函数的不动点，再由解方程即得函数的稳定点；（ⅱ）将函数在区间上存在2个不动点转化为方程在上有2个不等实根，采用数形结合的方法，列出不等式组求解即得. 【详解】（1）设是函数的一个不动点，则有． 所以， 故函数不动点一定是函数的稳定点． （2）（ⅰ）时，， 由，得，即， 解得，或， 所以时，函数的不动点为，． 又因为时，， 由，得， 即，分解因式可得：， 所以或或或， 故时，函数的稳定点为0，，和． （ⅱ）由，得， 令，， 依题意，方程在有2个不等实根， ，， 解得，故实数a的取值范围是． 35．(24-25高一下·云南红河州、文山州·)已知函数，，. (1)判断函数的奇偶性： (2)证明：； (3)若的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念进行判断. （2）分别写出与，进行化简整理即可. （3）先明确的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，分类讨论求函数的最小值，利用最小值为，可得实数的值. 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 由题意，得， 因为， 所以为奇函数. （2）由，则， ， 所以得证. （3）由，得， 令，所以，， ①当时，在上单调递增，，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得（舍去）. 综上所述，实数的值为. 36．(24-25高一上·云南临沧中学·月考)定义：若函数满足，，为常数，且，则称为上的“倍型线性函数”． (1)判断是否为上的“倍型线性函数”，并说明理由 (2)若为上的“倍型线性函数”，求的取值范围 (3)若是定义域为的偶函数，且为定义域上的“倍型线性函数”，证明：，． 【答案】(1)不是上的“倍型线性函数”，理由见解析 (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）结合新定义，通过举反例即可判断； （2）结合新定义，构造不等式即可求解； （3）由函数新定义，结合偶函数的性质即可求证. 【详解】（1）不是上的“倍型线性函数”， 理由如下：假设是上的“倍型线性函数”， 则，，， 不妨令，则，即， 取，，则，， 因为，所以， 与矛盾，从而假设不成立， 故不是上的“倍型线性函数”； （2）因为为上的“倍型线性函数”， 所以，，， 整理得， 当时，上式显然成立， 当时，上式等价于， 则， 由，，得， 从而， 综上所述，的取值范围为； （3）证明：因为是定义域为的偶函数， 所以， 又是定义域上的“倍型线性函数”， 所以，，， 当时，显然成立， 当时，不妨设， 由，，可得； 若，则由， 可得； 若， 因为是偶函数，所以， 则 ． 综上所述，． 37．(24-25高一上·云南保山·期末)双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）. (1)求的值； (2)证明：两角和的双曲余弦公式； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数新定义结合指数幂的运算可得； （2）由函数新定义结合指数幂的运算得证； （3）分离参数后再构造函数，分离常数换元令，再结合二次函数的单调性可求. 【详解】（1）由题意得， . （2）因为 ，故得证. （3）由题意得，在上恒成立， 即在上恒成立 ， 令，则. 令，因为，所以，所以， 所以，， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 则，即的取值范围为. 38．(24-25高一上·云南保山·期末)数控机床（Computer Numerical Control Machine Tools，简称CNC机床）是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用50万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，，单位：年）之间满足函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为24万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）． (1)写出与之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该机床开始盈利？ (3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出． 以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利盈利额机床剩余价值） （参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)第3年 (3)第一方案 【分析】（1）根据盈利额的定义，用总收入减去购买成本和使用支出费用来构建函数关系式； （2）令盈利额大于0，求解不等式，即可得到结果； （3）分别计算两种方案下的总获利，比较大小来判断哪种方案更合理. 【详解】（1）由盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，可得： . （2）令，即，即， 对于方程，由求根公式可得， 又，则， ， 所以不等式的解为， 且，所以从第3年开始盈利. （3）第一方案：对于，对称轴为， 当时，（万元）， 此时机床剩余价值为， 总获利为（万元）； 第二方案：年平均盈利额为 其中， 当且仅当时，即时，等号成立， 且，则或， 当时，（万元）， 当时，（万元）， 所以时，年平均盈利额最大，此时盈利额（万元）， 机床剩余价值为（万元）， 总获利为（万元）， 因为，所以第一方案较为合理. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的实际应用，难度较大，解答本题的关键在于构建函数模型，以及结合基本不等式求取最值，从而求解. 39．(24-25高一上·云南昭通一中教研联盟·期中)已知函数 (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得在区间上的最小值. （2）先求得的最大值和最小值，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 令，则由，可知的取值范围为， 故原函数可化为， 由对勾函数性质，可知在上单调递增， 因此在时取到最小值，此时， 所以当时，在上取到最小值. （2）依题意， 故当时，. 因为，总存在，使得， 设在上取值的集合为集合，则有. 当时，显然有在区间上单调递增， 此时， 由可知，解得 当时，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 因此有，即， 因为时，，故时，在上单调递增， 此时， 由此可得无解， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数的对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最小值.对于含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况. 40．(24-25高一上·云南曲靖宣威十中教育发展集团·期末)已知函数，． (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，，，若且，求的取值范围． 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)的取值范围为 【分析】（1）分析的单调性并将问题转化为“存在，使得不等式有解”，根据二次函数的最值可求解出结果； （2）先分析出的范围，再通过条件用表示出，由此可求的范围. 【详解】（1）因为， 又在上单调递增，所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 因为存在，使得不等式有解， 即存在，使得不等式有解， 即存在，使得不等式有解， 所以且， 因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，所以， 所以，即实数的取值范围为； （2）因为， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两个方面，一方面是存在性问题的转化，通过参变分离将问题转化为参数与新函数最值之间的关系；另一方面是在求的最大值时，合理利用条件结合基本不等式将的范围求出，通过与的关系求解. 地 城 板块05 三角函数 41．(24-25高一下·云南玉溪第一中学·期中)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)奇函数， (3)． 【分析】（1）利用、的表示式分别化简计算即可得 ； （2）根据的表达式，利用奇偶性的定义判断为奇函数，再将其解析式化成，利用函数的单调性即可求其值域； （3）将题设不等式恒成立等价转化成在上恒成立，继而只需求在上的最大值，通过整理换元，利用函数的单调性即可求得其最大值，即得参数范围. 【详解】（1）由题意，； . （2）因，， 则对于，，是奇函数； 又， 因在上单调递增且为正，故在上单调递减， 则在是增函数， 由，得故得， 即的值域为. （3）由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立 令， 则， 令，由，可得，，即得， 则，， 因函数在上递增，在上递减，故， 依题意，，即m的取值范围为． 42．(24-25高一上·云南红河州、文山州·期末)设函数的定义域为，，如果满足：任意，均有成立，则称是在上的“密切函数”. (1)判断函数是否为上的“密切函数”； (2)某市拟在直线段道路一侧或两侧修建一条分流车道，车道的第一部分为如下图所示的曲线段，是函数的图象；第二部分为曲线段，是函数且的图象. （i）求点的坐标； （ii）为确保分流车道不至于偏离道路过远，要求分流车道对应的函数是在上的“密切函数”，求符合要求的实数的取值范围. 【答案】(1)是上的“密切函数” (2)（i）；（ii）或 【分析】（1）分析可知：若是在上的“密切函数”， .故根据定义分析函数在上的单调性及最值即可求解； （2）（i）根据点在函数的图象上，先求出函数的解析式，代入横坐标即可求点坐标； （i）根据点坐标代入可得.对和进行分类讨论，根据“密切函数”的定义研究函数的单调性与最值即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 则在上单调递增， 所以， . ∴，有. 所以函数是上的“密切函数”. （2）（i）由图可知，函数在上的最大值为，则. 又，则，即. 因为，所以， 则，故. 所以，故. （ii）因为过点，所以，则， 所以. 设，则在其定义域上单调递减. ①当时，根据复合函数单调性可知：函数在[5,10]上单调递增， 要满足分流车道对应的函数为上的“密切函数”，则需要，即，解得. ②当时，函数在[5,10]上单调递减， 要满足分流车道对应的函数为上的“密切函数”，则需要， 即，解得. 综上所述，或. 【点睛】本题为新定义题型，综合考查函数的最值、单调性、周期性等性质，以及分类讨论、数形结合等数学思想，属于压轴题.解题的关键是理解“密切函数”的定义，将问题转化为求函数的最值，进而研究函数单调性即可. 43．(24-25高一上·云南大理白族大理·期末)已知函数 (1)将化成的形式； (2)求的对称中心及单调递减区间； (3)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)对称中心为，；单调递减区间为， (3) 【分析】（1）根据题意利用二倍角正弦、余弦公式的变形，结合辅助角公式化简整理即可； （2）以为整体，结合余弦函数的对称性、单调性分析求解即可； （3）根据的周期性和对称性，分类讨论在上是否单调，分析的最值，进而求的取值范围. 【详解】（1）由题意可得： 所以 （2）令，，解得，， 所以的对称中心为，， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，. （3）由题意得的最小正周期， 令，，解得，. 图象的对称轴为直线， 若在上单调，则，， 解得，， 则 ， 因为，， 可得，所以， 若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点， 且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同. 假设在上的图象的最高点为，则， 当，即时，， 此时取得最小值，且最小值是， 又因为，则， 所以， 综上所述：的取值范围为. 44．(24-25高一上·云南昆明官渡区·期末)如图所示，角的终边与单位圆交于点，过作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线交射线OP于. (1)由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段MP，AQ的长. （i）求的值； （ii）判断的大小关系； (2)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的最大值. 【答案】(1)（i） ，；（ii） (2) 【分析】（1）（i）直接利用三角形面积公式和扇形面积公式求解； （ii）利用面积大小关系先得，再由三角函数的性质和单调性判断大小； （2）由三角函数定义可得，利用三角函数恒等变换再求最值. 【详解】（1）（i） ， （ii）由图可知的大小关系为， 所以结合（1）的值可以得到在时有， 即， 因为， 又因为，则， 再由在上的单调性可知， 综上. （2）由三角函数定义可以设点的横坐标为，点的纵坐标为， 所以， 原式， 因为，所以， 所以时，有最大值. 【点睛】关键点点睛：利用面积大小关系先得，又，所以. 45．(23-24高一下·云南昭通第一中学教研联盟·期末)已知的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据函数图象先确定的值，再由和，解得，最后将点代入得，，解得，即； （2）由得，，再结合的单调性即可求解； （3）由得，，作出函数在上的图象，函数在上有两个零点，可以转化为与在上有两个交点，结合图象即可求解. 【详解】（1）由图可得，，解得， 又因为，所以， 因为的图象经过，所以， 所以，即， 又因为，所以， 故的解析式为：. （2）当时，， 因为在和单调递减， 由，得， 由，得， 所以的单调递减区间是和. （3）当时，， 因为在和上单调递增，在上单调递减， 由，得， 由，得， 由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的图象如图所示， 因为函数在上有两个零点， 所以与在上有两个交点， 所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用函数图象求出函数的解析式，结合正弦函数的单调性，求解单调区间，以及将零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来求解. 46．(21-22高一上·云南昆明第一中学·期末)如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到，的距离分别为和2.B，C分别是直线上的动点，且，设，. (1)写出关于x的函数解析式； (2)求函数的最小值及相对应的x的值. 【答案】(1)，； (2)时，. 【分析】(1)根据给定条件可得且，再借助直角三角形边角关系计算作答. (2)由(1)利用三角恒等变换公式化简函数，再借助三角函数的性质计算作答. 【详解】（1）依题意，，而，，，则， 由知，点B，C在直线DE同侧，均为锐角，则有， 在中，，在中，，则， 所以，. （2）由(1)得： 因，即，当，即时，取最大值1， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 47．(20-21高一·1.4.1正弦函数、余弦函数的图象-·)已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值． （1）求函数的解析式； （2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据正弦型函数的性质得出，由周期公式得出，由函数的最大值得出，结合，整理得出该函数的解析式； （2）将函数的零点转化为方程在区间上有两个实根，由得出，结合函数在区间上的单调性，确定的范围，整理得出实数t的取值范围. 【详解】（1）由题意知，，得周期，∴ 当时，取得最大值4，即，得， 得，得， 又，当时，， 即． （2）由已知在区间上有两个实根，即方程在区间上有两个实根. ，，， 由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又当时，，当时， 当时，，当时，，如图所示： 又方程有两个实根，∴或 得或， 即实数的取值范围是： 【点睛】易错点睛：本题主要考查了由正弦函数的性质求函数的解析式以及由函数零点个数求参数的范围，考查运算求解能力，注意零点问题，区间端点开闭问题，是易错题，属于中档题. 48．(20-21高一上·云南昆明第一中学·期末)函数在上的最大值为. （1）求常数的值； （2）当时，求使不等式成立的的取值集合. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）本题首先可根据二倍角公式将函数解析式转化为，然后根据得出，再然后结合正弦函数性质得出当时函数在上取最大值，最后根据即可得出结果； （2）本题首先可将不等式转化为，然后结合正弦函数性质得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】（1） ， 当时，， 结合正弦函数性质易知， 当，即时，函数在上取最大值， 因为函数在上的最大值为， 所以，解得，. （2），即，， 结合正弦函数性质易知， 即， 解得， 故的取值集合为. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数最值求参数以及与三角函数相关的不等式问题的解法，考查正弦函数的性质的应用，考查应用二倍角公式进行转化，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题. 49．(18-19高一下·云南玉溪·期末)已知，函数，. （1）若在上单调递增，求正数的最大值； （2）若函数在内恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）求出的单调递增区间，令，得，可知区间 ，即可求出正数的最大值；（2）令，当时，，可将问题转化为在的零点问题，分类讨论即可求出答案. 【详解】解：（1）由， 得，. 因为在上单调递增， 令，得时单调递增， 所以解得，可得正数的最大值为. （2） ， 设，当时，.它的图形如图所示.    又，则 ，，令， 则函数在内恰有一个零点，可知在内最多一个零点. ①当0为的零点时，显然不成立； ②当为的零点时，由，得，把代入中， 得，解得，，不符合题意. ③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象可知不符合题意； 若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内， 所以解得. 综上，的取值范围为. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $