专题04 指数函数与对数函数（5大题型）（期末真题分类汇编 云南专用）高一数学上学期

专题04 指数函数与对数函数 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 指数与对数的基本运算 考点02 比较大小问题 考点03 指数函数及其性质 考点04 对数函数及其性质 考点05 指对函数的实际应用 指数与对数的基本运算 地 城 考点01 1．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？(参考数据) A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25高一上·云南昆明·月考）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强.若声强是声强的150倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（    ）（结果四舍五入保留整数） A．14 B．21 C．22 D．23 3．（23-24高一上·云南保山·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 5．（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知，，则的值为 . 6．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习），则 ．. 7．（23-24高一上·云南·期末）若函数，，，则 ；的值为 . 8．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数为上的单调函数，，都有，且满足，则 ． 9．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）如图，将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂” 次．（参考数据：取） 10．（25-26高一上·云南昆明·期中）求下列各式的值． (1)； (2)（其中，，注意：计算结果用分数指数幂表示．）； (3) 11．（25-26高一上·云南昆明·期中）（1）计算； （2）计算． 12．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，判断的单调性并用定义法证明； (3)若，求不等式的解集. 13．（23-24高一上·云南昆明·期末）（1）已知，求的值； （2）计算：． 14．（24-25高一上·云南玉溪·月考）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 16．（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）计算： (1)； (2) 地 城 考点02 指数与对数的基本运算 17．（24-25高一上·云南昆明·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·云南昆明·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设，，则则（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·云南曲靖·期末）下列大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·云南昭通·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·云南昭通·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·云南楚雄·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·云南昆明·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·云南红河·期末）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·云南红河·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·云南大理·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 指数函数及其性质 地 城 考点03 31．（24-25高一上·云南昆明·期末）根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 33．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·云南大理·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 36．（24-25高一上·云南昭通·期末）使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（   ） A． B．3 C． D．2 38．（21-22高一上·云南丽江·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·云南德宏·期末）若函数，则（    ） A． B． C．4 D．8 40．（23-24高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．当时， 42．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ） A．的一条对称轴是直线 B．的一条对称轴是直线 C．方程有3个解 D． 43．（24-25高一上·云南昆明·期末）若，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是 ． 45．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 46．（23-24高一上·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则 . 47．（24-25高一上·云南大理·期末）函数的值域是 . 48．（23-24高一上·云南昆明·期末）是上的单调递增函数，则实数的取值范围为 . 49．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 50．（24-25高一下·云南·期末）已知函数，，. (1)判断函数的奇偶性： (2)证明：； (3)若的最小值为，求实数的值. 51．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，． (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，，，若且，求的取值范围． 52．（24-25高一上·云南红河·期末）已知函数和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. (1)求的值； (2)求和的解析式； (3)若函数的最小值为，求实数的值. 53．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)解关于的不等式； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 54．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数．    (1)请你在平面直角坐标系中作出的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间． (2)求的解集． 55．（23-24高一下·云南·期末）已知函数，且. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值. 56．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数且． (1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，设，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 57．（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的单调递减区间为（   ）． A． B． C． D． 59．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 60．（24-25高一上·云南德宏·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 61．（24-25高一上·云南玉溪·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 62．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 63．（24-25高一上·云南昆明·期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 64．（24-25高一上·云南昭通·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 65．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 66．（24-25高一下·云南曲靖·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 67．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 68．（24-25高一上·云南曲靖·期末）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 69．（24-25高一上·云南玉溪·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．是偶函数 C．若，则 D．函数（且）的图象必过定点 70．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，， ，对于任意正整数n．且，记，求 ． 71．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数，且的图象恒过定点 . 72．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知奇函数的定义域为，且为偶函数，当时，，则 . 73．（23-24高一上·云南昭通·期末）下列命题中： ①若集合中只有一个元素，则； ②已知命题p：，，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是； ③已知函数的定义域为，则函数的定义域为； ④函数在上单调递增； ⑤方程的实根的个数是2. 所有正确命题的序号是 . 74．（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集为 . 75．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 76．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数． (1)证明：的图象关于直线对称； (2)求的最大值． 77．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知是一个奇函数． (1)求的解析式和定义域； (2)试判断的单调性并求出的值域． 78．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围． 79．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知奇函数. (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若，使不等式成立，求实数的范围. 80．（23-24高一上·云南红河·期末）已知定义在上的函数，且为偶函数. (1)求的值； (2)设函数，若对使成立，求实数的取值范围. 81．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)在（1）的条件下，若，使成立，求的取值范围. 82．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)证明：函数在上单调递增； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)比较与的大小. 地 城 考点05 指对函数的实际应用 83．（24-25高一上·云南保山·期末）某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 84．（24-25高一上·云南曲靖·期末）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，经过相关数学小组成员的模拟实验及其数据记录与分析得到剩余的细沙量与时间满足（为常数）的函数模型，且实验中记录到经过时，上方还剩下一半细沙，则要使沙漏上方细沙是开始时的，需经过的时间为（   ） A． B． C． D． 85．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 86．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（    ）（参考数据：） A．7 B．6 C．5 D．4 87．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 88．（24-25高一上·云南昆明·期末）在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称．一般地，设函数的值域为，根据这个函数中的关系，把用表示出，得到．若对于在中的任何一个值，通过在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作．习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为． 反函数的主要性质有： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； ③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域． (1)试判断是否有反函数（直接写出答案）； (2)试求出函数的反函数，并指明函数的定义域和值域然后判断函数的单调性； (3)若关于的方程为常数）恰有两个根，且分别满足和，试求的值． （注：若关于直线对称，则直线关于直线对称） 89．（21-22高一上·云南临沧·期末）某书店经过一段时间的营销推广后，数学课外书连续数月的总销量y（单位：千本）与月份x（，且）满足关系式．现已知该书店前2个月和前3个月的数学课外书销售总量分别为4千本和6千本． (1)求a，b的值； (2)求该书店第6个月的数学课外书的销售量． 90．（24-25高一上·云南昆明·期末）著名英国数学家牛顿提出：把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个物体与空气的接触状况而定的正常数，这一公式称为牛顿冷却公式.若一杯的茶水放在的空气中冷却，1分钟后茶水温度是. (1)求的值； (2)如果茶水冷却至60°C时口感最佳，那么一杯95°C的茶水放置在15°C的空气中，大约需要等待几分钟口感最佳？ (3)现有一杯温度为的茶水，放置在的空气中，过分钟以后，测得其温度为，再过分钟后，测得其温度为.试比较与的大小关系，并说明理由.参考数据：. 91．（24-25高一上·云南昆明·期末）为预防流感，某学校对教室用药熏消毒法.已知室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的关系近似满足如图所示曲线，根据图中提供的信息，从下列函数中选取恰当的两个函数，完成解答.①②③④ (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的解析式，并简要说明你选取的理由； (2)据测定，当每立方米空气中的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. （参考数据：，结果保留2位小数） 92．（24-25高一上·云南昆明·期末）普洱茶种植历史可追溯到1700多年前，其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.实践表明，该茶用 的水泡制，等到茶水温度降至时，有最佳饮用口感.研究发现：茶水温度随放置时间（分钟）的函数关系式为.由测试可知，经过1分钟后茶水的温度为. (1)求常数的值； (2)在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：） 93．（24-25高一上·云南大理·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系如下表： 2 3 6 9 12 15 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的，两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个. 94．（24-25高一上·云南昆明·期末）昆明某环保组织自2024年元旦开始监测滇池某水域中水葫芦生长的面积变化情况，并测得最初水葫芦的生长面积为（单位：），此后每月月底测量一次.通过近一年的观察发现：自2024年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.记2024年元旦最初测量时间的值为0，部分测量数据统计如表： 第月月底 2 3 水葫芦生长面积（） 24 64 (1)水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：①；②，请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，求该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 95．（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间／分钟 0 1 2 3 4 5 水温／ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：） 96．（23-24高一上·云南迪庆·期末）绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，在生产生活中更应该注重对环境的保护．为了减少工厂废气排放的影响，工厂可以采用一些技术来减少废气排放，也可以改变生产工艺来减少废气排放，某工厂产生的废气经过滤，后排放、过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位．h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么 (1)10h后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少需要花多少时间（精确到）？ (3)画出P关于t变化的函数图象． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 指数与对数的基本运算 考点02 比较大小问题 考点03 指数函数及其性质 考点04 对数函数及其性质 考点05 指对函数的实际应用 指数与对数的基本运算 地 城 考点01 1．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？(参考数据) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】通过列不等式，来求解，再利用对数运算求值即可. 【详解】设至少经过小时后才能驾驶，则满足：， 化简得：，根据是递增函数可得： ，即， 因为，所以 所以他至少要经过小时后才能驾驶. 故选：B. 2．（24-25高一上·云南昆明·月考）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强.若声强是声强的150倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（    ）（结果四舍五入保留整数） A．14 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】求出声强对应的声强级，再结合对数性质和公式运算即可. 【详解】设声强的声强级为，声强的声强级为， 则，由题知， 则， 故选：C. 3．（23-24高一上·云南保山·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由已知表示出，再由换底公式化简可求. 【详解】∵，∴， ∴ . 故选：C． 4．（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A 5．（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】两边平方得，进而求得，，代入即可求得的值. 【详解】因为，两边平方得，所以， 因为，所以，，所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习），则 ．. 【答案】 【分析】根据题意结合对数的定义运算求解. 【详解】由题意知，得， 所以，得. 故答案为：. 7．（23-24高一上·云南·期末）若函数，，，则 ；的值为 . 【答案】 2或20 【分析】根据函数解析式可得，结合已知可得，再根据解得或2，列对数方程求参即可. 【详解】因为，在定义域上任取x，则， 所以，所以； 由，即，解得或2， 所以或，可得或100， 所以n的值为2或20． 故答案为：；2或20 8．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数为上的单调函数，，都有，且满足，则 ． 【答案】 【分析】分析可知，存在唯一的常数，使得，且，可得出，分析函数的单调性，可得出的值，即可得出函数的解析式，再结合已知条件可求得的值. 【详解】因为函数为上的单调函数，，都有， 则存在唯一的常数，使得，即，且， 由， 因为函数、在时单调递增，故函数在时单调递增， 又因为，由可得，所以，， 因为，解得. 故答案为：. 9．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）如图，将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂” 次．（参考数据：取） 【答案】6 【分析】根据题意求出第次“打水漂”的速率，建立不等式，解出即可. 【详解】根据题意可知， 设石片第n次“打水漂”时的速率为，则， 由， 得，则， 即，则， 故至少需要“打水漂”的次数为6． 故答案为：6. 10．（25-26高一上·云南昆明·期中）求下列各式的值． (1)； (2)（其中，，注意：计算结果用分数指数幂表示．）； (3) 【答案】(1)10 (2) (3)2 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据指数幂运算法则化简即可； （3）结合指数运算法则、对数运算法则、对数换底公式计算即可. 【详解】（1） ； （2）原式 （3） 11．（25-26高一上·云南昆明·期中）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）由指数的运算性质即可求解； （2）由对数的运算性质即可求解. 【详解】（1） （2） 12．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，判断的单调性并用定义法证明； (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由，解得，再利用对数运算求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）由，求得，（解法一）由，将不等式转化为求解；（解法二）直接利用函数的解析式求解. 【详解】（1）由，得， 则，即，解得， 则. （2）在上单调递增. 证明如下： 设，且， 则， . 因为，所以，解得或. 因为，且，所以，则是上的增函数. 因为，所以，则， 所以，即， 即，则在上单调递增. （3）由，得，解得. （解法一）由（2）可知在上单调递增，且， 则不等式等价于不等式， 所以，即不等式的解集为. （解法二）由，得，即，解得， 即不等式的解集为. 13．（23-24高一上·云南昆明·期末）（1）已知，求的值； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，结合完全平方公式，代入即可求解； （2）根据指数幂与对数的运算公式，进行运算，即可求解. 【详解】（1）由，得， 由，得（负值舍去）， 故． （2） ． 14．（24-25高一上·云南玉溪·月考）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据函数的奇偶性列方程组，即可求出结果； （2）在上恒成立，即在上恒成立，再利用基本不等式求的最小值，即可求出结果. 【详解】（1）因为①，则， 又为上的奇函数，为上的偶函数， 则有②， 由①+②得到，所以. （2）因为不等式在上恒成立， 由（1）知，即在上恒成立， 即， 因为，所以，故， 所以， 又，所以， 故. 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 15．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数的公式进行化简求值即可； （2）利用换底公式求解即可. 【详解】（1） . （2）, 16．（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1)12 (2)2 【分析】（1）根据对数的运算法则和换底公式计算； （2）根式化为分数指数幂，然后由幂的运算法则计算． 【详解】（1）原式； （2）原式． 地 城 考点02 指数与对数的基本运算 17．（24-25高一上·云南昆明·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性比较大小关系，通过指数幂运算比较大小关系，由此结果可知. 【详解】因为，，， 因为幂函数在上单调递增，所以， 又因为，所以， 由上可知， 故选：B. 18．（24-25高一上·云南昆明·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的运算及其性质判断大小关系. 【详解】由，即. 故选：D 19．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设，，则则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的值，再根据的取值可得到结果. 【详解】根据可得，， 令，因为和在上都是增函数， 所以在上单调递增， 因为，，， 所以， ，所以. 故选：A. 20．（24-25高一上·云南曲靖·期末）下列大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用幂函数，指数函数及对数函数单调性判断各个选项即可. 【详解】因为是增函数，，所以，A错误； 因为是增函数，，所以，B错误； 因为，C选项正确； 因为，D选项错误； 故选：C 21．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“0”，“1”分析求解即可. 【详解】因为，即； 又因为，可得，即； 且，即； 综上所述：. 故选：A. 22．（24-25高一上·云南昭通·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性及中间量1进行比较即可； 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又函数是减函数， 所以，所以， 故选：C. 23．（24-25高一上·云南昭通·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的相关性质判断大小关系即可. 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又，所以. 故选：C 24．（24-25高一上·云南楚雄·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性可比较，的大小，且，，再与比较大小，即可求解. 【详解】因为是减函数，且， 所以，即； 又，所以. 故选：C. 25．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数函数的性质判断大小关系即可. 【详解】因为 ，所以. 故选：D 26．（24-25高一上·云南昆明·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小. 【详解】， 所以. 故选：D 27．（24-25高一上·云南红河·期末）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数和指数函数的性质比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，即； 因为函数在上单调递增，所以，即； 因为函数在上单调递减，所以，即；所以. 故选：D. 28．（23-24高一上·云南红河·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可判断各数的范围，即可得答案. 【详解】由已知得，， ，即， 所以， 故选：D. 29．（24-25高一上·云南大理·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 30．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以， 故选：A 指数函数及其性质 地 城 考点03 31．（24-25高一上·云南昆明·期末）根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的概念逐一判断即可 【详解】对于A：当时，，且， 当时，，但，故A错误； 对于B：当时，，， 当时，，， 当时，，，故B正确； 对于C：当时，，， 当时，，， 当时，，但，故C错误； 对于D：当时，，，故D错误； 故选：B 32．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】D 【分析】先判断函数的周期性，利用周期性和偶函数的性质计算即得. 【详解】由可得， 故为周期函数，且4是函数的一个周期， . 故选：D 33．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 34．（24-25高一上·云南大理·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性解不等式以及充分必要条件的概念即可求解. 【详解】由，得， 由，得， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 35．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】令，求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为， 令，解得，则. 故选：B 36．（24-25高一上·云南昭通·期末）使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求命题“，”为真命题的充要条件，根据充分不必要条件定义，结合选项即可得解． 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，其中， 又函数在上单调递增， 所以函数，的最大值为， 所以，即， 所以命题“，”为真命题的充要条件为， 根据选项，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：C. 37．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据函数解析式，对指数函数求值得答案. 【详解】由题设解析式，． 故选：C 38．（21-22高一上·云南丽江·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据性质解不等式. 【详解】定义域为R，，所以为奇函数， 在R上单调递增， 由，得， 所以，，，解得． 故选：B 39．（23-24高一上·云南德宏·期末）若函数，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据分段函数求函数值可得结果. 【详解】因为， 故选：C. 40．（23-24高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以， 因为在R上单调递减，所以， 所以，即. 故选：B. 41．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．当时， 【答案】ABD 【分析】A.由，得到，再根据是奇函数求解判断；B.由，得到的图象关于直线对称，再根据是定义在上的奇函数判断；C.由判断；D.由和 是定义在上的奇函数，得到求解判断. 【详解】因为，所以.因为是奇函数，所以，所以，则A正确. 因为，所以的图象关于直线对称.因为是定义在上的奇函数，所以的图象关于直线对称，则B正确. 因为，所以，所以，所以的图象不关于点中心对称，则C错误. 因为，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以.因为，所以.当时，，则.当时，，所以，所以，则D正确. 故选：ABD 42．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ） A．的一条对称轴是直线 B．的一条对称轴是直线 C．方程有3个解 D． 【答案】AC 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，A选项正确. 由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，B选项错误. 则，所以， 即有， 所以是周期为的周期函数. 当时，， 画出、的大致图象如下图所示， 由图象以及的周期性可知，两个函数图象有个交点， 则有3个解，C选项正确. ， ，所以， 所以，所以D选项错误. 故选：AC 【点睛】函数的奇偶性、对称性、周期性等等，可以根据给定的函数表达式来确定，如本题中，是偶函数，图象关于轴对称，而是由向左平移个单位得到，所以的图象关于对称.如果一个函数既关于直线对称，又关于点对称，可以考虑函数具有周期性. 43．（24-25高一上·云南昆明·期末）若，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可判断AC；举例说明即可判断BD. 【详解】A：因为，且在R上是增函数，所以，故A正确； B：当时，，故B错误； C：因为，且在R上是增函数，所以，故C正确； D：当时，，故D错误. 故选：AC 44．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】易得是奇函数，且在R上单调递增，将原不等式求解. 【详解】因为， 所以是奇函数，且在R上单调递增， 所以不等式化为， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 45．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】根据题意分析的对称中心可得的值，即可得，又由，结合基本不等式的性质分析可得结果. 【详解】根据题意, 则有，所以， 故的对称中心为，可得； 又正数满足，即可得； 所以 ； 当且仅当时，即时，等号成立 此时的最小值是10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数解析式求得对称中心，得出，再由基本不等式的推广计算可得结果. 46．（23-24高一上·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则 . 【答案】 【分析】将点坐标代入函数求参数，即可得解析式. 【详解】因为函数且的图象经过点， 所以，解得，所以. 故答案为： 47．（24-25高一上·云南大理·期末）函数的值域是 . 【答案】 【分析】应用换元法结合指数函数值域及二次函数求值域即可. 【详解】令，则， 当且仅当“”取等号，即原函数的值域为. 故答案为：. 48．（23-24高一上·云南昆明·期末）是上的单调递增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据增函数的定义求参数的取值范围. 【详解】因为在递增， 则，解得：， 故答案为： 49．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. 【详解】（1）因为函数的图象经过点，所以，解得. （2），定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. （3）由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 50．（24-25高一下·云南·期末）已知函数，，. (1)判断函数的奇偶性： (2)证明：； (3)若的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念进行判断. （2）分别写出与，进行化简整理即可. （3）先明确的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，分类讨论求函数的最小值，利用最小值为，可得实数的值. 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 由题意，得， 因为， 所以为奇函数. （2）由，则， ， 所以得证. （3）由，得， 令，所以，， ①当时，在上单调递增，，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得（舍去）. 综上所述，实数的值为. 51．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，． (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，，，若且，求的取值范围． 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)的取值范围为 【分析】（1）分析的单调性并将问题转化为“存在，使得不等式有解”，根据二次函数的最值可求解出结果； （2）先分析出的范围，再通过条件用表示出，由此可求的范围. 【详解】（1）因为， 又在上单调递增，所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 因为存在，使得不等式有解， 即存在，使得不等式有解， 即存在，使得不等式有解， 所以且， 因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，所以， 所以，即实数的取值范围为； （2）因为， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两个方面，一方面是存在性问题的转化，通过参变分离将问题转化为参数与新函数最值之间的关系；另一方面是在求的最大值时，合理利用条件结合基本不等式将的范围求出，通过与的关系求解. 52．（24-25高一上·云南红河·期末）已知函数和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. (1)求的值； (2)求和的解析式； (3)若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合奇函数定义分析求解即可； （2）根据（1）可得，，列方程求解即可； （3）换元令，整理可得，结合二次函数最值分析求解. 【详解】（1）因为函数和分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则. 又因为，则，即. （2）因为， 可得，即， 联立方程，解得. （3）因为 令，当且仅当，即时，等号成立， 令， 若函数的最小值为，即的最小值为， 可得或，解得. 53．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)解关于的不等式； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增 (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数性质以及指数函数单调性即可判断得出结论； （2）利用指数函数单调性解不等式即可得出结果； （3）分离参数利用基本不等式计算得出最小值，即可求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且为奇函数， 所以，解得． 此时，经检验满足题意； 易知， 由指数函数单调性可判断得在上单调递增. （2）因为是奇函数， 所以，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 解得. 所以不等式的解集 （3）由题设在上恒成立， 因为当时，，所以， 即在上恒成立， 令， 设， 当且仅当时，等号成立； 即，所以实数的取值范围是. 54．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数．    (1)请你在平面直角坐标系中作出的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间． (2)求的解集． 【答案】(1)图象见解析，增区间为 (2) 【分析】（1）分三段分别作出函数图象，即可得到的简图，根据图象可写出该函数的单调递增区间； （2）分两种情况讨论，分别解不等式，两种情况求并集即可求的解集． 【详解】（1）函数， 在平面直角坐标系中作出的简图如下：    根据图象可得该函数的单调递增区间为； （2）因为， 则，可得， 或，可得， 综上可得的解集为． 55．（23-24高一下·云南·期末）已知函数，且. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)奇函数； (2)单调递增，； (3). 【分析】（1）利用奇偶性定义判断即可. （2）由，得，结合指数函数单调性判断的单调性，再脱去法则“f”，分离参数借助基本不等式求出最小值即得. （3）求出值，再换元并构造函数，求出新函数的定义域，再结合二次函数最值分类讨论求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，， 所以函数是奇函数. （2）由，，得，则，显然函数，在R上单调递增， 因此函数是R上的增函数， 不等式， 则，，， 于是，当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. （3）由，得，而，解得，则， ， 令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，， ，当时，函数在上单调递增， 当时，，解得与矛盾； 当时，时，，则， 所以. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键. 56．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数且． (1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，设，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判断函数的奇偶性与单调性，依题意可得，参变分离可得在上恒成立，再由基本不等式求出即可得解； （2）首先求出解析式，依题意在上的值域是在上值域的子集，设在上的值域为集合，结合（1）求出的值域，再分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出的最值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由题知：，，所以为奇函数． 设，， 因为，所以，所以，因为，所以． 所以在上单调递增． 所以， 因为在上单调递增，所以，因为，所以在上恒成立， 因为，当且仅当时，即时，． 所以，解得，所以． （2）因为，即，解得或（舍去）， 所以， 因为对任意的，总存在，使得， 所以在上的值域是在上值域的子集． 设在上的值域为集合， 由（1）知在上单调递增，，值域为， 所以． 函数的对称轴为， 当时，，，即 所以，解得． 当时，，，，因为， 所以，解得． 当时，，，， 所以，解得． 综上所述：． 地 城 考点04 对数函数及其性质 57．（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，， 则，而，则， 所以的大小关系是. 故选：C 58．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的单调递减区间为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求得，再由对数型复合函数的单调性即可判断； 【详解】由， 可得：或， 易知当时，单调递减； 再由对数型复合函数的单调性可知：在上单调递减； 故选：B 59．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知与的图象有4个交点，结合函数的图象，可得，，，代入运算求解即可. 【详解】作出函数的图象， 关于的方程有四个不同的解， 可知与的图象有4个交点， 结合图象可得，且，即， 又因为，即， 可得，所以，即， 则， 因为在内单调递增，且，， 可知，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 60．（24-25高一上·云南德宏·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建，根据对数函数性质可知函数在区间上单调递增，且在内恒成立，列式求解即可. 【详解】构建，其图象开口向上，对称轴为， 因为函数在区间上单调递增，且在定义域内单调递增， 则函数在区间上单调递增，且在内恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 61．（24-25高一上·云南玉溪·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数、根式、分式的性质求函数定义域. 【详解】由题知，可得，故函数的定义域为. 故选：A 62．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论结合基本初等函数的单调性及特殊值计算求参. 【详解】因为函数在上单调递减， 令，因为单调 递减，所以在上单调递增， 所以当时，在单调递增，， 所以时满足在上单调递增，即得； 当时，在单调递增，， 所以时满足在上单调递增，即得； 当时，在单调递增，， 所以时不满足在上单调递增； 综上可得. 故选：C. 63．（24-25高一上·云南昆明·期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题中条件，求出，得到，再求出其定义，利用复合函数单调性的判断方法，即可得出结果. 【详解】∵函数与的图象关于直线对称，则， ∴，由，解得，令，， 在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减， ∴的单调减区间为. 故选：D. 64．（24-25高一上·云南昭通·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性，再判断当时函数值的正负，由此确定正确选项. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数，图象关于对称， 当时，，，故， 选项ABC不能同时满足以上要求，选项D能满足以上要求， 故选：D. 65．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的性质和分界点的函数值大小关系即可得到不等式组即可求解. 【详解】因为函数是增函数， 函数的图象开口向下，对称轴为， 所以要使函数在上单调递增， 则，解得， 因此的取值范围是. 故选：B. 66．（24-25高一下·云南曲靖·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于AC：根据偶函数的定义结合函数单调性分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于A，设函数，则其定义域为， 且，可知为偶函数， 根据二次函数的性质可知，在上单调递增，故A正确； 对于B，设函数，则，， 可得，可知不是增函数，故B错误； 对于C，设函数，其定义域为， 且 ，可知为偶函数， 当时，在上单调递增，故C正确； 对于D，令函数，则， 因为，可知不为偶函数，故D错误. 故选：AC. 67．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于选项A，将代入不等式中化简可验证其正确性；对于选项B，将代入不等式中利用指数函数的单调性验证即可；对于选项C、D，化简不等式，利用基本不等式的性质验证即可. 【详解】对于A： ，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B： ，所以，故B错误； 对于C： ，当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D： 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：AD． 68．（24-25高一上·云南曲靖·期末）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先根据奇偶函数的定义可得为非奇非偶函数，为奇函数，和为偶函数，在根据指数型和对数型函数的单调性判断可得. 【详解】选项A：函数的定义域为，故不是偶函数，故错误； 选项B：函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，故在上单调递减，故B正确； 选项C：函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，单调递减，在上单调递增， 由复合函数可得在区间上单调递减，故C正确； 选项D：函数的定义域为， ， 故函数为奇函数，故D错误， 故选：BC 69．（24-25高一上·云南玉溪·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．是偶函数 C．若，则 D．函数（且）的图象必过定点 【答案】ACD 【分析】根据奇偶性的定义判断A、B；由指数函数的单调性判断C；根据对数函数的性质求函数图象所过的定点坐标判断D. 【详解】的定义域为，且 ， 所以函数为偶函数，故A正确； 函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，故B不正确； 当时，为单调递增函数，由，得，故C正确； 因为（且）， 所以函数（且）的图象必过定点，故D正确. 故选：ACD 70．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，， ，对于任意正整数n．且，记，求 ． 【答案】 2 4050 【分析】先由，得到，从而得到，进而得到，然后得到进而求解. 【详解】因为，且，， 所以，则， 所以，， 所以； 所以 ， 所以. 故答案为：2；4050. 71．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数，且的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求定点. 【详解】令，则恒成立， 故函数，且的图象恒过定点. 故答案为： 72．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知奇函数的定义域为，且为偶函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】利用与的奇偶性推得，再分析的范围，从而利用已知条件即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 因为为偶函数，所以， 则，故， 所以， 因为，则， 又当时，， 所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：设函数，，，. （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a. 73．（23-24高一上·云南昭通·期末）下列命题中： ①若集合中只有一个元素，则； ②已知命题p：，，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是； ③已知函数的定义域为，则函数的定义域为； ④函数在上单调递增； ⑤方程的实根的个数是2. 所有正确命题的序号是 . 【答案】②③⑤ 【分析】利用判别式可判断①；利用特称命题的否定为全称命题可判断②；求出的定义域可判断③；分离常量后根据反比例函数的单调性可判断④；在同一坐标系中作出和的图象可判断⑤. 【详解】对于①：时，；时，，则，故或1， 故错误； 对于②：p：，为假命题，则，为真命题， 故即，故正确； 对于③：，则，即的定义域为，故正确； 对于④：，其在上单调递减，故错误； 对于⑤：在同一坐标系中作出和的图象，观察两图象有2个交点， 则方程的实根的个数是2，故正确. 故答案为：②③⑤. 74．（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性可求解. 【详解】因为，则， ，即，故解集为. 故答案为：. 75．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【答案】(1)2 (2)（i）；偶函数（ii） 【分析】（1）将点的坐标代入函数式即可求得； （2）（i）求出的表达式，根据真数大于零可求得定义域，根据与之间的关系得到奇偶性；（ii）复合函数根据“同增异减”原则可得到单调递减区间. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以； （2）（i）根据（1）可得， 所以，， 则， ，解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （ii）因，的定义域为， 令，则， 函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为. 76．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数． (1)证明：的图象关于直线对称； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据函数的定义域及解析式得，即可证结论； （2）根据对数复合函数的区间单调性求最大值即可. 【详解】（1）由的定义域为，关于对称， 任取，则， 所以， 所以的图象关于直线对称. （2）， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，有最大值，则. 77．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知是一个奇函数． (1)求的解析式和定义域； (2)试判断的单调性并求出的值域． 【答案】(1)，定义域为 (2)单调递减，值域为 【分析】（1）由奇函数的定义可求得的值，即可得出函数的解析式，利用真数大于零可求得函数的定义域； （2）利用复合函数法可判断函数的单调性，求出真数的取值范围，结合对数函数的单调性可得出函数的值域. 【详解】（1）因为函数为奇函数，则， 即，可得， 即，即，所以，，解得， 当时，因为，此时，函数无意义， 当时，，合乎题意， 由可得，解得，即函数的定义域为. （2）， 因为内层函数在上为减函数，外层函数为增函数， 故函数在上减函数， 当时，，则， 所以函数的值域为. 78．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得答案； （2）即函数值域包含所有的正数，据此可得答案. 【详解】（1）因的定义域为，则， 则或； （2）因的值域为，则的值域包含所有正数. 则. 79．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知奇函数. (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若，使不等式成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法与指数的运算法则即可得证； （3）利用的奇偶性与单调性，结合换元法，将问题转化为的存在问题，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为的定义域为，且为奇函数， 则，即，解得， 所以，此时， 即是奇函数，即满足题意， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 因为， 任取，且， 则， 因为，所以，即， 又，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）因为，所以， 则由，得， 因为是奇函数，且在上单调递增， 所以，则， 又， 令，由，得， 则， 所以问题转化为存在，使得成立， 对于，其开口向上，对称轴为， 又当时，，当时，， 所以在上的最大值为， 则，解得，即实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式（，为参数）能成立问题中参数范围的步骤： 1.将参数与变量分离，不等式化为或的形式； 2.求在时的最大值或者最小值； 3.解不等式或，得到的取值范围. 80．（23-24高一上·云南红河·期末）已知定义在上的函数，且为偶函数. (1)求的值； (2)设函数，若对使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义可求； （2）先求的最小值，结合换元法和二次函数区间最值分情况讨论可求解答案. 【详解】（1）因为为偶函数，且定义域为，所以， 即， 整理得，即得， 所以； （2）因为，所以， 当且仅当，即时，取得最小值为3. 由题意，只需. 而， 设，因为，所以， 则， 因为图象的对称轴为，所以 ①当，即时，最小值为， 所以时，满足题意. ②当，即时，最小值为， 解得，显然无解. ③当，即时， 最小值为， 解得，又，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 81．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)在（1）的条件下，若，使成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得到方程，求出，再把 代入函数求值即可； （2）参变分离得到，构造，换元后得到，根据单调性求出其最值，得到结论. 【详解】（1） 当函数为偶函数，所以， 即，即， 即，，此时恒成立，的定义域为，满足题意， . （2）由题意得，成立， 即成立， ，，由，得， 由，可得成立， 令， 令，则，则， ，由于函数在上单调递减，故， 82．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)证明：函数在上单调递增； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)比较与的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）利用单调性定义证明； （2）因为，利用函数单调性求解不等式； （3）根据函数的单调性可得，从而得解. 【详解】（1）设，则， 所以，因为，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2）显然，因为， 函数在上单调递增，所以，即恒成立， 所以. 所以的取值范围是. （3）因为，所以，故在上单调递增， 所以，又， 则，即. 所以. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，同构是解题关键. 地 城 考点05 指对函数的实际应用 83．（24-25高一上·云南保山·期末）某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】由题意设某市原有GDP为，经过年后该市GDP会翻一番为，由题意，求解即可. 【详解】设某市原有GDP为，经过年后该市GDP会翻一番为， 由年平均增长率为，可得， 所以，两边取自然对数得， 所以，代入参考值得 故选：A 84．（24-25高一上·云南曲靖·期末）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，经过相关数学小组成员的模拟实验及其数据记录与分析得到剩余的细沙量与时间满足（为常数）的函数模型，且实验中记录到经过时，上方还剩下一半细沙，则要使沙漏上方细沙是开始时的，需经过的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，解得，进而得出结果． 【详解】根据题意，则，故， 当要使沙漏上方细沙是开始时的， 则，解得. 故选：B. 85．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，即，再分析求解即可. 【详解】由题意知，所以， 即，计算得，即， 解得，所以燃料质量约为. 故选：C． 86．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（    ）（参考数据：） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由题意可知经过小时后，体内的酒精含量为，令求出t的取值范围，即可求出结果． 【详解】解：经过t小时后，体内的酒精含量为：， 只需， 可得 ， 所以他至少要经过4个小时后才能驾车. 故选：D． 87．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意表示出经过小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可. 【详解】经过小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：. 只需，即，. 因为函数在R上为减函数， 所以， 故他至少要经过5个小时后才能驾车. 故选：C. 88．（24-25高一上·云南昆明·期末）在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称．一般地，设函数的值域为，根据这个函数中的关系，把用表示出，得到．若对于在中的任何一个值，通过在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作．习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为． 反函数的主要性质有： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； ③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域． (1)试判断是否有反函数（直接写出答案）； (2)试求出函数的反函数，并指明函数的定义域和值域然后判断函数的单调性； (3)若关于的方程为常数）恰有两个根，且分别满足和，试求的值． （注：若关于直线对称，则直线关于直线对称） 【答案】(1)无反函数，有反函数 (2)的定义域为，值域为，在和上单调递减 (3)19 【分析】（1）分别求出的表达式，根据反函数的定义，即可判断； （2）求出的表达式，根据表达式可直接求得的定义域，根据反函数的值域为原函数的定义域，可求得的值域，再根据的表达式判断其单调性； （3）由一元二次方程根与系数的关系，求得和的值，分别化简和，可得到，则与分别是与和的两个交点的横坐标，根据反函数的性质，求得的值，从而可得到的值. 【详解】（1）设，则，此时一个有两个与之对应，不唯一，所以无反函数； 设，则，此时一个有唯一一个与之对应，所以有反函数. （2）设，所以， 即，所以的定义域为， 因为的定义域为，所以的值域为， 因为，所以在和上单调递减. （3）方程化为，所以, 因为，所以， 即， 所以与分别是与和的两个交点的横坐标， 因为与互为反函数，关于直线对称， 所以和的中点为， 所以，即，所以，所以， 所以. 89．（21-22高一上·云南临沧·期末）某书店经过一段时间的营销推广后，数学课外书连续数月的总销量y（单位：千本）与月份x（，且）满足关系式．现已知该书店前2个月和前3个月的数学课外书销售总量分别为4千本和6千本． (1)求a，b的值； (2)求该书店第6个月的数学课外书的销售量． 【答案】(1)， (2)9千本 【分析】（1）把和代入，求，的值即可； （2）第6个月的销量等于前6个月的总销量减去前5个月的总销量，可求解. 【详解】（1）依题意得：，解得：，故，； （2）由（1）知：， 当时，， 当时，， ∴第6个月数学课外书的销售量为：（千本）. 90．（24-25高一上·云南昆明·期末）著名英国数学家牛顿提出：把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个物体与空气的接触状况而定的正常数，这一公式称为牛顿冷却公式.若一杯的茶水放在的空气中冷却，1分钟后茶水温度是. (1)求的值； (2)如果茶水冷却至60°C时口感最佳，那么一杯95°C的茶水放置在15°C的空气中，大约需要等待几分钟口感最佳？ (3)现有一杯温度为的茶水，放置在的空气中，过分钟以后，测得其温度为，再过分钟后，测得其温度为.试比较与的大小关系，并说明理由.参考数据：. 【答案】(1) (2)大约需要等待5分钟口感最佳. (3) 【分析】(1)根据题目中所给关系式，代入即可求得 (2)根据第一小问求得，把对应温度代入可求得等待时间； (3)把和分别用和表示后，作差比较大小. 【详解】（1）由一杯的茶水放在的空气中冷却，1分钟后茶水温度是. 则，则，所以; 所以. （2）设大约需要等待分钟口感最佳，则，则， 所以， 故大约需要等待5分钟口感最佳. （3）根据题意,， ， 所以 因为，所以，又，所以， 所以. 91．（24-25高一上·云南昆明·期末）为预防流感，某学校对教室用药熏消毒法.已知室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的关系近似满足如图所示曲线，根据图中提供的信息，从下列函数中选取恰当的两个函数，完成解答.①②③④ (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的解析式，并简要说明你选取的理由； (2)据测定，当每立方米空气中的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. （参考数据：，结果保留2位小数） 【答案】(1)，答案见解析 (2)0.68小时 【分析】（1）根据函数图象的单调性和形状，确定两段解析式为①和③，再利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）依题意，只有等药物释放完后，室内药量减少到0.2毫克以下时，学生方可进入教室，得不等式，解此不等式并估算即可. 【详解】（1）因为随着时间的增加，的值先增后减，由图可知第一段线段为增函数，第二段曲线为减函数，故选①和③. 又线段经过点，则，解得，故图中第一段线段的方程为， 又因为点在曲线上，所以，解得        故从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 （2）因为药物开始释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.2毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完后，室内药量减少到0.2毫克以下时，学生方可进入教室， 故，即，两边取以10为底的对数得， 即得，解得. 所以从药物释放开始，至少需要经过0.68小时，学生才能回到教室. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数模型选择和分段函数的性质的应用，属于较难题. 一般应结合图象，将其与常见函数的图象比较，确定其解析式，同时注意自变量范围，在应用分段函数求解实际问题时，必须弄清题意中的研究对象处在那一段，针对性才能解决问题. 92．（24-25高一上·云南昆明·期末）普洱茶种植历史可追溯到1700多年前，其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.实践表明，该茶用 的水泡制，等到茶水温度降至时，有最佳饮用口感.研究发现：茶水温度随放置时间（分钟）的函数关系式为.由测试可知，经过1分钟后茶水的温度为. (1)求常数的值； (2)在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：） 【答案】(1) (2)7.5分钟 【分析】（1）代入即可求解， （2）根据指对互化即可求解. 【详解】（1）将代入函数，得 解得， 所以常数. （2）由（1）知，根据题意可知：， 所以，化简得：， 将指数式化为对数式， 将题目中的参考数据代入上述对数式，化简得， 所以，在室温下，刚泡的该茶大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感. 93．（24-25高一上·云南大理·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系如下表： 2 3 6 9 12 15 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的，两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个. 【答案】(1)模型①，理由见解析 (2)，81个小时 【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度增长缓慢，故只有函数模型①符合； （2）将数据带入即可计算出，则当时即可求出答案. 【详解】（1）最符合实际的函数模型为①，理由如下： 根据图象知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足； 又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度增长缓慢，所以③不符合， 只有①满足，故最符合. （2）将，代入， 得，即，解得. 则. 当时，，即，解得. 所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个. 94．（24-25高一上·云南昆明·期末）昆明某环保组织自2024年元旦开始监测滇池某水域中水葫芦生长的面积变化情况，并测得最初水葫芦的生长面积为（单位：），此后每月月底测量一次.通过近一年的观察发现：自2024年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.记2024年元旦最初测量时间的值为0，部分测量数据统计如表： 第月月底 2 3 水葫芦生长面积（） 24 64 (1)水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：①；②，请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，求该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 【答案】(1)选择模型，理由见解析， (2)7月份 【分析】（1）由随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢即可选择； （2）根据题意，由运算求解. 【详解】（1）选择模型， 因两个函数模型在上都是增函数， 随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢， 由题意和表格数据，可以发现随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快， 故第一个函数模型满足要求. 由题意知，，解得，所以. （2）由，解得， 又 故， 即该水域中水葫芦生长的面积在7月份起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上. 95．（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间／分钟 0 1 2 3 4 5 水温／ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； 令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 96．（23-24高一上·云南迪庆·期末）绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，在生产生活中更应该注重对环境的保护．为了减少工厂废气排放的影响，工厂可以采用一些技术来减少废气排放，也可以改变生产工艺来减少废气排放，某工厂产生的废气经过滤，后排放、过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位．h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么 (1)10h后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少需要花多少时间（精确到）？ (3)画出P关于t变化的函数图象． 【答案】(1) (2)33h (3)图象见解析 【分析】（1）根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案； （2）令，根据指数运算性质求出的值； （3）根据题意结合指数函数单调性作出大致图象． 【详解】（1）当时，， 当时，，即，可得， 当时，， 即10h后，还剩的污染物. （2）设污染物减少需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得， 可得， 即污染物减少大约需要花33h. （3）由（1）可得：， 图象大致如图所示. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $