专题04 椭圆与方程（7大题型）（期末真题汇编 云南专用）高二数学上学期

专题04 椭圆与方程（7大题型） 7大高频考点概览 考点01 椭圆的定义与方程 考点02 椭圆的离心率 考点03 直线的椭圆的位置关系 考点04 椭圆的弦长、焦点弦、中点弦问题 考点05 椭圆中参数的最值与范围 考点06 椭圆中的定值、定点问题 考点07 椭圆中与向量有关的问题 椭圆的定义与方程 地 城 考点01 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（21-22高二上·云南临沧·期末）已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为4，N是的中点，为坐标原点，那么线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．无公共点 （23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·云南昭通·期末）椭圆的长半轴长为，右顶点为，上､下顶点分别为，，是线段的中点.若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·云南大理·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，点为椭圆的左焦点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·云南临沧·期末）若表示短轴在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高二上·云南文山·期末）椭圆的焦点在轴上且焦距为2，则的值等于（    ） A．5 B．5或8 C．5或3 D．3 10．（22-23高二上·云南临沧·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·云南丽江·期末）已知椭圆的中心在原点，离心率为且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·云南昆明·期末）把离心率为的椭圆称为“正椭圆”．已知、为“正椭圆”的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若周长为16，则“正椭圆”方程为 ． 13．（19-20高二上·云南曲靖·期末）已知是椭圆：的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的周长为 . 地 城 考点02 椭圆的离心率 14．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·云南·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知，分别为椭圆E：的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．（2023·云南昆明·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·云南·阶段练习）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为边作等边三角形，的两边，分别交该椭圆于，两点.若，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 19．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点.若，则的长轴长为（    ） A．3 B．6 C． D． 20．（24-25高二上·云南玉溪·期中）点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·云南文山·阶段练习）设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知点A，B是椭圆上关于原点O对称且不与C的顶点重合的两点，C的左、右焦点分别为，，线段，的中点分别为P，Q，则（   ） A． B． C．当直线AB与直线PQ之间的距离为时， D．若，则C的离心率的取值范围是 23．（24-25高二上·云南昭通·期末）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，分别是与共同的左，右焦点，且的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．若，则 D．若与轴交于点平分，则 24．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为5 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 25．（22-23高二上·云南楚雄·期末）已知椭圆：的焦点分别为，，为上的动点，则（    ） A．的周长为 B．的最大值为 C．的长轴长为 D．的离心率为 26．（22-23高二上·云南·期末）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（    ） A．若，且点在以为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为 B．若是“黄金椭圆”，则 C．若“黄金椭圆”的左焦点是，右顶点和上顶点分别是，则 D．设过原点的直线与焦点在轴上的“黄金椭圆”分别交于两点，“黄金椭圆”上动点（异于），设直线的斜率分别为，则 直线的椭圆的位置关系 地 城 考点03 27．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 28．（19-20高二下·云南玉溪·期中）若直线与椭圆有两个公共点，则的取值范围是（    ）. A． B．且 C． D．且 29．（23-24高二上·云南昆明·期末）设，为椭圆：的左右顶点，，为的左、右焦点，点在上，则（    ） A．当椭圆与直线相切时， B．在椭圆上任意取一点，过作轴的垂线段，为垂足，动点满足，则点的轨迹为圆 C．若点不与，重合，则直线，的斜率之积为 D．不存在点，使得 30．（24-25高二上·云南昆明·期中）设过点的直线和椭圆交于两点(在上方)，则的取值范围为 . 31．（20-21高二下·云南昆明·阶段练习）设是圆：上一点，则圆在处的切线方程为，由此类比可得到的正确结论是：设是椭圆：上一点，则椭圆在处的切线方程为 ． 32．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，过作直线与交于、两点，直线、的斜率分别为、． (1)求的标准方程； (2)判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 33．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点 (1)求椭圆的方程； (2)当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程 (3)若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值. 34．（24-25高二上·云南文山·期末）已知椭圆的离心率为，其中一个焦点的坐标为. (1)求的方程； (2)过左焦点的直线交于、两点，点在上. （i）若的重心为坐标原点，求直线的方程； （ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围. 35．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程. (2)设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 36．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求的方程; (2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程. 37．（23-24高二上·云南楚雄·期末）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹为. (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)若过的直线与交于两点，点是上一点，的最大值为，最小值为，且成等比数列，求的方程. 38．（23-24高二上·云南·阶段练习）已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为曲线． (1)求曲线的方程； (2)曲线与轴的两个交点为，，过点 的直线与曲线交与，两点(注：点，与，不重合），设直线，的斜率分别是，，求的值. 地 城 考点04 椭圆的弦长、焦点弦、中点弦问题 39．（23-24高二上·云南文山·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若为椭圆上的一点（不在轴上），则面积的最大值是（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 40．（25-26高二上·云南昆明·月考）某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（    ） A．椭圆的“蒙日圆”的面积为 B．对直线上任意点，都有 C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 41．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知椭圆：（）的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆：上任意一点，的最小值为2，则下列结论正确的是（   ） A． B．直线与椭圆相交于，两点，则 C．过作圆切线的斜率为 D．动点到点的距离的最大值为 42．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为4 C．点到点的距离的最大值为6 D．的最大值为18 43．（24-25高二上·云南保山·期末）已知为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆上存在点使得 C．若直线与椭圆相交于、两点，则 D．若，则的面积为3 44．（24-25高二上·云南红河·期末）已知点，动点到的距离和它到直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为： B．曲线上存在点，使得 C． D．若为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 45．（23-24高二上·云南昆明·期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（    ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 46．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，若，则（    ） A． B．的面积等于 C．直线l的斜率为 D．C的离心率等于 47．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点. （1）若直线过右焦点（不与轴重合），则的周长为 . （2）若直线为，当的周长最大时，的面积为 . 48．（25-26高二上·云南·期中）已知是椭圆上的一点，且点P在第一象限，以点P及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为 ． 49．（24-25高二上·云南文山·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则 ． 50．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 51．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 ． 52．（22-23高二上·云南·期末）已知椭圆，，过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，若直线平分线段，则C的离心率等于 ． 53．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 . 地 城 考点05 椭圆中参数的最值与范围 54．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 55．（21-22高二上·云南曲靖·期末）已知椭圆经过两点． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，求面积的最大值． 56．（21-22高二下·云南丽江·期末）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围． 57．（21-22高二上·云南昭通·期末）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积的最大值. 58．（25-26高二上·云南·期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆上一点． (1)求的方程； (2)椭圆的左､右顶点为，直线与交于不同的两点（不与重合），直线与直线的斜率满足，且直线与直线交于点，直线与直线交于点． ①求证：直线为定直线； ②求四边形面积S的最小值． 59．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，上，下顶点分别为P、Q，且和的面积分别为2和. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线l的斜率为k，若直线l与C交于E、F两点，且，求实数k的取值范围. 60．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆C：的一个焦点为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：（）与椭圆C交于M，N两点，求（O为坐标原点）面积的最大值及此时t的值． 地 城 考点06 椭圆中的定值、定点问题 61．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆C：的上、下焦点分别为，，则（    ） A．与C有相同离心率的椭圆标准方程一定是 B．设，点P是椭圆上任意点，则有最小值 C．过圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直 D．A，B为椭圆C的左右顶点，M为曲线C上不同于A，B的一点，则直线MA、MB的斜率之积为 62．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知椭圆的左，右焦点为，，A，B分别为它的左右顶点，点P为椭圆上的动点（P不在x轴上），下列选项正确的是（    ） A．存在点P使得 B．的周长为 C．直线PA与直线PB的斜率乘积为 D．的最小值为 63．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 64．（25-26高二上·云南昆明·期中）椭圆：上的一个动点，点到右焦点的距离的最小值为1，的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线不经过原点，且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值； (3)若直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近点的一侧）.在直线上是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 65．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，长轴为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，求弦长； (3)点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 66．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 67．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知椭圆的右焦点为，且，直线与椭圆相交于A、B，A为上方的交点. (1)求椭圆的方程； (2)过点A作两条互相垂直的直线，分别于椭圆相交于P，Q，证明：直线PQ过定点； (3)在中，过点A作PQ的垂线，垂足为H，是否存在H，使H到左顶点的距离最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由. 68．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为，．且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 69．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 70．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知和是椭圆：（）上的两点，过点的直线与交于，两点. (1)求的方程； (2)若△的面积为，求直线的方程； (3)在轴上是否存在点，使，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 71．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆，，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN，均不与x轴垂直． (1)若直线l过点，求弦MN的长； (2)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值． 72．（24-25高二上·云南大理·期末）已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆的离心率； (2)过点的直线与椭圆交于、两点（、不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于、两点，求证：为定值. 73．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知椭圆的焦距为4，点在上，直线与交于，两点. (1)求的方程. (2)若，求的最大值. (3)若点与重合，过作斜率与互为相反数的直线，与的另一个交点为，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 地 城 考点07 椭圆中与向量有关的问题 74．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．以线FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，不经过点A的直线l与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之积为，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 75．（22-23高一下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左,右焦点分别为,,长轴长为,点在椭圆外,点在椭圆上,则（    ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使 D．的最小值为 76．（21-22高三上·云南昆明·阶段练习）已知点M为椭圆上任意一点，AB是圆的一条直径，则的最大值与最小值的和是（    ） A．20 B． C．40 D． 77．（21-22高二上·云南红河·阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，是圆的一条直径，则的最大值与最小值的和为 . 78．（23-24高二上·云南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过两点，． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标． 79．（24-25高二上·云南昆明·期中）如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， (1)若轴，求的面积； (2)若，求点的坐标； (3)求的最大值． 80．（24-25高二上·云南·期中）设点、分别是椭圆的左、右焦点，且椭圆上的点与两焦点构成的三角形面积最大值为4.点、是椭圆上位于轴上方的两点，且向量与向量平行. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积； (3)当时，求直线的方程. 81．（22-23高二上·云南·期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． (1)求的方程； (2)设过点的直线与相交于，两点，且，求的面积及直线的方程． 82．（20-21高二上·云南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 为动点， 分别为椭圆的左右焦点.已知为等腰三角形. （1）求椭圆的离心率e； （2）设直线与椭圆相交于、两点，M是直线上的点，满足，求点M的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 椭圆与方程（7大题型） 7大高频考点概览 考点01 椭圆的定义与方程 考点02 椭圆的离心率 考点03 直线的椭圆的位置关系 考点04 椭圆的弦长、焦点弦、中点弦问题 考点05 椭圆中参数的最值与范围 考点06 椭圆中的定值、定点问题 考点07 椭圆中与向量有关的问题 椭圆的定义与方程 地 城 考点01 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用椭圆定义结合的周长即可求得，再由焦点重合可求得. 【详解】根据椭圆方程可得，的周长为，可得； 所以的右焦点为，抛物线的焦点为， 即，解得. 故选：C 2．（21-22高二上·云南临沧·期末）已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为4，N是的中点，为坐标原点，那么线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，再结合图形，利用几何关系即可求出结果. 【详解】因为椭圆方程为，所以，可得， 如图，中，分别为和的中点，所以， 又因为点在椭圆上，可得，所以， 由此可得，    故选：B. 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．无公共点 【答案】D 【分析】求出椭圆的蒙日圆方程，求出点的轨迹方程为，判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为， 设点，则，整理可得， 圆的圆心为原点，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，所以，， 故两圆相交，所以，点的轨迹与椭圆的蒙日圆无公共点. 故选：D. 4．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的中点坐标利用点差法求得，再由计算可得答案. 【详解】设椭圆方程为， 易知直线的斜率为； 设，则，所以，； 易知，两式相减可得； 即，可得， 又，可得，所以； 即椭圆的方程为. 故选：A 5．（23-24高二上·云南昭通·期末）椭圆的长半轴长为，右顶点为，上､下顶点分别为，，是线段的中点.若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，，再根据条件列式求解. 【详解】由题意可知，，，且点是线段的中点， 所以，则，解得：， 所以椭圆方程为. 故选：D 6．（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到方程组，求出，结合焦点位置，得到椭圆方程. 【详解】由题意得，，又， 解得， 故椭圆方程为. 故选：D 7．（23-24高二上·云南大理·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，点为椭圆的左焦点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入椭圆方程，得到关于的方程，再由离心率即可求出.从而求出左焦点坐标. 【详解】因为椭圆的离心率，所以①， 又因为在椭圆上，所以②， 由①②得，，，点的坐标为. 故选：D. 8．（21-22高二上·云南临沧·期末）若表示短轴在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程，即可得到结果. 【详解】因为表示短轴在轴上的椭圆，即焦点在轴上，则. 故选：C 9．（21-22高二上·云南文山·期末）椭圆的焦点在轴上且焦距为2，则的值等于（    ） A．5 B．5或8 C．5或3 D．3 【答案】A 【分析】由椭圆的标准方程及焦点在x轴上且，结合椭圆参数的关系即可求. 【详解】依题得，即，则. 故选：A 10．（22-23高二上·云南临沧·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程可得与的值，结合圆与椭圆的位置关系可得的不等式，求解即可. 【详解】由椭圆，得， 所以，又，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 其方程为，又点在上，所以圆与椭圆有四个公共点， 如图： 所以，解得且，所以的取值范围为. 故选：A 11．（22-23高二上·云南丽江·期末）已知椭圆的中心在原点，离心率为且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，从而可求出椭圆中的，再由离心率求出，然后由可求出，从而可求出椭圆的方程. 【详解】由题意可知椭圆的焦点在上，所以设椭圆方程为， 由可得其焦点坐标为， 因为椭圆与抛物线的焦点重合， 所以， 因为椭圆的离心率，所以，得， 所以， 所以椭圆方程为， 故选：C 12．（23-24高二上·云南昆明·期末）把离心率为的椭圆称为“正椭圆”．已知、为“正椭圆”的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若周长为16，则“正椭圆”方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得出，，解方程求出，即可得出答案. 【详解】由题意可得：，则， 又因为周长为16， 所以， 则， 故“正椭圆”方程为. 故答案为：. 13．（19-20高二上·云南曲靖·期末）已知是椭圆：的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的周长为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求出，，从而求的周长. 【详解】因为两点在椭圆上，所以，， 所以的周长为. 故答案为：. 地 城 考点02 椭圆的离心率 14．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解. 【详解】由椭圆的定义得， 又，故， 由，得， 又椭圆的离心率，则. 故选：B 15．（24-25高二下·云南·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，延长与交于点，根据几何关系求出，结合离心率公式即可进一步求解. 【详解】 根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知， 由椭圆的定义可得，所以， 所以，由是的中位线， 可得，所以，解得， 所以的离心率为. 故选：B. 16．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知，分别为椭圆E：的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，建立方程求出离心率. 【详解】由椭圆定义得，而，则， 又，，于是，解得， 所以椭圆的离心率为， 故选：A 17．（2023·云南昆明·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】 由题意可知， 在中，由余弦定理得，化简得， 则，所以. 故选：C. 18．（24-25高二上·云南·阶段练习）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为边作等边三角形，的两边，分别交该椭圆于，两点.若，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，利用余弦定理求出，再借助椭圆的定义求出离心率. 【详解】令椭圆的半焦距为c，连接，由是等边三角形，， 得，则， 因此，所以该椭圆的离心率为. 故选：D    19．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点.若，则的长轴长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】现根据椭圆离心率求出，再根据求出，联立两式可求出、，由此即可求解. 【详解】因为离心率，解得，， 由题意易得，，. 所以，，因为，所以， 将代入，解得，，即，，故的长轴长为. 故选：B. 20．（24-25高二上·云南玉溪·期中）点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正三角形，得出点坐标用表示，代入椭圆方程转化的可得离心率． 【详解】因为为正三角形，，不妨设在第一象限，所以， 在椭圆上，则，，可得， 即得，所以， 因为，故解得． 故选：A． 21．（25-26高二上·云南文山·阶段练习）设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据椭圆和双曲线离心率公式代入计算即可. 【详解】设圆锥曲线的离心率为， ①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有； ②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有. 综上，所求的离心率为或. 故选：AD. 22．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知点A，B是椭圆上关于原点O对称且不与C的顶点重合的两点，C的左、右焦点分别为，，线段，的中点分别为P，Q，则（   ） A． B． C．当直线AB与直线PQ之间的距离为时， D．若，则C的离心率的取值范围是 【答案】AD 【分析】由对称性可判断四边形为平行四边形，结合定义可判断A；利用三角形中位线的性质和椭圆定义可判断B；取特例可否定C；根据已知判断为矩形，然后利用勾股定理和椭圆定义列方程组，结合基本不等式求解可判断D. 【详解】对A，由题知，为和的中点，故四边形为平行四边形， 所以，正确； 对B，，错误； 对C，设，则， 因为线段，的中点分别为P，Q，且直线与直线PQ之间的距离为， 所以到直线的距离为，设直线的方程为， 则，解得， 即当，直线的方程为时，满足直线AB与直线PQ之间的距离为， 但是，错误； 对D，因为，，所以， 所以四边形为矩形，所以， 根据对称性，不妨设点在第一象限，， 则，则， 又，所以取不到等号，故， 即，得，所以C的离心率的取值范围是，正确. 故选：AD 23．（24-25高二上·云南昭通·期末）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，分别是与共同的左，右焦点，且的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．若，则 D．若与轴交于点平分，则 【答案】BD 【分析】对于A，利用椭圆和双曲线的定义求解判断；对于B，由椭圆中焦点三角形面积公式为求解判断；对于C，利用余弦定理得到求解判断；对于D，由A知，设，点在轴上，点关于轴对称，得到平分，，然后在中，利用正弦定理和余弦定理求解判断. 【详解】对于A，由题意可知，，所以，故A错误； 对于B，在中，若，由椭圆中焦点三角形面积公式得，故B正确； 对于C，若，由题知椭圆和双曲线的半焦距为，椭圆的长半轴为， 则，整理解得， 而，故C错误； 对于D.，由A可知， 设，点在轴上，点关于轴对称， 则平分，则， 在中，由正弦定理得， 则，得， 在中，由余弦定理得，， 解得或（舍），故离心率，故D正确， 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：D选项的解题关键是在中依次利用正弦定理和余弦定理建立关于m的等量关系式，进而得解. 24．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为5 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 【答案】BD 【分析】对于A，由题意求得，结合基本不等式即可判断；对于B，由条件确定的范围，结合离心率公式即可判断；对于C，由上定点对两焦点的张角大小即可判断；对于D，设出直线，然后与椭圆联立，再求出相关距离，最后化简计算即可. 【详解】因为的周长为8，所以，即. 因为在C外，代入椭圆方程所以，所以. 对于A： ， 当且仅当时，等号成立，所以，故A不正确； 对于B： 椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于， 因为， 当时，此时不存在使得，故C错误； 对于D: 当时,可得：此时椭圆方程为，    设直线为：， 联立，得， 设，，则，， ， ，，， 原点到直线的距离， ， 当的斜率不存在时，仍然满足上述关系， 综上，为定值.故D正确. 故选：BD 25．（22-23高二上·云南楚雄·期末）已知椭圆：的焦点分别为，，为上的动点，则（    ） A．的周长为 B．的最大值为 C．的长轴长为 D．的离心率为 【答案】CD 【分析】依据椭圆方程计算，根据椭圆的性质逐一计算各个选项可得结果. 【详解】对A，因为，，所以，，. 因为焦点在轴上，所以的周长为，故A选项错误； 对B，根据结论知的最大值为，故B选项错误； 对C，长轴长为，故C选项正确； 对D，离心率为，故D正确. 故选：CD 26．（22-23高二上·云南·期末）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（    ） A．若，且点在以为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为 B．若是“黄金椭圆”，则 C．若“黄金椭圆”的左焦点是，右顶点和上顶点分别是，则 D．设过原点的直线与焦点在轴上的“黄金椭圆”分别交于两点，“黄金椭圆”上动点（异于），设直线的斜率分别为，则 【答案】ACD 【分析】选项A由的值可求得，进而根据椭圆的定义可求得的周长，选项B需分焦点在轴和轴上进行讨论，选项C，将，，坐标用表示，利用勾股定理可验证，选项D利用点差法可得，结合关系可求得结果. 【详解】对于选项，，所以， 所以的周长为， 故A正确； 对于B选项， 当时，解得， 当时，解得，故B不正确； 对于C选项， 由题意可得， 要使椭圆为“黄金椭圆”，则，所以， 所以， ， 因为， 所以，所以，故C正确； 对于D选项， 设， 由点差法可得， 因为动点P在“黄金椭圆”上，所以， 所以，而，所以， 即，所以，故D正确； 或对于D选项，由题意及椭圆的性质，可得为定值，故可取， 设P点坐标为，则， 因为点P在椭圆上，所以，所以， 所以，因为动点P在“黄金椭圆”上，所以， 所以，而﹐ 所以，即， 所以，故D正确， 故选：ACD． 直线的椭圆的位置关系 地 城 考点03 27．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 28．（19-20高二下·云南玉溪·期中）若直线与椭圆有两个公共点，则的取值范围是（    ）. A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据直线与椭圆有两个交点，联立方程后可知，且椭圆方程中满足且，即可得的取值范围. 【详解】椭圆，则且， 而直线与椭圆有两个公共点， 则，化简可得， 所以 ， 可得或， 又因为且， 可得且， 故选：B. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系的简单应用，由直线与椭圆位置关系求参数的取值范围，属于基础题. 29．（23-24高二上·云南昆明·期末）设，为椭圆：的左右顶点，，为的左、右焦点，点在上，则（    ） A．当椭圆与直线相切时， B．在椭圆上任意取一点，过作轴的垂线段，为垂足，动点满足，则点的轨迹为圆 C．若点不与，重合，则直线，的斜率之积为 D．不存在点，使得 【答案】AB 【分析】根据判别式、动点轨迹、斜率乘积、数量积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，由消去并化简得， ，得，解得，A选项正确. B选项，设，由于，所以， 代入并化简得，所以点的轨迹是圆，B选项正确. C选项，设，，则， ，所以C选项错误. D选项，， ， 当时，，所以D选项错误. 故选：AB 30．（24-25高二上·云南昆明·期中）设过点的直线和椭圆交于两点(在上方)，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】当直线的斜率不存在时，可得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，由两点间的距离公式及韦达定理可得，设，则有，代入，消去，解出的范围，即得答案. 【详解】解：当直线的斜率不存在时， 则有，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设， 由，可得， ， 则有， 解得或， 由韦达定理可得， 又因为， 同理可得， 所以， 由，可知同号， 所以， 设， 则， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 即， 所以，即， 解得， 即， 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：在涉及直线与圆锥曲线的题目时，联立直线与曲线方程，结合韦达定理求解即可. 31．（20-21高二下·云南昆明·阶段练习）设是圆：上一点，则圆在处的切线方程为，由此类比可得到的正确结论是：设是椭圆：上一点，则椭圆在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据题目要求，利用类比思想，观察原题中的字母变化，从而总结规律得出结论. 【详解】原题中要求利用类比得出结论， 注意观察在处的切线方程为， 可以看出圆的方程中一个换为，一个换为，即可得到切线方程， 所以方程中一个换为，一个换为，可以得到切线方程为：， 故答案为：. 32．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，过作直线与交于、两点，直线、的斜率分别为、． (1)求的标准方程； (2)判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，-2 【分析】（1）由题意列方程组，求出的值，即得答案； （2）设直线l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，求出的表达式，结合根与系数的关系化简，即得结论. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故的标准方程为； （2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，设， 联立得，得，需满足， 则， 则 ， 即为定值-2. 【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键在于要结合点的坐标，求出的表达式，进而结合根与系数的关系化简. 33．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点 (1)求椭圆的方程； (2)当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程 (3)若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据顶点坐标及离心率列方程组求解即可； （2）易知是椭圆的一条切线，设另一条切线为，切点为.且有：，与椭圆方程联立，由判别式得，得，即可求出另一条切线，得解； （3）设直线的方程为，.韦达定理得，求出的总坐标，利用是中点得，进而，可得点的轨迹方程为：，最后利用点线距离求解最小值即可. 【详解】（1）由题可知：，解得； 所以椭圆的方程为：. （2）由题易知：是椭圆的切线，切点为. 设另一条切线为，切点为.且有：. 联立，消去，得： ，即， 联立：；解得：； 所以，解得：. 所以直线的斜率.故切点所在直线方程为：. 综上所述：两切点所在的直线方程为或. （3）设直线的方程为.且有：.其中. 由（2）可知：. 直线的方程为：.得. 同理，可得. 因为是中点， 所以. 因为. 所以.点的轨迹方程为： 所以. 34．（24-25高二上·云南文山·期末）已知椭圆的离心率为，其中一个焦点的坐标为. (1)求的方程； (2)过左焦点的直线交于、两点，点在上. （i）若的重心为坐标原点，求直线的方程； （ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围. 【答案】(1) (2)直线的方程为；. 【分析】（1）根据已知条件得到和求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，得到，利用韦达定理得到，，小问（i）根据重心为原点得到点坐标，将点坐标代入椭圆方程即可求出的值，进而得到直线的方程；小问（ii）设，方法同（i），得到点坐标，将点坐标代入椭圆方程得到，利用求出的取值范围. 【详解】（1）由题意知，即，又， 解得，，， 所以的方程； （2）（i）因为左焦点为，设直线的方程为， 联立，得， 设，，，则，， 因为的重心为原点，所以， 所以，又， 代入，可得， 解得，所以直线的方程是. （ii）设，由（i）可知，， 代入，可得， 解得，所以. 所以，且，所以 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 35．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程. (2)设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，1 【分析】（1）根据椭圆离心率和点坐标，可得结果 （2）设出直线得方程并与椭圆方程联合，利用韦达定理得出表达式，整理可得斜率为定值. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以解得 所以椭圆的方程为. （2）如下图所示： 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 直线的方程为，即， 联立方程组消去，得. 因为为直线与椭圆的交点， 所以，即， 把换为得，所以. 因为， 所以直线的斜率为， 即直线的斜率为定值1. 36．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求的方程; (2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意得，求出，从而可求出椭圆方程； （2）当直线l的斜率不存在时，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程. 【详解】（1）依题意：，解得， 所以E的方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，舍去； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设， 联立，消y得：， 整理得：， ，则， ， 则， 即， 则，即， 解得或， 则直线l的方程为或． 37．（23-24高二上·云南楚雄·期末）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹为. (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)若过的直线与交于两点，点是上一点，的最大值为，最小值为，且成等比数列，求的方程. 【答案】(1)，曲线是焦点在轴上的椭圆. (2). 【分析】（1）由题可知利用距离之比代入化简即可得曲线的方程为； （2）依题意可知，设直线与椭圆方程联立，利用韦达定理由等比数列性质可求得，解方程可求得的方程为. 【详解】（1）设点，根据题意可得， 化简得，即. 故曲线是焦点在轴上的椭圆. （2）由题可知，所以， 当垂直于轴时，，此时不成等比数列，故的斜率存在. 如图所示： 设的方程为，则， 所以. 联立整理得， 则， 因为成等比数列，所以， 即，可得， 所以，解得， 因此的方程为. 38．（23-24高二上·云南·阶段练习）已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为曲线． (1)求曲线的方程； (2)曲线与轴的两个交点为，，过点 的直线与曲线交与，两点(注：点，与，不重合），设直线，的斜率分别是，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的方程得出其圆心与半径，利用中垂线的性质得出，即可得出，根据椭圆的定义得出点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，即可得出答案； （2）由（1）得出的曲线的方程得出点，的坐标，设过点的直线为，，，联立直线与椭圆方程根据韦达定理得出，，即可得出，再根据两点的斜率公式得出，即可化简代入得出答案. 【详解】（1） 由，得， 所以圆心为，半径为4， 连接，由是线段的中垂线，得， 所以，又， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆， 所以，，，所求曲线的方程为. （2） 由（1）知，， 设过点的直线为，，， 联立和， 消去，整理得，, ，， 从而， ． 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，得到韦达定理式，再化积为和得，再代入计算的值即可. 地 城 考点04 椭圆的弦长、焦点弦、中点弦问题 39．（23-24高二上·云南文山·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若为椭圆上的一点（不在轴上），则面积的最大值是（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据椭圆上的点的纵坐标的取值范围求解即可. 【详解】椭圆, 椭圆左、右焦点分别为，， 故, 为椭圆上的一点，设，则且， . 故选：B. 40．（25-26高二上·云南昆明·月考）某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（    ） A．椭圆的“蒙日圆”的面积为 B．对直线上任意点，都有 C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 【答案】ACD 【分析】根据条件，得出，，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点，得出蒙日圆方程的半径，即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直线与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，设，，得到，再利用重要不等式及面积公式即可得出结果. 【详解】已知椭圆的离心率为， ，为的左、右焦点且，故， 所以，， 故椭圆方程为：，故C正确； 对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆方程为， 如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点， 易知点，且点在蒙日圆上， 所以故蒙日圆的面积为，故A正确； 对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程， 由得， 则， 所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为，故B错误； 对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，如图2， 连接，设，则， ， 设，， 所以， 又（当且仅当时取等号）， 所以，即， 所以，故D正确； 故选：ACD 41．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知椭圆：（）的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆：上任意一点，的最小值为2，则下列结论正确的是（   ） A． B．直线与椭圆相交于，两点，则 C．过作圆切线的斜率为 D．动点到点的距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】数形结合即可判断A；联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求解判断B；先设切线方程，再由圆心到且线距离等于圆的半径即可求解判断C；设点P坐标，由代数法结合二次函数性质即可求解判断D. 【详解】如图，由图可知的最小值为，故A正确； 由椭圆：（）得， 所以椭圆：，联立， 则，设， 则， 所以 ，故B正确； 由图可知过作圆切线，切线斜率存在， 设切线方程为即， 则点到切线距离为，故C错误；    而点P在椭圆上，则可设， 则 ， 即当时，动点P到点的距离的最大值为，故D正确. 故选：ABD 42．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为4 C．点到点的距离的最大值为6 D．的最大值为18 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，再根据轨迹方程分别分析面积的最大值、点到点的距离的最大值以及的最大值. 【详解】设点，已知，，且， 可得：， 两边同时平方可得：即， 化简可得：， 配方可得：，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，A正确； 已知，，则， 因为点在圆上，所以点到轴的最大距离就是圆的半径， 根据三角形面积公式可得面积的最大值为：所以B错误； 点，圆心，则， 因为点在圆上，所以点到点的距离的最大值为，C正确； 设点，则，， 所以， 因为，即， 代入上式可得： ， 因为点在圆上，所以， 当时，取得最大值，最大值为，D正确； 故选： ACD. 43．（24-25高二上·云南保山·期末）已知为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆上存在点使得 C．若直线与椭圆相交于、两点，则 D．若，则的面积为3 【答案】AC 【分析】由焦半径范围公式即可求解判断A；求出焦三角中最大值即可判断B，由对称性得，再结合椭圆定义即可求解判断C，对于D，法一：由椭圆定义结合余弦定理求出即可由面积公式求解；法二：直接利用椭圆的焦点三角形面积公式求解. 【详解】对于A，当点P为椭圆的左顶点时，取得最大值； 当点P为椭圆的右顶点时，取得最小值，∴，故A正确； 对于B，记分别为椭圆的上、下顶点，则点P与点或重合时最大， 易知，为正三角形， ，所以椭圆上不存在点P使得，故B错误； 对于C，由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，， 从而由椭圆的定义得，故C正确； 对于D，方法一，∵①， 又在， ， 即中，②， 联立①②得， 的面积为. 方法二： 所以D错误. 故选：AC 44．（24-25高二上·云南红河·期末）已知点，动点到的距离和它到直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为： B．曲线上存在点，使得 C． D．若为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 【答案】AD 【分析】由两点间距离公式代入计算，即可判断A，假设存在，代入计算，即可判断B，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式代入计算，即可判断C，结合椭圆方程与斜率公式代入计算，即可判断D. 【详解】对于A选项：设，由动点到的距离和它到直线的距离的比是常数， 得，化简得曲线的方程为：，故A正确； 对于B选项：假设存在，则， 而的最小值为，与假设矛盾，所以假设不成立， 即不存在点，使得，故B错误； 对于C选项：设联立方程组， 化简得：，由根与系数的关系，， 所以，故C错误； 对于D选项：由题知关于原点对称，设，则， 设， 因为点是曲线上的点， 所以，， 由，得 ，故D正确； 故选：AD. 45．（23-24高二上·云南昆明·期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（    ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 【答案】AC 【分析】由椭圆定义可判断A；由为定值以及的范围可判断B；求出，的坐标，由数量积公式得出，可判断C；求出，的坐标，由三角形面积公式可判断D. 【详解】设椭圆的左焦点为，则，所以为定值6，故A正确； 的周长为，因为为定值6， 易知的范围是，所以的周长的范围是，故B错误； 将与椭圆方程联立，可解得，， 又易知，所以， 所以为直角三角形，故C正确； 将与椭圆方程联立，解得，， 所以，故D错误. 故选：AC． 46．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，若，则（    ） A． B．的面积等于 C．直线l的斜率为 D．C的离心率等于 【答案】AD 【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得B错误；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于. 【详解】由，不妨设，，， 又，可得， 利用椭圆定义可知，所以可得， 即，所以点P即为椭圆的上顶点或下顶点， 如图所示，由，，，可知满足， 所以，故A正确； 所以为等腰直角三角形，且， 因此的面积为 ，故B错误； 此时可得直线l的斜率，故C错误； 在等腰直角中，易知，即可得，故D正确， 故选：AD． 47．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点. （1）若直线过右焦点（不与轴重合），则的周长为 . （2）若直线为，当的周长最大时，的面积为 . 【答案】 ; . 【分析】利用椭圆的定义即可求出周长，利用几何意义结合椭圆定义即可求出最大值，从而可求面积. 【详解】 由椭圆定义可得： 则的周长， 故的周长为； 由的周长， 当且仅当直线为时，此时直线过椭圆的焦点，取到周长的最大值， 此时把代入椭圆方程得：， 即此时的面积为. 48．（25-26高二上·云南·期中）已知是椭圆上的一点，且点P在第一象限，以点P及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】先设P点，再根据面积得出，再代入计算求解. 【详解】设，， 因为， 又因为点P在第一象限，所以， 又因为P是椭圆上的一点，代入，， 可得P的坐标． 故答案为：. 49．（24-25高二上·云南文山·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则 ． 【答案】 【分析】联立方程，根据求出的范围，再将转化为点到的距离和点到的距离之比，即可得解. 【详解】联立，消去可得， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为， 易知，，则，， ，解得或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将转化为点到的距离和点到的距离之比，是解决本题的关键. 50．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 【答案】 【分析】由三角形面积比可得两焦点到AB距离之比，列方程求解即可. 【详解】如图， 联立，消去y可得， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为， 由椭圆方程知，，则，， ，解得或（舍去）． 故答案为：． 51．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】令，应用点差法及直线斜率、中点坐标得，即可求离心率. 【详解】令，则，可得， 所以，又为线段的中点，且直线斜率为， 所以，则. 故答案为： 52．（22-23高二上·云南·期末）已知椭圆，，过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，若直线平分线段，则C的离心率等于 ． 【答案】 【分析】设，将坐标代入椭圆方程，并且两式作差，化简可得，利用以及离心率公式求解即可． 【详解】设，则，故，即，因为为的中点，故，即，所以，即． 故答案为： 53．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而可得离心率． 【详解】解：设，， 是线段的中点， ，两式相减可得， 整理得，即， ∵弦的斜率为 ，即 ． 故答案为：． 地 城 考点05 椭圆中参数的最值与范围 54．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值． 【详解】（1）依题意，，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，而，则， 周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以周长的最大值为. （3）设直线的方程为，， 由消去得：，显然，， ， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 55．（21-22高二上·云南曲靖·期末）已知椭圆经过两点． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点代入椭圆方程，解得答案. （2）设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，根据相切得到，计算两条直线之间的距离，得到面积的最大值. 【详解】（1）椭圆经过两点，则， 解得：，故椭圆方程为：； （2），设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， ，即，，即， 要使的面积最大，则为直线与椭圆在第三象限的切点，此时， 的方程为：， 又直线的方程为：， 点到直线的最大距离为直线与直线的距离，， 又， 的最大面积. 56．（21-22高二下·云南丽江·期末）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，由此可求得椭圆的方程. （2）对直线斜率分成不存在、直线的斜率为、直线的斜率不为三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得， ，解得， 所以的方程为. （2）圆的圆心为，半径圆. ①当直线的斜率不存在时，方程为或， 于是有或 解得， 所以.                  ②当直线的斜率为时，方程为或， 于是有或 解得， 所以.                     ③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为， 因为直线与圆 相切，所以，得 建立方程组，消并化简得， . 设,,则,， 所以= 而，当且仅当，即时，等号成立. 所以 ， 所以. 综上所述，的取值范围是. 57．（21-22高二上·云南昭通·期末）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的离心率、点在椭圆上以及得到的方程组，进而得到椭圆的标准方程； （2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到三角形的面积，再利用基本不等式求其最值. 【详解】（1）解：由题可得，且， 将点代入椭圆方程，得， 解得，， 即椭圆方程为； （2）解：由（1）可得，， 设：，联立， 消去，得， 设，，则， 则 所以 ，当且仅当，即时取等号， 故的面积的最大值为. 58．（25-26高二上·云南·期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆上一点． (1)求的方程； (2)椭圆的左､右顶点为，直线与交于不同的两点（不与重合），直线与直线的斜率满足，且直线与直线交于点，直线与直线交于点． ①求证：直线为定直线； ②求四边形面积S的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）根据题意结合椭圆定义可得，进而可得和椭圆方程； （2）①根据题意结合椭圆方程可得，，设直线方程求交点坐标即可；②设，利用韦达定理结合可得，进而求面积，结合函数单调性求最值. 【详解】（1）因为椭圆焦距，所以， 可知左､右焦点分别为， 又因为在椭圆上，则， 可得，所以E的方程为：. （2）①由题可知：，    设，则，可得， 所以， 同理，设， 则， 联立，解得点， 联立，解得点 所以直线为定直线：； ②由题可得：的斜率不为0，设， 联立：得： 则，， 因为， 可得， 整理可得， 代入韦达定理可得：， 因为，可得，解得， 满足，所以直线过左焦点， 因为，则， 可得， 则 ， 即， 可得， 令，则，， 可得， 因为函数在为增函数， 所以当，即时，S取得最小值，且. 59．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，上，下顶点分别为P、Q，且和的面积分别为2和. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线l的斜率为k，若直线l与C交于E、F两点，且，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知可得，且求参数，即可得椭圆方程； （2）令的中点为，则，且，则，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及两点式斜率公式得到，进而有，再确定范围求k的取值范围. 【详解】（1）由题设，且， 所以，则； （2）令的中点为，则，且，    由，则， 若时，，即，则， 联立，得， 所以， 且， 所以①， 所以，则，即， 将代入①有②，显然时也满足； 将代入，则， 由，满足②， 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，令的中点为，，联立椭圆方程，应用韦达定理和两点式求斜率列方程求得、为关键. 60．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆C：的一个焦点为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：（）与椭圆C交于M，N两点，求（O为坐标原点）面积的最大值及此时t的值． 【答案】(1)； (2)最大值为，． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及基本不等式计算即可. 【详解】（1）设椭圆焦距为，由题意得， 所以椭圆C的方程为； （2）如图，设，， 由，得， 因为直线l：（）与椭圆C交于M，N两点， 所以，解得， 所以，， 所以 ， 因为点O到直线l的距离为， 所以的面积为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为，此时． 地 城 考点06 椭圆中的定值、定点问题 61．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆C：的上、下焦点分别为，，则（    ） A．与C有相同离心率的椭圆标准方程一定是 B．设，点P是椭圆上任意点，则有最小值 C．过圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直 D．A，B为椭圆C的左右顶点，M为曲线C上不同于A，B的一点，则直线MA、MB的斜率之积为 【答案】BCD 【分析】求出的离心率，举例说明判断A；结合椭圆的定义及线段和差关系求解判断B；在圆上任取点，按切线斜率存在与否求解判断C；利用斜率坐标公式，结合点在椭圆上计算D. 【详解】椭圆C：的焦点，其长轴长为， 对于A，椭圆C的离心率为，当椭圆方程为时，其离心率为，A错误； 对于B，点在椭圆内， ，当且仅当是线段的延长线与的交点时取等号，B正确； 对于C，设圆上任意点，， 当或时，，而直线与直线与椭圆都相切； 当过点向椭圆引的切线斜率存在且不为0时，设切线方程为， 由消去得，， ，整理得， 设两条切线的斜率分别为，则，即两条切线垂直， 因此过圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直，C正确； 对于D，，设，则，， 直线MA、MB的斜率之积为，D正确. 故选：BCD 62．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知椭圆的左，右焦点为，，A，B分别为它的左右顶点，点P为椭圆上的动点（P不在x轴上），下列选项正确的是（    ） A．存在点P使得 B．的周长为 C．直线PA与直线PB的斜率乘积为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】首先求出、、，根据椭圆的几何性质可知当在椭圆的短轴顶点时取得最大值，即可判断A；根据椭圆的定义判断B；设 ，求出即可判断C；利用基本不等式判断D. 【详解】椭圆，则，，，则，， 对于A：当在椭圆的短轴顶点时取得最大值， 不妨取，此时， 所以为锐角，所以不存在点使得，故A错误； 对于B：因为，，所以的周长为，故B正确； 对于C：因为，，设 ， 则，故C错误； 对于D：因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：BD 63．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据离心率即可求解椭圆方程，即可联立直线与椭圆方程，根据点斜式求解直线方程，即可化简求解. 【详解】因为椭圆的离心率为，椭圆C过点， 椭圆C的标准方程为，由题可知直线PF的斜率存在， 设直线，则， 联立直线与椭圆方程得， 则，， 所以，整理得， 又 ， 所以直线QM的方程为，故直线QM过定点． 故答案为： 64．（25-26高二上·云南昆明·期中）椭圆：上的一个动点，点到右焦点的距离的最小值为1，的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线不经过原点，且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值； (3)若直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近点的一侧）.在直线上是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）利用两点间的距离公式以及椭圆方程代入化简，求出最值即可得，再结合即可求解求出椭圆方程； （2）利用点差法整理即可得为定值； （3）利用定比点差法得出与的交点满足，结合解三角形知识得出，求出方程，再求出与交点即可得点. 【详解】（1）设，右焦点，则， 由于，则，所以， 所以当时，，又，解得， 所以， 椭圆的方程为. （2）设， 由于中点为，则， 由于在椭圆上，则， 两式相减得， 整理得，即 由于， 所以为定值. （3）设，点在线段上，且满足，则，，则①，②， 由点在椭圆上，则， ，再除以整理得： ， 代入可得，即点在直线上，所以点为与的交点. ，同理， 由于， 若，则， 显然，则， 则， 所以， 由于直线：，则，直线：， 所以存在符合题意. 65．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，长轴为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，求弦长； (3)点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【详解】（1）由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. （3）证明：由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为y=0，此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且，则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 66．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由椭圆的离心率及过点，结合，列方程求解即可. （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，由题意，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求解，即可得解. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. （2）设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 67．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知椭圆的右焦点为，且，直线与椭圆相交于A、B，A为上方的交点. (1)求椭圆的方程； (2)过点A作两条互相垂直的直线，分别于椭圆相交于P，Q，证明：直线PQ过定点； (3)在中，过点A作PQ的垂线，垂足为H，是否存在H，使H到左顶点的距离最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)直线恒过定点. (3)所以存在点满足题意，且H到左顶点的最小距离为. 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求解即可； （2）先求出，设直线的方程为：，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用，可得的等量关系，再将其代入直线的方程，即可求出直线PQ过的定点； （3）结合（2）中所得，根据，可知点在以为直径的圆上，再求最小值即可. 【详解】（1）由题意可得：，即椭圆. （2）证明：把代入椭圆可得：， 因为A为上方的交点，所以， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，联立， ，， 因为，所以， 所以， 整理得：， 所以， 化简可得：， 即，或； 当时，直线恒过A点，不合题意； 当时，直线， 恒过定点， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为：， 代入，解得：， 设， ， 所以 则，解得：（舍去）或， 所以直线的斜率不存在时，直线恒过定点. 综上所述：直线恒过定点. （3）设直线恒过定点，由题意可得：，， 则点在以为直径的圆上，其中圆心为的中点， 半径，所以点的轨迹方程为， 设椭圆的左顶点为，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以存在点满足题意，且H到左顶点的最小距离为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 68．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为，．且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，再由点在椭圆上即可求解； （2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，由，求得，即可求解； 【详解】（1）由题意，得， 所以离心率． 椭圆的方程为．因为椭圆经过点， 所以，解得，， 所以椭圆的方程为． （2） 易知，设，，直线的方程为，且． 联立，消去得． 由，得． 所以，． 因为， 所以． 化简得． 所以，又， 化简得，解得，即直线恒过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 69．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【详解】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）证明：由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 70．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知和是椭圆：（）上的两点，过点的直线与交于，两点. (1)求的方程； (2)若△的面积为，求直线的方程； (3)在轴上是否存在点，使，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在， 【分析】（1）由题意可得，再将代入椭圆的方程求出，即可得出答案. （2）设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆的方程求出出，再表示出的面积，解方程即可求出的值，进而求出直线的方程； （3）由，可得，将韦达定理代入化简即可. 【详解】（1）由题设知，因在上，所以，解得， 所以的方程. （2）由题设知直线的斜率不为，故设直线的方程为，设，， 联立，消得， 显然成立.，， ， 即，即， 即，解得或. 所以直线的方程为或.           （3）假设在轴上存在点，使， 记直线的斜率为，直线的斜率为， 因，所以.因，， 即，即， 即，因，， 即， 即， 由（2）知.，，所以， 即，即，解得（舍去）或，所以， 所以在轴上存在点，使. 【点睛】思路点睛：本题第三问考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点. 71．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆，，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN，均不与x轴垂直． (1)若直线l过点，求弦MN的长； (2)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，直接解出两点坐标，再利用两距离公式即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入中计算结果为定值． 【详解】（1）由题意知直线的方程为， 联立，解得或， 则， （2）设直线的方程为，,，,， 联立，消去得， 由，得， 则． 因为直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再化简变形，最后代入韦达定理式即可. 72．（24-25高二上·云南大理·期末）已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆的离心率； (2)过点的直线与椭圆交于、两点（、不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于、两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知可得出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的离心率； （2）（i）设、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程； （ii）求出、，以及直线、的方程进而可得出点、的纵坐标，结合韦达定理计算可得出为定值. 【详解】（1）由、可知，，则， 所以，即椭圆的离心率为. （2）由（1）可知椭圆的方程为， （i）如图，设、， 若与轴重合，不合乎题意， 设过点的直线的方程为， 联立联立得：， 所以，， ， 得，所以， 所以直线的方程为. （ii）由（i）可知，， ， 直线的方程为，令，得， 直线的方程为，令，得， ， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 73．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知椭圆的焦距为4，点在上，直线与交于，两点. (1)求的方程. (2)若，求的最大值. (3)若点与重合，过作斜率与互为相反数的直线，与的另一个交点为，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用椭圆的定义和点坐标列方程组求解即可； （2）依题意可得直线的方程为，设，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入弦长公式，化简即可求得最大值； （3）根据题意可得直线的方程为，直线的方程为，分别与椭圆方程联立，解出点的坐标，代入斜率公式即可求解. 【详解】（1）依题意可得解得 故的方程为. （2）依题意可得直线的方程为，设，， 联立可得， 则，，，， 由弦长公式可得， 当时，取得最大值，且最大值为. （3）根据题意可得直线的方程为，设， 由得， 则，得，， 设直线的方程为，. 由得， 则，得，， 直线的斜率为， 故直线的斜率是定值，且定值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为，形式； （5）代入韦达定理求解. 地 城 考点07 椭圆中与向量有关的问题 74．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．以线FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，不经过点A的直线l与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之积为，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆定义即可得方程； （2）设直线l的方程为，联立方程组，结合韦达定理和求出的值，根据直线方程即可求出定点. 【详解】（1）由题意可知：， 则， 可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线的方程为. （2）设直线l的方程为，，， 联立方程组，得， 则， 且， 由，即， 化简得，解得或（舍） 所以直线l的方程为， 因此直线l过定点. 【点睛】关键点点睛：根据椭圆定义求曲线方程. 75．（22-23高一下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左,右焦点分别为,,长轴长为,点在椭圆外,点在椭圆上,则（    ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据点在椭圆外,求出的取值范围,即可求出离心率的取值范围,从而判断A;根据离心率求出,则,即可判断B;设上顶点,得,即可判断C;根据,利用基本不等即可判断D. 【详解】由题意得,又点在椭圆外,则,解得, 所以椭圆的离心率,即椭圆的离心率的取值范围是,故A正确; 当时,,所以的取值范围是,即,故B正确; 设椭圆的上顶点为,,,由于,所以存在点使得,故C正确; 因为点在椭圆上,所以, 则 , 当且仅当时,等号成立, 所以的最小值为,故D不正确. 故选:ABC. 76．（21-22高三上·云南昆明·阶段练习）已知点M为椭圆上任意一点，AB是圆的一条直径，则的最大值与最小值的和是（    ） A．20 B． C．40 D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算与数量积运算可将所求表达式化为，根据椭圆上的点与焦点的距离关系即可得结果. 【详解】设圆的圆心为，因为是圆的一条直径， 所以， 又因为点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，所以， 所以，即， 所以的最小值为，最大值为， 又因为，所以的最大值与最小值的和是， 故选：C. 77．（21-22高二上·云南红河·阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，是圆的一条直径，则的最大值与最小值的和为 . 【答案】40 【分析】设，，得到，又因为得到，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】因为圆，圆心半径为， 设，， 因为，， 所以 . 因为在上，所以， 所以，， 函数，为对称轴为，开口向上的抛物线， 当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为，所以最大值与最小值的和为. 故答案为：. 78．（23-24高二上·云南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过两点，． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用向量数量积的坐标运算列方程，再通过联立方程组来求得的坐标. 【详解】（1）因为椭圆经过，， 则，，解得，． 所以椭圆的方程为． （2）由（1）知，，假设椭圆上存在点，使得， 则，即， 联立，解得，． 椭圆上存在点使得， 点坐标为或或或． 79．（24-25高二上·云南昆明·期中）如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， (1)若轴，求的面积； (2)若，求点的坐标； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题设条件，直接求出，即可求解； （2）设，直线的方程为，联立椭圆方程，求出，结合条件得到，即可求出，从而求解； （3）直接求出的纵坐标，从而得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，由椭圆，得，， 则，，，所以，， 当时，由，得，所以，       所以的面积为． （2）设，，则直线的方程为， 由，消可得，整理得， 所以，得， 所以，       因为，所以，可得， 所以，解得，代入，得出， 所以点的坐标为. （3）设，由（2）得，则直线的方程为， 由，消得到， 所以，得， 得到， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为． 80．（24-25高二上·云南·期中）设点、分别是椭圆的左、右焦点，且椭圆上的点与两焦点构成的三角形面积最大值为4.点、是椭圆上位于轴上方的两点，且向量与向量平行. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积； (3)当时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆焦点三角形面积为4和椭圆的性质求解即可； （2）可设，根据向量的数量积求出点的坐标，再根据直线平行，求出的坐标，利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三角形的面积公式计算即可； （3）向量与向量平行，不妨设，设，根据坐标之间的关系，求得M的坐标，再根据向量的模，即可求出的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程． 【详解】（1）由于三角形的底边长即椭圆的焦距为定值，所以面积最大时高最大，即三角形的顶点为椭圆的上顶点， 由椭圆方程可得， 所以，所以椭圆方程为. （2） 由（1）可得，， 点是椭圆上位于轴上方的两点， 可设，则 因为，， 解得，， ，， 因为向量与向量平行， 所以直线的斜率为，所以直线方程为， 联立方程组，解得，（舍去），或，， 所以，， 点到直线直线的距离为， 的面积， （3）因为向量与向量平行，所以设， 因为，，即， 设， ，， ， 因为，， ， ， ， ， ， ， ， 解得，或（舍去） ， ， ， 所以， 直线的方程为， 即为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是设，利用同角的三角函数关系求出的坐标，再求出直线方程；第三问关键是设，再由坐标和模长关系求出. 81．（22-23高二上·云南·期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． (1)求的方程； (2)设过点的直线与相交于，两点，且，求的面积及直线的方程． 【答案】(1) (2)，或． 【分析】（1）设，根据直线的斜率求出，再根据离心率及求出、，即可得解； （2）设直线的方程为：，、，联立直线与椭圆方程，消元，根据求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到，即可求出，从而求出直线方程，由弦长公式求出，再求出点到直线的距离，最后根据求出的面积. 【详解】（1）解：设，因为直线的斜率为， 所以，解得． 又，解得，所以椭圆的方程为． （2）解：设、， 由题意可设直线的方程为：， 联立，消去得， 当，所以，即或时， ，， 由，得，代入上解得，即， 又 点到直线的距离， 所以， 此时直线的方程为：或． 82．（20-21高二上·云南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 为动点， 分别为椭圆的左右焦点.已知为等腰三角形. （1）求椭圆的离心率e； （2）设直线与椭圆相交于、两点，M是直线上的点，满足，求点M的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据已知条件为等腰三角形和椭圆的性质，列出关于的方程，即可解出离心率. （2）由（1）写出椭圆和直线的方程，联立解出两点的坐标，设M的坐标为，由条件列出方程，此时方程中有三个未知量，由直线：得：，将其代回方程中解出点M的轨迹方程，再讨论点M的轨迹方程的定义域即可. 【详解】（1）解：设 ， 由题意，可得，即. 整理得，得（舍），或.所以. （2）解：由（1）知 ， 可得椭圆方程为， 直线方程为. A，B两点的坐标满足方程组. 消去y并整理，得，解得 . 得方程组的解：，. 不妨设 ，设点M的坐标为， 则 ， 由，得. 于是，. 由， 即， 化简得.将代入， 得.所以. 因此，点M的轨迹方程是. 【点睛】本题主要考查了椭圆的方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $