专题06 抛物线与方程（5大题型）（期末真题汇编 云南专用）高二数学上学期

专题06 抛物线与方程（5大题型） 5大高频考点概览 考点01 抛物线的定义 考点02 抛物线的方程 考点03 直线与抛物线的位置关系 考点04 抛物线的弦长、焦点弦相关问题 考点05 抛物线中的定点、定值、定直线问题 抛物线的定义 地 城 考点01 1．（22-23高二上·云南楚雄·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．11 D．26 2．（19-20高二上·云南曲靖·期末）曲线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高二上·全国·课后作业）方程所表示的曲线为（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）抛物线（）的焦点为F，点M在抛物线上，且，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则（    ） A． B．4 C．6 D．8 5．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（21-22高二·全国·课后作业）若一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）抛物线的准线与轴交于点，过的焦点作斜率为的直线交于两点，则 ． 8．（23-24高二上·云南大理·期末）已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，若8，则的中点到轴距离的最小值为 ． 9．（20-21高二下·云南昆明·期末）设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，△的面积为，则抛物线的方程为 ． 10．（20-21高二下·云南昆明·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的两点A，B均在E上，若，则直线AB的倾斜角为 ． 11．（2017·全国II卷·高考真题）已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ． 地 城 考点02 抛物线的方程 12．（23-24高二上·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·云南昆明·期末）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）的右焦点F与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则（    ） A． B． C．1 D．2 16．（20-21高二下·云南昭通·期末）设抛物线上一点到焦点的距离为2，则该抛物线C的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 18．（22-23高二上·云南丽江·期末）已知椭圆的中心在原点，离心率为且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 19．（21-22高二上·云南昆明·期末）是抛物线上第一象限内的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角，则M的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（21-22高二·全国·课后作业）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C．± D． 21．（20-21高二上·云南大理·期末）过点的直线与抛物线相交于两点，若，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·云南曲靖·期末）抛物线，焦点为F，准线为l，过焦点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，过A，B分别作准线l的垂线，垂足为P，Q，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·云南昆明·期末）设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线l的方程是 B．的最小值为4 C．所在直线被抛物线所截得的弦长为 D．以线段为直径的圆与y轴相切 24．（24-25高二上·云南保山·期末）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若的最小值为9，则 ． 25．（24-25高二上·云南大理·期末）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，，直线与的另一个交点为，则 . 26．（24-25高二上·云南文山·期末）已知抛物线．则拋物线的准线方程为 ． 27．（22-23高二上·云南丽江·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点坐标是 . 直线与抛物线的位置关系 地 城 考点03 28．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法错误的是（    ） A．若为线段中点，则 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2 29．（21-22高二上·云南临沧·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 30．（21-22高二上·云南楚雄·期末）已知经过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，直线交抛物线的准线于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．直线平行于轴 31．（19-20高二上·云南玉溪·期末）已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2 32．（23-24高二上·云南昆明·期末）过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．存在直线，使得（为坐标原点） C．若经过点和抛物线的顶点的直线交准线于点，则 D．若，则 33．（22-23高二上·云南昆明·期末）直线经过抛物线：的焦点为，且与抛物线相交于，两点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．以线段为直径的圆与直线相切 C．当直线的倾斜角为， D．过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则 34．（22-23高二上·云南昆明·期末）设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，若，则下列结论中正确的是（    ） A．直线的斜率为或 B．的中点到的距离为4 C． D．（O为坐标原点） 35．（21-22高二上·云南昭通·阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切 C．设，则 D．若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条 36．（24-25高二上·云南保山·期末）已知抛物线的焦点为，横坐标为2的点在抛物线上，且，过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线分别交抛物线于两点． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求与面积和的最小值． 37．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为，直线：（）与交于，两点，为坐标原点，直线与直线：交于点. (1)若，求的值； (2)证明：轴. 38．（24-25高二上·云南红河·期末）已知直线与关于抛物线的准线对称，的焦点为. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于两点，且，求直线的方程： (3)为上两点，且，求面积的最小值. 39．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知抛物线，其焦点到准线的距离为，斜率为的直线与的交点为两点，与轴的交点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求. 40．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)点在抛物线上，直线与抛物线交于两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点（为坐标原点），且，证明：直线过定点． 地 城 考点04 抛物线的弦长、焦点弦相关问题 41．（24-25高二上·云南昭通·期末）抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·云南文山·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条 B．以为直径的圆与相切 C．设，则 D．若，则的面积为 43．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），，则（    ） A． B． C．最小值为4 D．当直线的倾斜角为时，与面积之比为3 45．（21-22高二下·云南昆明·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点（点位于第一象限），与的准线交于点，为线段的中点，准线与轴的交点为，则（    ） A．直的斜率为 B． C． D．直线与的倾斜角互补 46．（22-23高二下·云南昆明·期末）已知抛物线的焦点为为上一点，则下列命题或结论正确的是（    ） A．若与轴垂直，则 B．若点的横坐标为2，则 C．以为直径的圆与轴相切 D．的最小值为2 47．（21-22高二上·云南红河·期末）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且． (1)求的方程； (2)求以线段为直径的圆的方程，并判断其与轴的位置关系． 48．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点A． (1)过点的直线交于两点，且，求直线的方程； (2)作直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，求点的轨迹方程，并说明方程表示什么形状的曲线. 49．（18-19高二下·云南红河·期末）设抛物线的焦点为，过点作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，点为曲线:上的动点，求面积的最小值. 50．（23-24高二上·云南玉溪·期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后反射光线或其反向延长线必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点．一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，经过点． (1)求证：； (2)若PB平分，求点B到直线QP的距离． 地 城 考点05 抛物线中的定点、定值、定直线问题 51．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点． (1)求点到的焦点之间的距离； (2)证明：直线过定点． 52．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 53．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 54．（24-25高二上·云南昆明·期中）如图，已知圆心为，半径为的同心圆与直线在第一象限有个交点，，其中点关于轴的对称点为.    (1)证明：在定曲线上，并求出曲线的方程； (2)设，若直线的斜率为， ①求； ②证明：为定值. 55．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 56．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点满足.记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在y轴上（异于原点），过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，并且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 57．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的焦点为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 58．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 59．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，已知抛物线，直线交抛物线C于A，B两点，的中点为． (1)求抛物线C的标准方程； (2)记抛物线C上一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 60．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为8，点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)取抛物线上一点，过点作两条斜率分别为的直线与抛物线交于两点，且，则直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由. 61．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）若抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为． (1)求C的标准方程； (2)若过点的直线l与抛物线C相交于A，B点，证明为定值． 62．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 63．（21-22高二下·云南红河·期末）设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：． 64．（21-22高二下·云南昆明·期中）已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 抛物线与方程（5大题型） 5大高频考点概览 考点01 抛物线的定义 考点02 抛物线的方程 考点03 直线与抛物线的位置关系 考点04 抛物线的弦长、焦点弦相关问题 考点05 抛物线中的定点、定值、定直线问题 抛物线的定义 地 城 考点01 1．（22-23高二上·云南楚雄·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．11 D．26 【答案】C 【分析】根据，再结合图形求解即可. 【详解】因为抛物线：，所以抛物线的准线为， 记抛物线的准线为，作于，如图所示： 因为，， 所以当，，共线时，有最小值，最小值为. 故选：C. 2．（19-20高二上·云南曲靖·期末）曲线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得到到抛物线准线的距离为，从而求出点到轴的距离为. 【详解】因为到焦点的距离为，所以到抛物线准线的距离为， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）方程所表示的曲线为（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】变形已知方程，结合两点间距离公式和点到直线的距离公式以及抛物线的定义即可得解. 【详解】由原方程得， 即动点到定点的距离与它到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以此方程表示的曲线为抛物线. 故选：D 4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）抛物线（）的焦点为F，点M在抛物线上，且，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则（    ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据定义得出，再应用中点结合图形特征计算即可. 【详解】如图，过点M作轴于点A，交抛物线的准线于点B，由题意得，设， 由抛物线定义可知，，因为M为线段FN的中点，所以， 所以，将其代入可得：，解得. 故选：D. 5．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 6．（21-22高二·全国·课后作业）若一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可知是抛物线的准线，根据抛物线的定义，直接求得结果. 【详解】由题可知的准线为，焦点为. 因为动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切， 利用抛物线的定义可知，动圆的圆心到抛物线焦点的距离即为半径， 说明了必定过抛物线的焦点． 故选：B 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）抛物线的准线与轴交于点，过的焦点作斜率为的直线交于两点，则 ． 【答案】 【分析】作轴于，分别过作准线的垂线，垂足为，由得出，再由同角三角函数的基本关系得出，最后根据倍角公式求解即可. 【详解】作轴于，分别过作准线的垂线，垂足为， 则，所以， 所以， 由可得， 又，所以， 所以， 故答案为： 8．（23-24高二上·云南大理·期末）已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，若8，则的中点到轴距离的最小值为 ． 【答案】3 【分析】的中点到轴距离，由，利用抛物线的性质，求的最小值即可. 【详解】抛物线的焦点坐标，准线方程为， 过两点作准线的垂线，垂足分别为，如图所示， 则，当且仅当三点共线时等号成立， 则有，得， 的中点到轴距离，当且仅当三点共线时等号成立， 即的中点到轴距离的最小值为3. 故答案为：3. 9．（20-21高二下·云南昆明·期末）设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，△的面积为，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题设易得圆的半径、，结合△的面积即可求参数，进而写出抛物线方程. 【详解】由题意，，，且， ∴圆的半径，即，而， 由抛物线的定义知：到的距离， ∴，即，解得. ∴抛物线方程为. 故答案为：. 10．（20-21高二下·云南昆明·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的两点A，B均在E上，若，则直线AB的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】如图，过分别作准线的垂线，则可得，过作的垂线，则可得，结合的值，可求出，从而可求出直线AB的倾斜角 【详解】解：如图，过分别作准线的垂线，垂足分别为，过作于，则 ， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 所以直线AB的倾斜角为， 故答案为：    11．（2017·全国II卷·高考真题）已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ． 【答案】6 【详解】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故． 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 地 城 考点02 抛物线的方程 12．（23-24高二上·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量坐标的线性运算结合可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设点、， 因为，即，可得，解得，即点， 由抛物线的焦半径公式可得. 故选：A. 13．（23-24高二上·云南昆明·期末）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将抛物线方程变为标准方程；再写出焦点坐标及准线方程即可求解. 【详解】由抛物线可得， 则抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 所以抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：C. 14．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）的右焦点F与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析题意，根据抛物线性质进行解析，因为双曲线与抛物线的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，最后计算即可. 【详解】由抛物线的焦点为，因为双曲线与抛物线的焦点重合， 可得双曲线的右焦点为，即，可得， 又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为， 因为抛物线准线与一条渐近线交于点，可得， 即交点为，代入渐近线方程，可得，可得， 将代入，可得，所以，所以双曲线的方程为， 故选：D． 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用椭圆定义结合的周长即可求得，再由焦点重合可求得. 【详解】根据椭圆方程可得，的周长为，可得； 所以的右焦点为，抛物线的焦点为， 即，解得. 故选：C 16．（20-21高二下·云南昭通·期末）设抛物线上一点到焦点的距离为2，则该抛物线C的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据焦半径以及点在抛物线上，联立方程即可求解. 【详解】的焦点为，依题意有，那得， 所以抛物线的标准方程为，焦点坐标为， 故选：C. 17．（22-23高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由抛物线的焦点坐标求得，设在准线上的射影为，利用抛物线的定义进行转化后易得最小值． 【详解】由焦点到其准线的距离为得； 设在准线上的射影为如图, 则 ， 当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4． 故选：D． 18．（22-23高二上·云南丽江·期末）已知椭圆的中心在原点，离心率为且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，从而可求出椭圆中的，再由离心率求出，然后由可求出，从而可求出椭圆的方程. 【详解】由题意可知椭圆的焦点在上，所以设椭圆方程为， 由可得其焦点坐标为， 因为椭圆与抛物线的焦点重合， 所以， 因为椭圆的离心率，所以，得， 所以， 所以椭圆方程为， 故选：C 19．（21-22高二上·云南昆明·期末）是抛物线上第一象限内的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角，则M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设M的坐标，，先由角列方程求出M的纵坐标，进而可得出M的坐标． 【详解】如图所示， 由题意得焦点坐标F（1，0）， 设M的坐标，，又， ∴， 解得：，则， 则M的坐标为． 故选：D． 20．（21-22高二·全国·课后作业）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C．± D． 【答案】A 【分析】由平行线求得点坐标，再求得焦点坐标后，由两点坐标可得斜率． 【详解】将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为， 故选：A. 21．（20-21高二上·云南大理·期末）过点的直线与抛物线相交于两点，若，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线方程求得准线方程，根据已知向量关系，写出A，B的坐标满足的关系，结合抛物线的方程，将纵坐标的关系转化为横坐标的关系，进而求得点A的横坐标，利用抛物线的定义求得点A到焦点F的距离. 【详解】如图1所示，设，由抛物线的几何性质可知抛物线的准线方程，则抛物线的焦点坐标，，，则，且，∴，即，∴，则，解得，， 故选C． 22．（24-25高二上·云南曲靖·期末）抛物线，焦点为F，准线为l，过焦点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，过A，B分别作准线l的垂线，垂足为P，Q，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设出直线的方程及点的坐标，联立直线与抛物线的方程，得到韦达定理，再由抛物线的定义与性质及和韦达定理，基本不等式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】设直线的方程为， 由，消去得，，则，. 所以，， 对于A，由抛物线的定义可知：，故A正确； 对于B，依题意， 所以，，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D， 故D错误； 故选：ABC. 23．（24-25高二上·云南昆明·期末）设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线l的方程是 B．的最小值为4 C．所在直线被抛物线所截得的弦长为 D．以线段为直径的圆与y轴相切 【答案】BD 【分析】对于A，由抛物线的标准方程，可得其正误；对于B，由题意作图，根据抛物线的定义，进行等量代换，可得其正误；对于C，求出直线方程，联立方程组，写出韦达定理，利用弦长公式，可得其正误；对于D，根据圆的切线判定，结合抛物线的定义以及梯形中位线的性质，可得其正误. 【详解】对于A，由抛物线，则，所以准线的方程为，故A错误； 对于B，由题意，过作，垂足为， 设点到直线的距离为，由图可知，故B正确； 对于C，由，则直线的方程为， 代入，可得，整理可得， 由，设直线与抛物线的两个交点分别为和， 则，，所以弦长为，故C错误； 对于D，取的中点为，并过作，垂足为，记准线与轴交点为，如下图： 设以为直径的圆的半径为，由图可知其圆心为， 由图可知， 易知到轴的距离为，则圆与相切，故D正确. 故选：BD. 24．（24-25高二上·云南保山·期末）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若的最小值为9，则 ． 【答案】2 【分析】联立直线与抛物线方程可得韦达定理可得，进而可得，根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】，设直线的方程为， 将其代入中，得， 设，则，， ， 当且仅当时等号成立，∴由的最小值为得． 故答案为：2 25．（24-25高二上·云南大理·期末）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，，直线与的另一个交点为，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意联立直线方程分别解出的坐标，即可求得. 【详解】联立消可得，解得或， 即直线与抛物线的交点为或，∵，∴， 又，直线：，即， 联立，消可得， 解得或，则，此时. 故答案为： 26．（24-25高二上·云南文山·期末）已知抛物线．则拋物线的准线方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线方程判断焦点位置，求得的值，即得准线方程. 【详解】化为标准方程，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，即， 故抛物线的准线方程为. 故答案为：. 27．（22-23高二上·云南丽江·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点坐标是 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程直接求解即可. 【详解】由，得，， 所以， 所以抛物线的焦点坐标为， 故答案为： 直线与抛物线的位置关系 地 城 考点03 28．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法错误的是（    ） A．若为线段中点，则 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2 【答案】C 【分析】A项根据题意求出点的坐标，再根据抛物线的定义求出，即可判断；B项根据抛物线的定义求出点的横坐标，再求出即可；C项设点，则，判断是否为0；D项根据，结合基本不等式可求得. 【详解】抛物线的准线为，焦点. A项，如图，过点作轴，垂足为，设轴与准线交点为. 若O为中点，则与全等，则， 即与焦点重合，所以，所以，正确； B项，若，则，解得， 所以，正确； C项，不妨设，则直线方程为， 令，可得，所以，， 所以，不可能， 所以FP与FQ不垂直，错误； D项，由C项可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时点坐标为， 所以面积的最小值为2，正确. 故选：C. 29．（21-22高二上·云南临沧·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意过点做垂直准线垂足为，根据、抛物线定义可得，从而可得，根据对称性即可选出答案. 【详解】如图所示： 过点做垂直准线垂足为，则， 由，则，则， 则，则， 所以由对称性可知直线的斜率． 故选：B. 30．（21-22高二上·云南楚雄·期末）已知经过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，直线交抛物线的准线于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．直线平行于轴 【答案】C 【分析】根据焦点弦的性质判断B，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A、C，求出点的纵坐标，即可判断D. 【详解】解：由题知，焦点的坐标为，准线的方程为，所以点的横坐标为. 由抛物线的定义知，，所以，故B正确. 设直线的方程为，联立方程组得， 则，所以，故A正确，C错误. 因为直线的方程为，所以点的纵坐标为，因为，所以直线平行于轴，故D正确. 故选：C 31．（19-20高二上·云南玉溪·期末）已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2 【答案】B 【分析】先求出抛物线方程，可得直线AB的方程，再联立，求出M的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】因为抛物线过点，所以p=2， 又抛物线准线与轴交于点， 直线AB的方程为：代入，整理得： 故选：B 【点睛】本题考查了直线和抛物线综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较难题. 32．（23-24高二上·云南昆明·期末）过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．存在直线，使得（为坐标原点） C．若经过点和抛物线的顶点的直线交准线于点，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】依题意设直线方程为，联立直线与抛物线方程，运用韦达定理可判断AB；求得直线方程和准线方程联立，求得交点C，从而判断C；由向量的坐标运算得到，结合韦达定理与抛物线的焦半径公式可判断D． 【详解】对于A，依题意，直线的斜率不等于0，设直线的方程为， 联立直线与抛物线的方程，消去得， 易知，则，，故， 所以为定值，故A正确； 对于B，因为， 所以不可能，故B错误； 对于C，经过点和抛物线的顶点的直线的方程为， 则其与准线的交点的坐标， 因为，所以，即轴，故C正确； 对于D，因为，， 则，所以， 由，得， 由，得，即， 则， 则由抛物线定义得，故D正确. 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 33．（22-23高二上·云南昆明·期末）直线经过抛物线：的焦点为，且与抛物线相交于，两点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．以线段为直径的圆与直线相切 C．当直线的倾斜角为， D．过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则 【答案】ABD 【分析】根据韦达定理可判断A,利用韦达定理求出中点到准线的距离为，可判断B，再根据求得坐标可判断C，再根据韦达定理分别表示可判断D. 【详解】由题可得焦点为， 设直线的方程为， 联立可得， 所以，A正确； 所以， 所以中点的纵坐标为， 从而中点到准线的距离为， 又因为， 所以以线段为直径的圆与直线相切，B正确； 当直线的倾斜角为时，代入可得 解得 所以 所以 所以不成立，C错误； ， 所以，D正确， 故选:ABD. 34．（22-23高二上·云南昆明·期末）设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，若，则下列结论中正确的是（    ） A．直线的斜率为或 B．的中点到的距离为4 C． D．（O为坐标原点） 【答案】ABC 【分析】由题设直线的方程为，，进而联立方程，结合向量关系得或，再依次讨论各选项即可. 【详解】解：由题知焦点为，准线为， 所以，设直线的方程为，， 所以，得， 所以，，①，②， 因为，即， 所以③， 所以，由①②③得或， 所以直线的斜率为，故A选项正确； 所以，，故的中点的横坐标为， 所以，的中点到的距离为，故B选项正确； 当时，，此时，，故； 当时，，此时，，故；故C选项正确； 因为，故不成立，故D选项错误. 故选：ABC 35．（21-22高二上·云南昭通·阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切 C．设，则 D．若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条 【答案】ABCD 【分析】利用抛物线的定义及性质依次判断各选项 【详解】对于A： （如图）因为抛物线方程为，则可知焦点为，如图：过作. 由题意过点的直线与抛物线交于两点，，由抛物线的定义可知, ，若，则.故A正确； 对于B: （如图）取中点为，过作.，因此以为直径的圆，圆心为. 因为为直角梯形的中位线，由抛物线定义，，因此以为直径的圆与准线相切.故B正确; 对于C: 如图：当不在原点时，易知在中，;当在原点时,因此，故C正确； 对于D: 如图：直线过(1,0).若直线与抛物线只有一个公共点分两种情况：（1）直线与抛物线相切（2）直线与抛物线对称轴平行. 由于过(1,0)可作出两条抛物线的切线，但其中一条与轴重合，斜率不存在，因此舍去 则直线与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条.故D正确. 故选：ABCD. 36．（24-25高二上·云南保山·期末）已知抛物线的焦点为，横坐标为2的点在抛物线上，且，过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线分别交抛物线于两点． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）10 【分析】（1）利用抛物线定义由焦半径公式计算可得抛物线的方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，并于抛物线联立求出直线的方程即可知其过定点； （ⅱ）分别求出与的面积表达式，再由韦达定理计算可得面积最小值. 【详解】（1）由得， 因此抛物线的方程为． （2）（i）由题意，可设直线的方程为， 联立，得， 所以， 设直线的方程为，如下图所示： 联立得，， 同理可得，． 又， ∴直线的方程为， 化简，得，即， 令，则， 故直线过定点； （ii）由（i）知， ， ， 当且仅当时等号成立， 故与面积和的最小值为10． 37．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为，直线：（）与交于，两点，为坐标原点，直线与直线：交于点. (1)若，求的值； (2)证明：轴. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设，，根据抛物线的定义可得，联立方程结合韦达定理运算求解； （2）可得直线的方程为，即可得，即可得，可得. 【详解】（1）由题意可知：， 设，，由抛物线定义知，， 因，即，所以. 联立方程，消得， 则显然成立， 可得，， 则，即， 解得或. （2）要证轴，只需证. 因为，则直线的方程为， 联立方程，可得，即， 由得， 所以，所以轴. 38．（24-25高二上·云南红河·期末）已知直线与关于抛物线的准线对称，的焦点为. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于两点，且，求直线的方程： (3)为上两点，且，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由与到的距离相等求得，从而可得到答案； （2）由，根据抛物线的定义求得，设出直线方程，联立直线和抛物线方程消去，结合韦达定理求出参数即可； （3）设直线的方程为：与抛物线方程联立，由结合韦达定理求出，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出求面积的最小值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 由题意知与到的距离相等，即，解得. 故抛物线的方程为. （2）设. 因为，根据抛物线的定义得，所以. 设直线，联立， 化简得，故. 由，解得，满足. 则直线的方程为. （3）因为焦点坐标为，则直线的斜率存在. 设直线的方程为：. 由可得， 则，即. 因为，所以， 即. 将代入上式， 化简得. 所以，且， 解得或. 设到直线的距离为，则. . 所以的面积. 因为或， 所以当时，的面积最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 39．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知抛物线，其焦点到准线的距离为，斜率为的直线与的交点为两点，与轴的交点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，求得抛物线方程； （2）根据得到两点纵坐标的关系，联立直线的方程和抛物线的方程，写出韦达定理，从而求得两点的坐标，根据两点间的距离公式求得. 【详解】（1）由题意焦点到准线的距离为，所以， 所以抛物线的方程为. （2）设，，，直线的方程为， 联立，消去得， 则，即，， 又，则，可得， 解得，，代入抛物线方程得，， 所以，，代回直线的方程解得合题意， . 40．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)点在抛物线上，直线与抛物线交于两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点（为坐标原点），且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义计算即可； （2）设坐标及直线方程，含参表示坐标，由得出坐标的关系，联立抛物线根据韦达定理消元计算即可. 【详解】（1）由题意可知抛物线准线方程为：，则，且， 解之得，即抛物线方程为； （2）依题意与抛物线于第一象限有两个交点， 故可设， 由（1）可知，即，所以， 则， 又，所以， 因为，故， 联立抛物线方程有， 则，显然过定点. 【点睛】思路点睛：第二问通过设点设线，由向量关系得出点的坐标关系，再联立抛物线根据韦达定理消元转化得出直线参数的关系即可. 地 城 考点04 抛物线的弦长、焦点弦相关问题 41．（24-25高二上·云南昭通·期末）抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由此可得抛物线方程，联立直线的方程与抛物线方程，利用设而不求法结合抛物线焦点弦公式求结论. 【详解】抛物线 的准线方程为，焦点的坐标为， 由已知，所以， 故抛物线的方程为，焦点的坐标为， 因为直线的斜率为，过点，所以直线的方程为， 联立，可得， 方程的判别式， 设，则， 又， 故选：D. 42．（24-25高二上·云南文山·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条 B．以为直径的圆与相切 C．设，则 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【分析】分别求出过点与抛物线相切以及斜率为0的直线，可得A正确，根据抛物线定义和梯形中位线性质求得，得出B错误，由抛物线定义可知，利用三点共线求距离之和最小值，可得C正确，设的直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和弦长公式求解可得D正确. 【详解】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有； 当直线斜率存在时，可设直线方程为， 当直线与抛物线有且仅有一个公共点， 联立整理可得，所以； 解得，所以切线方程为， 综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，即A正确； 对于B，如下图所示： 设点在上的射影为，取的中点为，的中点为， 由抛物线定义可知， 在梯形中，有， 所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误； 对于C，易知，由抛物线定义可知，所以， 当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确； 对于D，设的方程为， 联立整理可得，可得，因此； 可得，因此， 又可得，解得； 易知到直线的距离为， 所以的面积为，即D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线定义，将焦半径与到准线距离互相转化，再由三点共线求得距离最值问题. 43．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点的横坐标即可得，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，利用定义即可得，然后可判断B；根据点的横坐标求出即可判断C；将代入直线方程，求出纵坐标，然后由可得面积，可判断D. 【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以，所以， 由抛物线定义可得，，所以， 解得，故A正确．    选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为， 联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或， 所以，故，故，B错误． 选项C：由，，得，故C正确． 选项D：由上知，得， 故，故D正确． 故选：ACD 44．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），，则（    ） A． B． C．最小值为4 D．当直线的倾斜角为时，与面积之比为3 【答案】BCD 【分析】由抛物线的几何性质，即可判断A；利用方程联立，由焦半径和焦点弦长公式，结合韦达定理，即可判断BC，直线方程与抛物线方程联立，求点的坐标，即可判断D. 【详解】由题意可知，，所以，故A错误； 当直线的斜率存在时，设直线，， 联立，得， 其中，， ， 当直线的斜率不存在时，，此时，故B正确； 直线的斜率存在时，，当直线的斜率不存在时，，所以最小值为4，故C正确； 设直线， 联立，得，得或， 由题意可知，，, 所以,故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活应用焦半径和焦点弦长公式，利用韦达定理，变形公式. 45．（21-22高二下·云南昆明·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点（点位于第一象限），与的准线交于点，为线段的中点，准线与轴的交点为，则（    ） A．直的斜率为 B． C． D．直线与的倾斜角互补 【答案】ABD 【分析】分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，求出点的坐标，可得出点的坐标，分析可得，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；再将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用平面向量与解析几何的相关知识可判断BCD选项的正误. 【详解】易知抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 若轴，则直线与抛物线的准线平行，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，即点， 因为点为线段的中点，则，则，可得， 因为点在抛物线上，则，可得， 所以，直线的方程为，即， 故直线的斜率为，A对； 联立，解得或，即点、， 易知点，所以，，，则，B对； 易知点，，， 故，C错； ，，则， 所以，直线与的倾斜角互补，D对. 故选：ABD. 46．（22-23高二下·云南昆明·期末）已知抛物线的焦点为为上一点，则下列命题或结论正确的是（    ） A．若与轴垂直，则 B．若点的横坐标为2，则 C．以为直径的圆与轴相切 D．的最小值为2 【答案】ABC 【分析】结合抛物线定义逐个分析判断. 【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为， 若与轴垂直，将代入抛物线方程，得， 故，选项A正确； 若点的横坐标为2，由抛物线定义， ，选项B正确；    如图，点C为中点，由点向准线作垂线，分别交轴和准线与点， 由点向准线作垂线，分别交轴和准线与点， 设以为直径的圆半径为， 则， 又由梯形中位线得，， 所以以为直径的圆与轴相切，选项C正确； 设点， 则， 当时，的值最小，为1,选项D错误. 故选：ABC 47．（21-22高二上·云南红河·期末）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且． (1)求的方程； (2)求以线段为直径的圆的方程，并判断其与轴的位置关系． 【答案】(1) (2)，圆与轴相切 【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物线定义和已知等式可构造方程求得的值，由此可得抛物线方程； （2）利用中点坐标公式和弦长公式可求得圆心和半径，由此可得圆的标准方程，并确定其与轴的位置关系. 【详解】（1）设， 由得：， ，， 由抛物线方程知：，则， 根据抛物线定义知：， ，解得：，满足，抛物线的方程为：. （2）由（1）知：，， 中点的横坐标，点纵坐标， ，，圆的半径， 圆的方程为：， ，圆与轴相切. 48．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点A． (1)过点的直线交于两点，且，求直线的方程； (2)作直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，求点的轨迹方程，并说明方程表示什么形状的曲线. 【答案】(1) (2)，方程表示一条除去了两点的抛物线 【分析】（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，求出弦长建立方程，可解得结果. （2）设点的坐标，反映题目条件，得出的方程式，去除不合适的点. 【详解】（1）由题意，， 当直线斜率不存在时，，，所以，不符合题意. 当直线斜率存在时，设直线为，，， 联立，得 所以 所以 解得，直线的方程为 （2）抛物线的准线为，与轴交于点 设点，由题意， 则， 化简得， 方程表示一条除去了两点的抛物线. 49．（18-19高二下·云南红河·期末）设抛物线的焦点为，过点作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，点为曲线:上的动点，求面积的最小值. 【答案】(1) ；(2) . 【分析】（1）由于与轴垂直，因此就是圆心，的长是抛物线的通径长，从而易求得； （2）点，，把直线方程与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，由韦达定理得，从而可得，设动点，求出到直线的距离，利用基本不等式可求得它的最小值，从而得三角形面积的最小值． 【详解】(1)由题意得，圆的半径，解得： 故抛物线的方程为. (2)设点，，由直线过抛物线的焦点， 联立得， 故，所以 由点为曲线上的动点，设点，点到直线的距离 ， 由，故 当且仅当，即时，取等号，所以， ∴ ， 故面积的最小值为. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系问题．在直线与抛物线的位置关系中常用设而不求思想，即点，，把直线方程与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，由韦达定理得，有时还有，然后再让，参与计算可求得结论（如弦长，面积、定值、定点等）． 50．（23-24高二上·云南玉溪·期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后反射光线或其反向延长线必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点．一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，经过点． (1)求证：； (2)若PB平分，求点B到直线QP的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得直线AB的方程，再联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理证明即可； （2）根据角度性质可得，故，再求出，进而可得，再计算方程，根据点到线的距离公式求解即可. 【详解】（1）证明：抛物线，则其准线方程为， 由题意得平行于x轴，且过点，所以， 把代入抛物线的方程，解得，则， 由题知，直线AB经过焦点， 则直线AB的方程为，即， 联立得，故． （2）由光学性质可知AP平行于x轴，BQ平行于x轴， 则，有， 若PB平分，则，所以，所以． 由， 则， 可得，解得． 所以，直线QP的斜率为， 故直线QP的方程为，即， 故点B到QP的距离为．    地 城 考点05 抛物线中的定点、定值、定直线问题 51．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点． (1)求点到的焦点之间的距离； (2)证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可得，即可得焦点坐标，进而可得结果； （2）设直线，，联立方程，根据垂直关系结合韦达定理可得，即可知直线过定点. 【详解】（1）因为为抛物线：上一点， 则，即， 可知抛物线：的焦点为，准线为， 所以点到的焦点之间的距离. （2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0， 设直线，， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 由题意可知：，则， 则，整理可得， 则，即， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 52．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出焦点坐标，再利用点到直线距离公式求出值. （2）联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，进而求出弦长. （3）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求出即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点， 由到直线的距离为，得，而，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）由消去得，设， 解得，所以. （3）设直线l的方程为，点， 由消去得，当时，， 由垂直于，得，而，解得， 则直线的方程为，所以直线过定点. 53．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 54．（24-25高二上·云南昆明·期中）如图，已知圆心为，半径为的同心圆与直线在第一象限有个交点，，其中点关于轴的对称点为.    (1)证明：在定曲线上，并求出曲线的方程； (2)设，若直线的斜率为， ①求； ②证明：为定值. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）根据题意联立方程即可推导出曲线的方程； （2）①联立方程得，再根据斜率求得；②根据设出两点坐标，后列式即可推导出所求结果. 【详解】（1）根据题意，将代入同心圆中，化简得，所以曲线的方程为. （2）①因为，所以，与联立方程解得， 设，则, 根据，得；解得或（舍去）, 所以. ②由题意设，，则, ， ， ， ，即, 为定值. 55．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值. 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【详解】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 56．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点满足.记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在y轴上（异于原点），过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，并且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 【答案】(1) (2)0 【分析】(1)根据抛物线的定义即可求解； (2)设出直线，的方程，与抛物线联立，列出式子利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以点M到定点的距离等于到定直线的距离， 所以M的轨迹为抛物线，方程为； （2）设，如图： 设直线AB的方程为， 直线PQ的方程为且 ，， 由 ,得，， ， 同理， 因为， 所以， 因为，所以由得． 57．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的焦点为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）由题意可得，，再结合求出，从而可求得双曲线的方程； （2）直线的方程为，设，将直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，同理表示出点的坐标，由得，表示出，从而可表示出直线的方程，化简可得答案. 【详解】（1）由题意知， 解得， 所以双曲线的方程是； （2）直线的方程为，设． 由，得， 所以， 所以，所以， 所以， 同理可得， 因为，所以，即， 当且时，， 所以直线的方程为， ， ， ， ， 所以， 所以直线过定点； 当或时，直线的方程为，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中直线过定点问题，解题的关键是将直线方程代入双曲线方程化简，结合根与系数的关系的中点坐标公式表示出的坐标，考查计算能力，属于较难题. 58．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由抛物线得定义求解抛物线的方程即可. （2）（ⅰ）利用韦达定理求解出， （ⅱ）通过韦达定理将直线化简成，求出直线过定点. 【详解】（1）由焦半径公式知：，， 的方程为：. （2）由（1）知：， 可设直线方程为：，设 则 直线方程为： 联立 ，将代入得， ，同理： （ⅰ）， （ⅱ）直线的方程为： 由得：即， ， 直线的方程为：， 直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是写出直线的方程，再代入韦达定理式化简即可. 59．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，已知抛物线，直线交抛物线C于A，B两点，的中点为． (1)求抛物线C的标准方程； (2)记抛物线C上一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点差法求解即可； （2）设，，从而可得，再联立直线与抛物线的方程，代入韦达定理求解即可. 【详解】（1）不妨设，， 因为A，B两点在抛物线C上，所以， 两式作差得，① 因为A，B均在直线l上，所以， 又的中点为，此时，② 联立①②，解得，则抛物线C的标准方程为． （2）由为抛物线C上一点，所以，解得，即， 不妨设，，此时，同理得， 所以，③ 联立消去x并整理得， 由韦达定理得④ 联立③④，解得． 60．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为8，点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)取抛物线上一点，过点作两条斜率分别为的直线与抛物线交于两点，且，则直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由抛物线的定义求出，进而可得抛物线的方程； （2）设直线的方程为，，代入抛物线方程化简得，利用根与系数的关系可得，再利用，列方程即可求出，进而可得直线l经过定点. 【详解】（1） ，准线为，点分别向轴和准线做垂线，垂足为， 则，， 所以， 又点在抛物线上， 所以，即，解得或（舍）， 所以抛物线的方程为. （2） 点在上，所以，解得，所以， 设， ，同理，， 所以，即， 设直线为， 则，即， 所以，， 所以， 解得，代入到直线方程， 得，即， 当，即时，， 所以直线过定点. 【点睛】关键点睛：1.求抛物线方程的关键是利用抛物线的定义，点到准线的距离等于它到焦点的距离列出方程； 2.第二问的关键是设出直线的方程和、两点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，，将用斜率公式表示出来即可，从而判断出所过的定点. 61．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）若抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为． (1)求C的标准方程； (2)若过点的直线l与抛物线C相交于A，B点，证明为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用抛物线定义结合P到抛物线焦点的距离，列式求出p，即可求得答案； （2）设直线方程，并联立抛物线方程，可得根与系数关系式，求出的表达式，结合根与系数关系式化简，即可证明结论. 【详解】（1）抛物线（）的准线l的方程为， 根据抛物线的定义知点P到C的焦点的距离即为点P到准线l的距离， 所以，解得， 所以C的标准方程为． （2）证明：显然直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，，， 联立，可得， 所以，，， 又， 同理， 所以 ， 所以为定值． 62．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 【答案】(1) (2)见解析. 【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程. （2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证. 【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得， 所以抛物线的方程为. （2）设， 联立， 由韦达定理得， 所以 所以， 所以以为直径的圆经过原点O.得证 63．（21-22高二下·云南红河·期末）设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出点的坐标，利用抛物线的定义列方程可得，进而得出抛物线的方程； （2）设出直线，与抛物线联立，消元写出韦达定理，利用直线斜率公式代入化简，可得，即为的角平分线，命题得证． 【详解】（1）由点到轴的距离为得：， 将代入得：， 由抛物线的定义得，， 由已知，， 所以， 所以抛物线的方程为； （2）由得， 由题意知与抛物线交于两点， 可设直线的方程为，，， 联立方程，得， 所以，，， 所以 ， 所以， 则 所以为的角平分线， 由角平分线的性质定理，得． 64．（21-22高二下·云南昆明·期中）已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出等边三角形的顶点坐标，代入抛物线方程，求出，进而求出抛物线方程； （2）设出直线方程为，联立抛物线方程，求出两根之和，两根之积，进而求出线段的中点的坐标，同理得到线段的中点的坐标，从而求出直线的方程，求出直线过的定点坐标. 【详解】（1）由对称性可知等边三角形的顶点在上， 代入得：，解得：， 所以抛物线方程为：； （2）由题意知和斜率均存在，，设直线方程为， 则直线方程为， 由联立得：， 设，则， 故，同理得 故直线MN方程为 整理得：，故直线MN过定点 学科网（北京）股份有限公司 $