专题08 选填压轴精选（期末真题汇编 云南专用）高二数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 板块01空间向量与立体几何 板块02直线与圆 板块03圆锥曲线 板块04数列 空间向量与立体几何 目目 板块01 1.(24-25高二上·云南曲靖宣威第十中学.期末)已知空间四边形0PQR的四个顶点0，P,Q,R的坐标分别为 (00,0),(-1,0,1),(0,1-1),(2,11),若S为平面PQR上的一个动点，则当PS=22,且P0,P的夹角6取 得最小值时，0=() A.月 B.5 c.9 D.36 2.(25-26高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校期中)下列命题中，正确的是() A.对空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,若OP=20A-OB+0C,则，P,A,B,C四点共面； B.己知向量à=(1，d,2),6=(-21,8),若ā与的夹角为钝角，则实数的取值范围为(-∞，)： C.若{a,b,为空间向量的一组基底，则{a+,b+c,c+构成空间向量的一组基底； D.已知空间向量d,,“a/乃的充要条件是“1eR,使得d=b 3.(25-26高二上云南文山文山第一中学月考)已知向量AB=(1,2,1),AC=(0,1,-2)则平面ABC的一个法向 量可以是() A.(5,-2,-1)B.(-6,2,2) C.(3,1,-2) D.(4,-3,1) 4.(25-26高二上·云南玉溪第三中学·月考)已知0，A,B,C为空间四点，且向量0A,0B,0C不能构成空间的一 组基底，则一定有() A.0A,0B,0C共线 B.O,A,B,C中至少有三点共线 C.0A+0B与0C共线 D.0,A,B,C四点共面 5,(25-26高二上·云南部分学校)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形， AB=2,AD=4,PA=5,E为棱BC的中点，O为四棱锥P-ABCD外接球的球心，F为球0的球面上的一个动 点，则0E·OF的取值范围是() A.[-4,4 B.[-2V3,23 c.【, D. 1/15 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(25-26高二上·云南文山州文山第一中学月考)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=3,M 为侧面DCC1D1内的一个动点，且A1C⊥BM,记BM与平面A1ABB1所成的角为a,则sina的最大值为() A.22 B.哥 C.222 17 15 D. 7.(24-25高二下·云南部分校·期末)在体积为4V2的正四棱锥P-ABCD中，AB=2,E,F为底面ABCD内的任意 两点，则直线PA与直线EF所成角的余弦值的最大值为() A罗 B.9 c. D.vio 5 8.(23-24高二上云南文山州广南县第十中学校月考)如图所示，空间四边形0ABC中，0A=a,0B=b,0C =c,点M在OA上，且OM=2MA,N为BC中点，则MN等于() M A-多+8 B.-a+6+8 2→ c.数+B-8 D.a+苏-c 2 9.(24-25高二上·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分 别为BB1DD1的中点，则() D B D A.CE与OF所成角的余弦值为画 5 B.平面ABCD与平面AFO所成的角为 C.A,E,C1,F四点共面 D.点A1到平面ABC,的距离为S 10.(24-25高二上·云南红河州、文山州期末)对三维空间中不共线的三点A,B,C和任一点0，点P在平面ABC 内的充要条件是存在唯一有序实数组(x,y,z),使0P=xOA+y0B+z0C且x+y+z=1.现已知A,B,C,D四点共 2/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 面，0为空间中任意一点，且满足CD=30C-x0A-y0B,其中x>0,y>0,则+的最小值为() A.有 B.1 c. D.4 11.(25-26高二上·云南昆明第一中学期中)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长 均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是() A.AC1=6 B.AC1⊥BD C.向量AA1与B1C的夹角是120° D.BD1与AC所成角的余弦值为S 12.(25-26高二上·云南美美与共”民族中学联盟)关于空间向量，以下命题正确的是（) A.若0为平面ABC外任意一点，OM=0A+0B+0C,则M,A,B,C四点一定共面 B.若直线的方向向量为i=(2,4,-2),平面aα的一个法向量为i=(-1,-2,1),则1‖α C.若平面a,β的法向量分别为元，，且元=(1,2，-2)，市=(-2,3,2)，则a1 D.若向量节=m元+n时+k2(元，z是不共面的向量，则称在基底屁，，》下的坐标为(m,n,k),若在基底 a,6下的坐标为(1,23)，则师在基底{位-6，ā+bd下的坐标为(-3) 13.(25-26高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校期中)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D 中，E为棱CC1的中点，则下列结论正确的是() D >、、B A D B A.异面直线AB1与A1D所成角为 B.直线DB与平面ABCD所成角的正弦值为9 3/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.点B1到直线ED1的距离为3 D.异面直线DB1与ED,间的距离为号 14.(25-26高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校)关于空间向量，以下说法正确的是() A.若对空间中任意一点0，有0P=0A+0B+0C,则P、A、B、C四点共面 B.已知两个向量=(1，m,3),b=(5,-1,m,且//b,则mn=-3 C.已知两个向量=(2，k,-1),元=(-1,2,2)，且元1元，则k=2 D.若平面ABC的法向量元=(1,2,1)，PA=(0,1,0),则点P到平面ABC的距离是2 15.(25-26高二上云南昆明富民县昆明行知中学·月考)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=则(） D A.{AA1,BD1,AB不能构成空间的一个基底 B.BD1=2 C.BD⊥平面ACC1A1 D.直线BD,与直线AA1所成的角为4 16.(25-26高二上·云南昭通直中学·月考)下列说法中，正确的有() A.若平面ABC的法向量元=(1,2,1)，直线的方向向量i=(-2,-4,-2),则直线与平面ABC平 行 B.若平面ABC的法向量元=(1,2,1)，直线的方向向量元=(-2，-4，-2)，则直线l与平面ABC垂 直 C.若直线的方向向量=(-1,1，-2)，直线m的方向向量b=(2,1,1),则异面直线l与m所成角为 D.若直线的方向向量d=(-1,1,-2),直线m的方向向量=(2,1,1)，则异面直线l与m所成角为 3 4/15 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 17.(25-26高二上云南玉溪第三中学·月考)已知空间向量=(-2，-1,1)，b=(3,4,5),下列结论正确的是 () A.1a+b=35 B.与洞向共线的单位向量是(-9，-，9 C.若直线1的方向向量为，平面a的法向量为m=(4,2,k,且l//a,则实数k=-2 D.在上的投影向量为-b 18.(25-26高二上云南部分学校)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2,AD=3,AB=4,E为棱A1B1的中 点，M,N分别为直线AD1,CE上的动点，则线段MN的长度的最小值为 19,(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟)如图，在棱长均为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， ∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，则A1C= 20.(25-26高二上云南昭通第一中学·开学考)如图，二面角a-l-B的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别 在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角a-l-B的平面角为，且AB=4,AC=6,BD=5, 则CD= B 21,(23-24高二上·云南昭通直中学月考)有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两 种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如 图3，这是一个棱数为24，棱长为V2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成 是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，这个正多面体的表面积为一；若点E为线段BC上的动点， 如图则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为， 5/15 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B 22.(23-24高二上·云南昭通直中学月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知底面四边形ABCD为矩形， ∠A1AB=∠A1AD=120°，AA1=2,AB=AD=1,则AC1=· 目目 板块02 直线与圆 23.(21-22高二上·云南师范大学附属中学.期中4B为⊙C:(x一2)2+0y-42=25的一条弦，|AB引=6，若点 P为⊙C上一动点，则PA.PB的取值范围是() A.[0,100] B.[-12,48] C.[-9,64] D.[-8,72] 24.(25-26高二上·云南普洱·期中)设a>0,b>0,直线ax+by-1=0经过圆C:x2+y2-2x-2y=0的圆 心，则后+的最小值为（） A.4 B.6 C.8 D.10 25.(25-26高二上·云南普洱·期中)如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1）， 图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点(2,1)，若圆C经过点A(2,15),则圆C的半径为() A.8 B.7V2 C.10 D.8V2 26.(25-26高二上云南昆明富民县昆明行知中学月考)过点P(3,0)作直线l,使它被两条相交直线2x-y-2=0 和x+y+3=0所截得的线段恰好被点P平分，则直线的一般式方程为() A.8x+y-24=0 B.8x-y-24=0 C.x-8y-3=0 D.x+8y-3=0 6/15 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 27.(25-26高二上·云南云南民族大学附属高级中学等两校)己知直线kx-y-k+2=0与曲线y=V1-x2有1 个公共点，则实数k的取值范围是() A. B.(1,+o)u c.( D.) 28.Q425高二上云南楚维舞族民族中学月考)已知动点M与两个定点0(0,0,4(3,0，且9-2，则直 线OM的斜率的取值范围是() A.[2V6,62 B.哥 c.9,哥 D.(-3,- 29.(25-26高二上云南砚山县第一中学月考)设a>0,b>0,直线ax+by-1=0经过圆C:x2+y2-2x-2y=0 的圆心，则+的最小值为() A.2 B.4 C.6 D,8 30.(25-26高二上·云南玉溪第一中学.月考)直线2x+y=0被圆x2+y2-4x+6y+8=0所截得的弦长为 () A.2 B.4 C.230 D.430 5 31.(25-26高二上·云南普洱期中)己知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不 同的A(x1y1),B(x2y2)两点，下列结论正确的是() A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.y1+y2=2b C.2x1+x2=a D.2ax1 +2by1 =a2+b2 32.Q526高二上云南玉溪第-中学月考)已知点4(1,0，B(-20,动点P清足盼=2，则下面结论正确 的为() A.点P的轨迹方程为(x+3)2+y2=4B.△PAB面积的最大值为4 C.点P到点A的距离的最大值为6 D.PA·PB的最大值为18 33.(23-24高二下·云南保山期末)平面内到两个定点A,B的距离比值为一定值(1≠1)的点P的轨迹是一个圆， 此圆被称为阿波罗尼断圆，俗称"阿氏图.已知半面内点4(10，B(40,00,0),动点P满足-记点P 的轨迹为π，则下列命题正确的是() A.点P的轨迹的方程是x2+y2=4 B.过点N(1,1)的直线被点P的轨迹所截得的弦的长度的最小值是2V3 C.直线x-y+4=0与点P的轨迹t相离 D,己知点M是直线L:x-y+4=0上的动点，过点M作点P的轨迹的两条切线，切点为C,D,则四边形 7/15 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 OCMD面积的最小值是4 34.(22-23高二下·云南红河州开远第一中学校月考)已知直线l:x+y-3=0与圆C:(x-1)2+y2=1,若点 P为直线1上的一个动点，下列说法正确的是() A.直线1与圆C相交 B.与直线1平行且截圆C的弦长为W2的直线为x+y=0或x+y-2=0 C.若点Q为圆C上的动点，则1PQ1的取值范围为[V2-1W2+1] D,过点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则PC·|ABI的最小值为2 35.(25-26高二上云南“美美与共”民族中学联盟)已知直线l1:mx+y+n-m=0(m,n不全为0)与直线l2 :-nx+my+n+m=0(m,n不全为0)分别与圆x2-6x+y2=16交于AC与BD,则四边形ABCD的面积取值 范围为 36.(25-26高二上·云南师范大学附属中学期中)己知圆C:(x-2)2+(y-2)2=r2(>0)在y轴右侧，点P在y 轴上运动，以PC为直径的圆与圆C交于点A,B,且PA最小值为V2,点D为直线AB与直线PC的交点，O为坐 标原点，则r=,IOD1最小值= 37.(22-23高二上·云南沧源佤族自治县民族中学·月考)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,过点P(3,3)作不过圆 心的直线交圆C于A,B两点，则△ABC面积的最大值是」 38.(23-24高二上·云南昆明第三中学期中)已知点P为直线：x+y-2=0上的动点，过点P作圆C:x2+2x+y2 =O的切线PA,PB,切点为A,B,当|PC·|AB最小时，直线AB的方程为 圆锥曲线 目目 板块03 39,Q5,26高二上云南昆明官镀区云南大学附属中学星摆学校期中已知双曲线C:。号=1，则（) A.1的取值范围是(6，-3) B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上 C.C的焦距为6 D.C的离心率的取值范围是(1,3) 40.(23-24高二上云南昆明第三中学期中)如图，双曲线器若=1〔Q>0,b>0)的两顶点为A1,42,虚轴两 端点为B1,B2,两焦点为F1,F2,若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D,则菱形F1 B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值为() 8/15 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 VA A.5-1 B.5+1 C.5+2 D.5-2 2 2 2 41.已知椭固C哈+兰=1Q>b>0)的左，右焦点分别为F,R,点P在精圆C上，者离心率e=,则椭圆 C的离心率的取值范围为() A.(0,W2-1) B.(o, c.停) D.[2-1,1) 42.Q5-26高二上云南昭通第一中学开学考)已知F1,P,是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且)PP1= IPF2,则该椭圆离心率的取值范围是() A.(o, B.1) c.(o, D.) 43.(2425高二上云南曲靖宣威第十中学期末)双曲线x2-6=1上一点P到它的一个焦点的距离为4，那么 点P到另一个焦点的距离为() A.2 B.6 C.2或6 D.4 44.(24-25高二上云南曲靖会泽县期末)19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动 了空间几何学的独立发展椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为 蒙日圆，椭圆c常+若=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,已知一动点P到两个定点A(3,0)、B (4,1)的距离满足。=V2,则点P的轨迹与椭圆号+兰=1的蒙日圆的交点个数为() A,1个 B.2个 C.3个 D.无公共点 45.2425高二上云南保山期末已知F1,F2为双曲线c哈-号=1(a>0)的左、右焦点，点P在双曲线C的右 支上(J顶点除外)，过点F1引∠F1PF2角平分线的垂线，垂足为点M,若|OM=2(0为坐标原点)，则双曲线 C的渐近线方程为() A.2x±V3y=0 B.V3x±2y=0 C.3x±4y=0 D.4x±V3y=0 9/15 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 46.(2425高二上云南玉溪期未)已知椭圆后+号=1与双曲线紧-若=1具有相同的焦点，则该双曲线的南 a281 近线方程为() A.y=±x B.y=± C.y D.y 47.(25-26高二上·云南曲靖第一中学期中)在平面直角坐标系x0y中，已知F为抛物线y2=x的焦点，点A (x1y1),B(x2y2)在该抛物线上且位于x轴的两侧，AB中点为W,OA.OB=2,则() A.X1x2=6 B.直线AB过点(2,0) C.△AB0与△AF0面积之和的最小值是3 D.过A,B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M,则MNIx轴 48.(25-26高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校)某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆 的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”利用此结论解决下列 问题：已知椭圆C芹+荒=1(Q>b>0)的离心率为号F1,F为C的左、右焦点且P2=2,A为C上一动 点，直线l:bx+ay-a2=0.说法中正确的有（) A.椭圆C的“蒙日圆”的面积为3π B.对直线l上任意点P,都有|PF1+IPF2l>2a C.椭圆C的标准方程为C:号+y2=1 D.椭圆C的“蒙日圆”的两条弦PM,PN都与椭圆C相切，则△PMN面积的最大值为3 49.(2425高二上云南昆明云南民族大学附属高级中学期中)已知点4，B是椭圆C号+发=1〔Q>b>0上 关于原点O对称且不与C的顶点重合的两点，C的左、右焦点分别为F1,F2,线段AF1,BF的中点分别为 P,Q,则() A.AF2+BF21=2a B.PF+QFl>a C.当直线AB与直线PQ之间的距离为b时，a>2b D.若0P10Q,则C的离心率的取值范围是（号，1） 50.(Q5-26高二上云南昭通直中学月考)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,P2,过点F1且斜 10/15 专题08 选填压轴题精选 板块01 空间向量与立体几何 板块02 直线与圆 板块03 圆锥曲线 板块04 数列 空间向量与立体几何 地 城 板块01 1．(24-25高二上·云南曲靖宣威第十中学·期末)已知空间四边形的四个顶点，，，的坐标分别为，，，，若为平面上的一个动点，则当，且，的夹角取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用空间向量求直线与平面的夹角，可知，结合向量运算求模长. 【详解】由题意可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面的夹角为， 则， 由题意可知：，则， 且， 所以． 故选：C. 【点睛】结论点睛：直线与平面内任一条直线的夹角的最小值即为直线与平面的夹角. 2．(25-26高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)下列命题中，正确的是（   ） A．对空间任意一点和不共线的三点，若，则，四点共面； B．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为； C．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的一组基底； D．已知空间向量，，“”的充要条件是“，使得”. 【答案】C 【分析】根据空间向量的共面定理的推论，可判定A错误；由与的夹角为钝角，得到且与不共线，结合数量积的运算和共线定理，可判定B错误；根据向量的共面定理和基底的概念，可判定C正确；根据向量的共线定理，以及充分、必要条件的判定方法，可判定D错误. 【详解】对于A，若四点共面，则存在实数使得， 且满足，又由中，， 所以四点不共面，所以A错误； 对于B，向量，， 若与的夹角为钝角，可得且与不共线， 由，解得， 设，可得，解得， 所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为，所以B不正确； 对于C，假设不能作为一个空间基底，即共面， 则存在实数使得，即， 因为为空间向量的一组基底，可得，此时方程组无解， 所以不共面，所以能作为一个空间基底，所以C正确； 对于D，若，此时，但不存在实数，使得，即必要性不成立； 反之：若，使得，则，即充分性成立， 所以，使得，的充分不必要条件，所以D错误. 故选：C. 3．(25-26高二上·云南文山文山第一中学·月考)已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 4．(25-26高二上·云南玉溪第三中学·月考)已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理可判断. 【详解】∵向量，，不能构成空间的一组基底， ∴，，共面， ∵向量，，有共同的点， ∴四点共面，故D正确； 当四点共面时， ，，不一定共线，故A错误； 中不一定有三点共线，故B错误； 与不一定共线，故C错误， 故选：D. 5．(25-26高二上·云南部分学校·)在四棱锥中，底面，底面为矩形，，为棱的中点，为四棱锥外接球的球心，为球的球面上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系可求得四棱锥的外接球半径和，结合向量数量积定义可求得结果. 【详解】连接交于点， 四边形为矩形，， 连接，则平面， 四棱锥的外接球半径， 又， ； ，. 故选：D. 6．(25-26高二上·云南文山州文山第一中学·月考)长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立空间直角坐标系，然后求出点的位置坐标，然后根据向量的夹角求出的最大值即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以. 因为，所以. 所以，所以. 因为向量是平面的一个法向量， 所以. 因为，所以. 所以. 因为，所以当时，取最小值为. 此时取最大值为. 故选：A.    7．(24-25高二下·云南部分校·期末)在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解. 【详解】设正四棱锥的高为，则，解得， 所以. 由已知，，， 设，且，又， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 设直线与直线所成角为， 所以当直线与直线平行或重合时，取得最大值，最大值为. 故选：A. 8．(23-24高二上·云南文山州广南县第十中学校·月考)如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照向量加减数乘运算法则计算即可 【详解】解：因为为中点，所以， 因为，所以， 则． 故选： B. 9．(24-25高二上·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．与所成角的余弦值为 B．平面与平面所成的角为 C．四点共面 D．点到平面的距离为 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出可判断A；判断出为二面角的平面角，再由可判断B；取的中点，连接，判断出四边形是平行四边形可判断C；利用点到平面距离的向量求法可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，则， ，， 对于A，， 所以， 所以与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，平面平面， 又因为为等腰三角形，则即为二面角的平面角， ，故B错误； 对于C，如图2，取的中点，连接， 由正方体的性质可知 ， 所以四边形是平行四边形，所以 ，同理可知： ，所以， ， 四边形是平行四边形，则四点共面，故C正确； 对于D，，， 设平面法向量为， 则，即， 令，则，则， 点到平面的距离，D错误.    故选：C. 10．(24-25高二上·云南红河州、文山州·期末)对三维空间中不共线的三点和任一点，点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数组，使且.现已知四点共面，为空间中任意一点，且满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据题干中四点共面的充要条件可得，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】由题意知，即， 因为四点共面，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 11．(25-26高二上·云南昆明第一中学·期中)如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，取空间向量的一个基底，利用空间向量的线性运算和数量积运算，逐项求解判断. 【详解】在平行六面体中，为空间的一个基底， 则，， ， 对于A，， ，A正确； 对于B，，则 ，因此，B正确； 对于C，，则， ，而， 因此向量与夹角是，C正确； 对于D，，则 ，而 ，， ，D错误. 故选：ABC 12．(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)关于空间向量，以下命题正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．若平面的法向量分别为，且，则 D．若向量（是不共面的向量，则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】ACD 【分析】根据空间共面的条件、线面平行的向量坐标表示、面面垂直的向量坐标表示以及基底坐标等知识逐项计算即可. 【详解】对于A选项：因为，所以四点共面，故A正确； 对于B选项，若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，故B错误； 对于C选项：因为，所以，所以，所以C正确； 对于D选项：由题意得，设， 则，解得，则在基底下的坐标为正确， 故选：ACD. 13．(25-26高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 【答案】ACD 【分析】要解决这道正方体中的空间几何问题，我们需要利用空间向量、异面直线所成角、线面角、点到直线的距离以及异面直线间的距离等相关知识，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A选项，在正方体中， 即为异面直线与所成角， 因为,所以为等边三角形， 因此，故A正确. 对于B选项,因为平面，所以是在平面上的射影， 那么直线与平面所成角为， 在中，， 则，故B错误. 对于C选项,以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.    则，那么 根据点到直线的距离公式： 又，， 代入可得.故C正确. 对于D选项,由, 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则 令，则，取， 根据异面直线间的距离公式， 又，则，故D正确 故选：ACD. 14．(25-26高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．已知两个向量，，且，则 D．若平面的法向量，，则点到平面的距离是2 【答案】BC 【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；由点到平面的距离公式即可判断D. 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，已知两个向量，，且， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C，因为，所以，得，正确， 对于D，因为平面的法向量，， 所以点到平面的距离是，D错误； 故选：BC 15．(25-26高二上·云南昆明富民县昆明行知中学·月考)如图，在平行六面体中，，则（    ） A．不能构成空间的一个基底 B． C．平面 D．直线与直线所成的角为 【答案】BCD 【分析】对于A：由题意得到不共面即可判断A不正确；对于B：由，结合向量的数量积计算即可判断；对于C：用向量法证得，再由线面垂直的判定定理即可判断；对于D：用向量法计算即可判断 【详解】对于A，因为在平面内，平面，所以不共面.能构成空间的一个基底，故A不正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，因为， 所以.，所以，所以. 又四边形为菱形，所以. 又，平面，所以平面.故C正确； 对于D，因为 ， 所以 ，所以， 所以直线与直线所成的角为.故D正确 故选：BCD. 16．(25-26高二上·云南昭通直中学·月考)下列说法中，正确的有（　　） A．若平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面平行 B．若平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面垂直 C．若直线的方向向量，直线的方向向量，则异面直线与所成角为 D．若直线的方向向量，直线的方向向量，则异面直线与所成角为 【答案】BD 【分析】由空间向量的关系得到线面的位置关系，由空间向量的夹角求得异面直线的夹角. 【详解】对于AB，，故共线，则直线l与平面垂直，故A错误，B正确； 对于CD，因为，又异面直线l与m所成角的取值范围是， 其夹角为，故C错误，D正确， 故选：BD 17．(25-26高二上·云南玉溪第三中学·月考)已知空间向量，，下列结论正确的是（    ） A． B．与同向共线的单位向量是 C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 【答案】BD 【分析】根据向量模的坐标表示判断A；计算可判断B；由条件得，计算可判断C，根据投影向量的定义可判断D. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，与同向共线的单位向量是，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C错误； 对于D，， 则在上的投影向量为，D正确． 故选：BD． 18．(25-26高二上·云南部分学校·)在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，进而可得点的坐标，利用，求解即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，， 所以， 所以， 所以， 当最小时，，， 所以，， 由，得，整理得①， 由，得， 整理得②， 由①②解得， .      故答案为： 19．(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则 .    【答案】 【分析】结合图象根据向量加减法得出的表达式，根据向量模长公式得出的表达式，再根据平行六面体的性质结合已知条件计算得出相应的向量数量积与模长值，最后代入的表达式求解． 【详解】如下图所示：   ， 平行六面体棱长均为1， ， 又 ，，， ． 故答案为：． 20．(25-26高二上·云南昭通第一中学·开学考)如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 21．(23-24高二上·云南昭通直中学·月考)有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图3，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，这个正多面体的表面积为 ；若点为线段上的动点，如图则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 ．    【答案】 【分析】根据正方形和等边三角形面积公式，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形，8个面为边长为的等边三角形， 故； 在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，， 则直线与直线所成角的余弦值 而， 故． 故答案为：；    【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解. 22．(23-24高二上·云南昭通直中学·月考)在平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则 ． 【答案】 【分析】取定空间的一个基底，表示出，再利用数量积的运算律求得答案. 【详解】在平行六面体中，，， 则，而，则， 而，则 ， 所以. 故答案为： 地 城 板块02 直线与圆 23．(21-22高二上·云南师范大学附属中学·期中)AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（    ） A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72] 【答案】D 【分析】取AB中点为Q,利用数量积的运算性质可得，再利用圆的性质可得取值范围，即求. 【详解】取AB中点为Q，连接PQ ， ， 又， ， ∵点P为⊙C上一动点， ∴ 的取值范围[－8，72]. 故选：D. 24．(25-26高二上·云南普洱·期中)设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】由题意得到，再由基本不等式乘1法即可求解. 【详解】由可得圆心坐标， 由题意，即， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为4， 故选：A 25．(25-26高二上·云南普洱·期中)如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点，则圆C的半径为（   ）    A．8 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据图象求得切点，结合圆经过点，求得圆的半径. 【详解】由图可知，直线过点，所以直线方程为， 即，斜率为. 由切点为，而在圆上， 所以圆心的纵坐标为. 设圆心坐标为， 则，解得， 所以圆心坐标为. 所以半径为. 故选：B 26．(25-26高二上·云南昆明富民县昆明行知中学·月考)过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一，当斜率不存在时，求出直线与两条直线的交点坐标，验证点是否为中点；当斜率不存在时，设直线且，用含的式子表示出直线与两条直线的交点坐标，再利用中点坐标公式列出关系式，求出即可直线；方法二，设直线与两直线的交点分别为，，利用中点坐标公式得到与，与之间的关系，分别代入直线方程求出点坐标，即可求出直线. 【详解】方法一： ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时与直线的交点分别为， 所截得的线段中点为，不是点，故不符合题意，舍去； ②当直线的斜率存在时，设直线且， 由可得，， 由可得， 由中点坐标公式可得，解得， 所以直线的方程为，整理得. 方法二： 设直线与直线交于点， 直线与直线交于点. 因为点为的中点，所以，即. 所以，解得. 所以直线的方程为，整理得. 故选：B 27．(25-26高二上·云南云南民族大学附属高级中学等两校·)已知直线与曲线有1个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线进行化简，得曲线表示上半圆，直线恒过定点，利用直线与圆的位置关系，数形结合求解即可. 【详解】由可得，，所以曲线表示上半圆， 又由直线即，可得恒过定点， 记，则， 当直线与半圆相切时， 圆心到直线的距离为，解得，如下图，    由图可知，当或时，直线与曲线有1个公共点. 故选：B. 28．(24-25高二上·云南楚雄彝族民族中学·月考)已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用动点与定点的距离之比为2，坐标化可以得到点的轨迹方程，数形结合即可求解. 【详解】设动点，则，化简得， 所以点M的轨迹为圆E：， 如图，过点O作圆E的切线，切点分别为M、，连接， 则，，所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C. 29．(25-26高二上·云南砚山县第一中学·月考)设，直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先求出圆心坐标，然后根据已知条件得到，然后根据基本不等式中1的妙用求出结果即可. 【详解】将圆化简为. 所以圆心坐标为. 因为直线经过该圆的圆心，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 此时的最小值为4. 故选：B. 30．(25-26高二上·云南玉溪第一中学·月考)直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所求弦长为. 故选：D 31．(25-26高二上·云南普洱·期中)已知圆：，圆：（）交于不同的，两点，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用圆的公共弦所在直线方程可判定A，D，利用圆半径相同，再根据圆的性质判定圆心连线与公共弦垂直且平分，利用中点坐标公式可判定B，C. 【详解】圆和圆交于不同的两点，， ∴两圆方程相减可得直线的方程为：， 即，分别把点，两点坐标代入 得：，， 上面两式相减得：， 即，所以选项A正确； 由上得：，所以选项D正确； ∵两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段与线段互相平分， 则有，， 变形可得，，故C正确，B错误. 故选：ACD 32．(25-26高二上·云南玉溪第一中学·月考)已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为4 C．点到点的距离的最大值为6 D．的最大值为18 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，再根据轨迹方程分别分析面积的最大值、点到点的距离的最大值以及的最大值. 【详解】设点，已知，，且， 可得：， 两边同时平方可得：即， 化简可得：， 配方可得：，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，A正确； 已知，，则， 因为点在圆上，所以点到轴的最大距离就是圆的半径， 根据三角形面积公式可得面积的最大值为：所以B错误； 点，圆心，则， 因为点在圆上，所以点到点的距离的最大值为，C正确； 设点，则，， 所以， 因为，即， 代入上式可得： ， 因为点在圆上，所以， 当时，取得最大值，最大值为，D正确； 故选： ACD. 33．(23-24高二下·云南保山·期末)平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 【答案】ACD 【分析】对于A：设点，结合题意分析求解即可；对于B：分析可知点在圆内，结合圆的性质分析求解；对于C：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D：分析可知当时，取到最小值，四边形面积取最小值，运算求解即可. 【详解】对于选项A：设点， 因为，整理可得，故A正确； 对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是， 且，可知点在圆内， 过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点， 根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误； 对于选项C：圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C正确； 对于选项D：因为四边形面积， 由数形分析可知：当时，取到最小值， 所以四边形面积取最小值，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：对于BD：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值. 34．(22-23高二下·云南红河州开远第一中学校·月考)已知直线与圆，若点P为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（    ） A．直线l与圆相交 B．与直线l平行且截圆的弦长为的直线为或 C．若点Q为圆上的动点，则的取值范围为 D．过点P作圆C的两条切线，切点分别为，则的最小值为2 【答案】BD 【分析】A选项，圆心到的距离大于圆的半径，A错误；B选项，设与直线l平行直线方程为，利用点到直线距离和垂径定理得到方程，求出或；C选项，圆心到直线的距离减去半径为的最小值，求出答案；D选项，推导出要想最小，只需的面积最小，由三角形面积得到只需最小，数形结合得到最小值为，从而得到答案. 【详解】A选项，的圆心为，半径为1， 则圆心到的距离为，故直线l与圆相离，A错误； B选项，设与直线l平行直线方程为， 则圆心到的距离为， 由垂径定理得，解得，故，解得或， 故与直线l平行且截圆的弦长为的直线为或，B正确； C选项，圆心到直线的距离减去半径为的最小值， 由A可知，圆心到直线的距离为，故的取值范围为，C错误； D选项，由题意可知，与相垂直，且四边形的面积为， 故要想取得最小值，则只需四边形的面积最小， 因为四边形的面积等于面积的2倍，故只需的面积最小，    因为， 其中⊥直线时，最小，最小为， 故四边形的面积最小值为，则最小值为2，D正确. 故选：BD 35．(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)已知直线不全为0与直线不全为0分别与圆交于与，则四边形的面积取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据直线的方程可知且都过定点，记圆心到的距离分别为，根据圆的垂径定理可得，求出后，分类讨论可得出四边形的面积取值范围． 【详解】因为且都过点，可得点在圆内， 又圆的圆心，半径． 记圆心到的距离分别为，根据圆的垂径定理， 得， 根据几何性质得，而当或，即有一条过圆心时，四边形面积最小为， 当时，得， 当且仅当时，四边形面积最大为． 故答案为：． 36．(25-26高二上·云南师范大学附属中学·期中)已知圆在轴右侧，点在轴上运动，以为直径的圆与圆交于点，且最小值为，点为直线与直线的交点，为坐标原点，则 ，最小值 ． 【答案】 【分析】设，可得以为直径的圆的方程，由，结合可求得，与圆的方程相减可得直线的方程，进而求得定点，进而可得的轨迹为以为直径的圆，从而可求的最小值 【详解】因为点为以为直径的圆与圆交点，所以， 所以，又因为， 所以，解得， 设，则以为直径的圆方程为：， 又圆， 两方程作差：可得为直线的方程， 即为：，所以直线过定点， 由对称性可知：，因为点为直线与直线的交点， 所以的轨迹为以为直径的圆（点除外）， 该圆半径，记圆心， 所以最小值． 故答案为：；2 37．(22-23高二上·云南沧源佤族自治县民族中学·月考)已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是 . 【答案】 【分析】依题设出直线方程，计算中边上的高，利用直线过定点求出的范围，列出的面积表达式，利用二次函数的图象特点求出在 的范围上的面积最大值. 【详解】    如图，过点的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设直线方程为，即， 所以圆心到该直线的距离为易得当时，，当直线经过圆心时，，故， 又因，故. 因时，可知函数单调递增，故. 即面积的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系产生的面积的最值问题,属于较难题. 解题的关键是在求得圆心到直线的距离表达式后，对距离的范围的界定，这需要看出含参的直线经过的定点，以及经过圆内定点的直线与圆产生的最短，最长弦情况的理解，借此求得参数范围，将面积转化为求二次函数在给定区间上的最值问题. 38．(23-24高二上·云南昆明第三中学·期中)已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 【答案】 【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆：可化为， ，， ，是圆的两条切线，则，， 、、、四点共圆，且，， ， ， 当最小，即时，取得最小值， 此时方程为， 联立，解得，，即， 以为直径的圆的方程为， 即， 圆：，两圆相交， 两圆方程相减即为的方程. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解. 圆锥曲线 地 城 板块03 39．(25-26高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)已知双曲线：，则（   ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围是 【答案】C 【分析】要解决这道关于双曲线的题目，我们需要根据双曲线的标准方程形式以及相关性质，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A，因为表示双曲线，所以, 解得，故A错误. 对于B,由A选项，得，所以， 所以的焦点只能在轴上，故B错误. 对于C,设的半焦距为，则，解得， 即焦距为，故C正确. 对于D,离心率,因为，所以， 那么,所以的取值范围是，故D错误. 故选：C 40．(23-24高二上·云南昆明第三中学·期中)如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则菱形的面积与矩形的面积的比值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系列出有关的方程，再将面积比转化为的形式即可. 【详解】虚轴两端点为，两焦点为， 所以菱形的面积， 以为直径的圆内切于菱形，切点分别为 所以且 在中，用等面积法得： ，即， 所以，， 所以即，解得（负值舍去）， 设矩形， 在中，用等面积法得：，所以， 且，即，. 所以矩形的面积， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中四边形面积相关问题的求解，解题关键是能够利用直线和圆相切的知识和等面积法，求得四边形的边长和之间的等量关系以及双曲线的离心率，从而将所求面积比转化为的形式，从而求得结果. 41．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解. 【详解】因为，所以， 由椭圆的定义得：，解得， 因为，所以， 两边同除以a得，解得 ， 因为 ，所以， 所以该离心率的取值范围是 故选：D. 42．(25-26高二上·云南昭通第一中学·开学考)已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解. 【详解】由椭圆的定义得， 又，故， 由，得， 又椭圆的离心率，则. 故选：B 43．(24-25高二上·云南曲靖宣威第十中学·期末)双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B 44．(24-25高二上·云南曲靖会泽县·期末)世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．无公共点 【答案】D 【分析】求出椭圆的蒙日圆方程，求出点的轨迹方程为，判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为， 设点，则，整理可得， 圆的圆心为原点，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，所以，， 故两圆相交，所以，点的轨迹与椭圆的蒙日圆无公共点. 故选：D. 45．(24-25高二上·云南保山·期末)已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上（顶点除外），过点引角平分线的垂线，垂足为点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，由，且是的角平分线，得到，结合双曲线定义，和为的中位线，求出，进而得到渐近线. 【详解】如图，延长交于点，由，且是的角平分线， 是等腰三角形，且，又∵点在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义有， 又有为的中位线，∴，∴， ∴双曲线的渐近线方程为，即， 故选：B． 46．(24-25高二上·云南玉溪·期末)已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，由此可得双曲线的右焦点，得到，解得，再根据渐近线方程公式计算. 【详解】由椭圆，易知其右焦点坐标为， ∴双曲线的右焦点为，则，得到. ∴该双曲线的渐近线方程为. 故选：A 47．(25-26高二上·云南曲靖第一中学·期中)在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，中点为，，则（    ） A． B．直线过点 C．与面积之和的最小值是3 D．过，两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点，则 轴 【答案】BC 【分析】设：，联立方程后得关于的一元二次方程，由韦达定理写出，，再由，即可得，再结合，求解出，从而判断AB，再根据三角形面积公式表示出与的面积，由基本不等式可判断C，不妨令点在第一象限，则点在第四象限，设切线为，联立利用相切得到，即切线为，同理可得在点处的切线方程为，得到即可． 【详解】设直线：，，消可得. ，得，，∴，则或 ∵，∴，∴，，故A错； 直线：过，故B对； ， 不妨设，又，， 当且仅当时，取等号，故C对； 由对称性，不妨令点在第一象限，则点在第四象限，当时，，则， 易知切线斜率不为零，设切线为， 联立曲线得，又因为相切， 所以，解得， 则过在点处的切线方程为， 当时，，同理可得在点处的切线方程为， 联立解得交点的纵坐标， 又中点坐标为， 当时，在轴上，故D错误． 故选：BC． 48．(25-26高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·)某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（    ） A．椭圆的“蒙日圆”的面积为 B．对直线上任意点，都有 C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3 【答案】ACD 【分析】根据条件，得出，，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点，得出蒙日圆方程的半径，即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直线与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，设，，得到，再利用重要不等式及面积公式即可得出结果. 【详解】已知椭圆的离心率为， ，为的左、右焦点且，故， 所以，， 故椭圆方程为：，故C正确； 对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆方程为， 如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点， 易知点，且点在蒙日圆上， 所以故蒙日圆的面积为，故A正确； 对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程， 由得， 则， 所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为，故B错误； 对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，如图2， 连接，设，则， ， 设，， 所以， 又（当且仅当时取等号）， 所以，即， 所以，故D正确； 故选：ACD 49．(24-25高二上·云南昆明云南民族大学附属高级中学·期中)已知点A，B是椭圆上关于原点O对称且不与C的顶点重合的两点，C的左、右焦点分别为，，线段，的中点分别为P，Q，则（   ） A． B． C．当直线AB与直线PQ之间的距离为时， D．若，则C的离心率的取值范围是 【答案】AD 【分析】由对称性可判断四边形为平行四边形，结合定义可判断A；利用三角形中位线的性质和椭圆定义可判断B；取特例可否定C；根据已知判断为矩形，然后利用勾股定理和椭圆定义列方程组，结合基本不等式求解可判断D. 【详解】对A，由题知，为和的中点，故四边形为平行四边形， 所以，正确； 对B，，错误； 对C，设，则， 因为线段，的中点分别为P，Q，且直线与直线PQ之间的距离为， 所以到直线的距离为，设直线的方程为， 则，解得， 即当，直线的方程为时，满足直线AB与直线PQ之间的距离为， 但是，错误； 对D，因为，，所以， 所以四边形为矩形，所以， 根据对称性，不妨设点在第一象限，， 则，则， 又，所以取不到等号，故， 即，得，所以C的离心率的取值范围是，正确. 故选：AD 50．(25-26高二上·云南昭通直中学·月考)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【答案】ABC 【分析】A根据渐近线方程并结合图形；B利用双曲线的定义以及余弦定理即可；C根据双曲线的定义计算圆心距和半径之差的绝对值，即可判断两圆的位置关系；D根据圆的切线段性质以及双曲线的定义可得出点的横坐标，再根据勾股定理计算，再利用等面积得出半径即可. 【详解】因渐近线方程为，故结合图形可知A正确； 因，则， 在中由余弦定理可得， 即， 由于，，则，得， 由于，故，故B正确； 设以为直径的圆圆心为，则， 是线段的中点，则圆与圆的圆心距， 又，则， 则两圆半径之差的绝对值为，故圆心距等于两圆的半径之差的绝对值， 则以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确； 如图，设圆与三边相切于，则， 则， 因，则， 则，故点的横坐标为， 记，则， 因，则，则，解得（负值舍去）， 则， 则 的面积为， 设的内切圆半径为，则，所以， 故或，D错误. 故选：ABC． 51．(24-25高二上·云南曲靖宣威第十中学·期末)我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，两个定点，，，是平面上的两个动点，设满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，则（   ） A．关于轴、轴对称 B．当不在轴上时， C．当时，纵坐标的最大值大于 D．当，有公共点时， 【答案】ACD 【分析】对于A，写出轨迹方程，将，代入即可判断，对于B，由三角形两边之差小于第三边即可判断，对于C，通过即可判断，对于D，联立方程，得到，结合椭圆范围可判断. 【详解】对于选项A：设， 由，得， 将代入得到， 将将代入得到， 所以关于轴、轴均对称，A正确； 对于选项B：当不在轴上时，与不共线，可以作为一个三角形的三个顶点， 所以，B错误； 对于选项C：当时，， 当时，可得：， 解得：，此时， 即，故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确； 对于选项D：由，得为椭圆， 且，其方程为， 所以，代入， 得， 所以，因为，所以， 解得：或舍去，D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：曲线关于轴、轴的对称对称性问题，可将，代入曲线方程，是否满足即可判断. 52．已知抛物线C：的准线l与圆M：相切，P为抛物线C上的动点，N是圆M上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，抛物线C的焦点为F，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．存在两个P点，使得 C．存在点P，当为正三角形时，圆M与直线PQ相交 D．过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为D，E，若，则的面积为 【答案】BCD 【分析】准线与圆相切，可知.对A，转化为，根据将军饮马理论可判断选项；对B，若，则，做中垂线，解出方程，与抛物线联立，解得个数，即可判断几个交点；对C，根据为正三角形，可得解得纵坐标，和圆与轴交点比较，即可判断；对D：利用抛物线的定义，结合，求出直线的斜率值，写出直线的方程，利用直线与抛物线方程联立求得的值，求解三角形的面积． 【详解】圆的圆心为，半径， 若抛物线的准线与圆相切，则，可得， 所以，. 对于选项A：根据可得， 可确定最小值为，故A错误；    对于选项B：若，则，做中垂线， 根据题意知，设为中点，则可得， 直线斜率为，根据点斜式可确定为， 与抛物线联立得， ， 所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故B正确； 对于选项C：根据为正三角形，所以，则， 且，所以可得，和圆与轴交点为， ，所以可知圆M与直线PQ相交，故C正确；    对于选项D：如图所示，    过点作，交直线于点，设， 由抛物线的定义知：，， 则，，， 可知：，所以直线的斜率为， 设直线的方程为，点，， 由，消去整理得， 则，可得， 则， 所以三角形的面积为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：根据题意合理利用抛物线的定义：抛物线上点到焦点距离和到准线距离相等. 53．(24-25高二上·云南丽江润泽高级中学·月考)“曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示： 已知双曲线左、右焦点为，，，点M的坐标为，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B． C．过点作垂直AM的延长线于H，则 D．若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 【答案】BCD 【分析】A选项，直接求离心率；B选项，判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；C选项，联立两条直线方程求出点坐标；D选项，可由双曲线渐近线的斜率得到. 【详解】A选项：由双曲线，则， 离心率，A错误； B选项：根据题意，满足双曲线方程，点在双曲线上，， 所以， 与双曲线方程联立，得到， 可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线为双曲线在点处的切线. 根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知， ，故B正确； C选项：，因为直线垂直于直线，所以. 因为，可求得. 两方程进行联立，解出，故C正确； D选项: 根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线斜率之间. 焦点在轴上的双曲线渐近线斜率，斜率的取值范围应为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用双曲线的光学性质判断选项. 54．(24-25高二上·云南玉溪第一中学·月考)已知F是抛物线C：的焦点，直线经过点F交抛物线于A，B两点，则下列说法正确的是（   ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B．若，则直线的斜率 C．若，，则为定值 D．若，则的最小值为18 【答案】ACD 【分析】由焦点弦的性质可得，再求得的中点到准线的距离，即可判断A，联立直线与抛物线的方程代入计算，即可判BC，由抛物线的焦半径公式以及基本不等式代入计算，即可判断D 【详解】A：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：， 设，，则的中点， 利用焦点弦的性质可得， 而的中点M到准线的距离， ∴以为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确； B：设直线的方程为，， 联立，整理可得：， 可得，， ∵，∴，解得，， ∴，解得，则，因此B不正确，C正确； D：若，则抛物线C：，不妨设，， ∴， 当且仅当，时取等号，因此D正确. 故选：ACD. 55．(25-26高二上·云南昆明官渡区第一中学教育集团·期中)已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，，与椭圆联立并结合，可得即可求解. 【详解】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，， 设直线的方程为，，联立， 整理得，则①，②， 由可得③，联立①②③消去可得， 则，即，所以， 所以离心率的取值范围为. 故答案为： 56．(25-26高二上·云南昆明第一中学·期中)已知椭圆和点，直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若四边形为平行四边形，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据平行四边形性质求出的中点坐标，利用点差法求直线的斜率，然后可得方程. 【详解】由题知，记的中点为，则， 因为四边形为平行四边形，所以的中点为， 设，则 又点在椭圆上，所以， 由点差法得， 即，整理得，即直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 即. 故答案为： 57．(24-25高二上·云南昆明·期末)已知双曲线：（）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，且，以线段为直径的圆恰好过点，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意，设，，由双曲线定义表示出，,在直角中求得和，再在中，利用余弦定理求出，即可得离心率. 【详解】如图，因为，设，，，则， 由双曲线定义知，， 以线段为直径的圆恰好过点，则， 由，得， 化简得，即， 因为， 所以，. 在中，， 在中，由余弦定理， 所以，解得，所以， 因，所以. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，重在对问题的分析，关键是利用双曲线的定义，通过直角和焦点三角形建立边角关系，找到关系得到离心率.考查运算能力，题目具有一定的难度． 58．已知双曲线的右焦点为，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于两点，若∥(为坐标原点)，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】先把图形画出来，根据已知条件得到为等腰三角形，然后作出辅助线证明，从而有，根据已知条件用含的式子分别表示，结合即可求解. 【详解】如图所示，    ∵∥， ∴， 又∵双曲线的渐近线关于y轴对称， ∴， 则， ∴为等腰三角形，作，垂足为M， 过点B作轴，交渐近线第一象限部分于点D， 则， 由等腰三角形三线合一可知， 且注意到， 由勾股定理得， 由相似三角形的性质可得， 所以， 整理可得， 又， 所以. 故答案为：. 地 城 板块04 数列 59．(23-24高二上·云南昆明官渡区·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（    ） A．170 B．168 C．130 D．172 【答案】D 【分析】先根据题意得到的值，再后续数列的周期性求得，从而得解. 【详解】依题意，， 故， 又，所以． 所以． 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解“冰雹猜想”的定义，找到数列的周期性，从而得解. 60．(23-24高二上·云南昆明西山区·期末)一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车.假设所有司机都连续开车，并都在中午12时停下来休息.每辆车行驶的速度都是80千米/小时，截止到12时这个车队所有车辆一共行驶了2660千米，则该车队一共发出（    ）辆车 A．14 B．14或19 C．15 D．15或16 【答案】A 【分析】设共发出n辆车，第n辆车行驶时间为，由题可得，又设前n项和为，则，据此可得答案. 【详解】设共发出n辆车，第n辆车行驶时间为，其中. 因第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车，则，即为等差数列. 又设前n项和为，则. 但注意到， ，则. 故选：A 61．(22-23高二上·云南楚雄州·期末)设数列的前项和为，已知，，若，则正整数的值为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】B 【分析】构造等比数列，先求通项后求和，最后利用和放缩得出结果. 【详解】因为，，所以，化为. 因为，所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 所以 令 因为，所以 因为，所以 所以. 因为，所以正整数的值为2020. 故选：B 【点睛】关键点点睛： 这道题通过构造等比数列求得通项公式后，并不能按常规方法求和，利用和放缩最终得出结果. 62．(24-25高二下·云南长水教育集团·)设数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可求得，再用裂项相消求解即可. 【详解】解：当时，， 当时，， 所以， 两式相减得， 因此（）， 当时，， 不满足， 所以， 又因为当时，， 当时，， 所以数列的前9项和为 ． 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知与的关系，求数列通项公式时，常用 求解. 63．(24-25高二上·云南文山文山第一中学·期末)设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 【答案】C 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. 64．(24-25高二上·云南保山·期末)已知数列的前项和为，且，则数列的前2025项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用退位作差得到，从而，裂项相消法求和. 【详解】∵，∴，而符合上式，， ， ∴数列的前2025项的和， 故选：C． 65．(24-25高二上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)已知等差数列、等比数列的前项和分别为、，下列结论正确的是（   ） A．数列为等差数列 B．数列一定是等差数列 C．对任意正整数， D．数列一定是等比数列 【答案】ABC 【分析】设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，求出，利用等差数列的定义可判断AB选项；利用基本不等式和等比中项的性质可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以，. 对于A选项，，所以，为等差数列，故A正确； 对于B选项，令， 所以，， 故数列一定是等差数列，故B正确； 对于C选项，对任意的，，由等比中项的性质可得， 由基本不等式可得，故C正确； 对于D选项，设等比数列的公比为， 当时，， 此时，数列不是等比数列，故D错误. 故选：ABC. 66．(24-25高二上·云南曲靖宣威第六中学·月考)数列 满足，，数列的前n 项和为，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用构造法判断得是等比数列，进而利用等比数列的通项公式与求和公式，结合分组求和法即可得解. 【详解】对于AB，数列中，，，则，， 因此数列是以为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 67．(24-25高二上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期末)已知数列的前项和（    ） A．数列的前10项和为 B． C．数列的前10项和为160 D． 【答案】BD 【分析】对于A项由裂项相消法求解；对于B项，由递推关系求解；对于C项，由等差数列的求和公式求解；对于D项由裂项相消法求解． 【详解】解：对于A项，， 则数列的前10项和为： ，故A项错误； 对于B项，当时，， 当时，， 也满足上式，故，故B项正确； 对于C项，， 则数列的前10项和为：，故C项错误； 对于D项， ， 故D项正确． 故选：BD 68．(24-25高二上·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前项和最大 B．若等比数列是单调递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【分析】解不等式，可判断A选项；利用等比数列的单调性可判断B选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的求和公式以及等差数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，可得， 又因为，故数列前项的和最大，A对； 对于B选项，当，时，则对任意的，， 则，所以，，此时等比数列也是递减数列，B错； 对于C选项，，则，C对； 对于D选项，若为等差数列，则，， 则（为常数），所以，数列也是等差数列，D对， 故选：ACD. 69．(24-25高二上·云南大理白族大理·期末)已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（    ） A．若数列是递增数列，则 B．当时，数列是常数列 C．当时，存在实数，使得恒成立 D．若，则使得成立的的最大值为10 【答案】ACD 【分析】根据递增的性质列不等式求解判断A，利用指数运算化简求出判断B，利用等比数列求和公式求解判断C，结合B选项及题意求得，，即可判断D. 【详解】A：若数列是递增数列，则当时，， 因为，所以，故A正确； B：， 因为，所以数列不是常数列，故B错误； C：因为当时，， 故存在，使得恒成立，故C正确； D：因为，若， 则，， 所以，所以，，，， 所以，，则使得成立的的最大值为10，故D正确. 故选：ACD. 70．(25-26高二上·云南曲靖第一中学·期中)已知，若数列中最小项为第3项，则 ． 【答案】 【分析】方法一，由是二次函数，若数列中最小项为第3项，则有，计算得解；方法二，利用对称轴求解，若数列中最小项为第3项，则有，计算得解. 【详解】方法一：，，， ，数列中最小项为第3项， ，，，， 则的范围为. 方法二：对称轴为，开口向上，数列中最小项为第3项，， ，则的范围为. 故答案为：. 71．(23-24高二上·云南昭通一中教研联盟·期末)若数列满足，则称该数列为斐波那契数列.如图1所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则 . 【答案】/ 【分析】根据递推公式可得，结合累加法计算得即可判断. 【详解】因为斐波那契数列总满足，且， 所以， ， ， 类似的有，其中， 累加得，又， 所以， 故：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解斐波那契数列的特点，由递推关系得，利用累加法可得，即可判断. 72．(24-25高二上·云南昭通普通高中云南师范大学附属镇雄中学教研联盟·)已知数列，当 时，，，记数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】计算出、、、、各项的值，即可得出的值. 【详解】由题 时，，， 因为，所以， 因为、、、，所以， 所以. 故答案为：. 73．(24-25高二上·云南丽江润泽高级中学·月考)数列的首项，，令，则 ． 【答案】/ 【分析】构造数列，并求得数列的通项公式；再代入对数中求得数列的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前项和． 【详解】因为， 所以，又， 所以， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 代入得， 设数列的前项和为， 则 ， 则 . 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $