专题02 直线与方程（4大题型）（期末真题汇编 云南专用）高二数学上学期

专题02 直线与方程 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 直线的综合问题 直线的倾斜角与斜率 地 城 考点01 1．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）若直线和直线平行，则m的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）过，两点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南文山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·云南大理·期末）在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知直线过点与点，则这条直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 10．（24-25高二上·云南文山·期末）已知直线，若，则实数的值为 ． 11．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知直线l的方程为，则该直线倾斜角的正切值为 ． 12．（21-22高二上·云南丽江·期末）若直线 :x-2y+1=0与直线 :2x+my-1=0相互垂直，则实数m的值为 . 13．（20-21高二下·云南昆明·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的两点A，B均在E上，若，则直线AB的倾斜角为 ． 地 城 考点02 直线的方程 14．（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 17．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．点的坐标为 D．四边形面积的最小值为4 18．（23-24高二上·云南曲靖·期末）过双曲线的右焦点且倾斜角等于的直线与双曲线的渐近线相交于两点，是坐标原点，则数量积（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知，经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·云南大理·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交 21．（21-22高二上·云南临沧·期末）直线与直线平行，则为（    ） A．或 B． C．2 D． 22．（21-22高二上·云南曲靖·期末）已知两点，，直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（21-22高二上·云南玉溪·期末）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离是1 D．过与直线平行的直线方程是 24．（23-24高二上·云南昆明·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且垂直于直线的直线方程为 C．直线在轴和轴上截距相等 D．直线与直线之间的距离是 25．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（    ） A．2 B．0 C． D． 26．（24-25高二上·云南保山·期末）已知数列满足，点在直线上，则数列的通项公式为 ． 27．（24-25高二上·云南文山·期末）已知平面过点，，三点.直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是 . 28．（24-25高二上·云南文山·期末）写出满足下列条件的直线的方程． (1)在y轴上的截距是2，且与x轴平行； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率是，在y轴上的截距是7； 29．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线． (1)求圆的方程； (2)证明：直线与圆相交． 30．（25-26高二上·云南文山·月考）已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 31．（24-25高二上·云南楚雄·月考）已知点和直线． (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 32．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）的三个顶点分别是、、 (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 33．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 直线的交点坐标与距离公式 地 城 考点03 34．（25-26高二上·云南昆明·期中）直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·云南·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·云南·期中）已知圆与直线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·云南昆明·阶段练习）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·云南文山·阶段练习）已知直线，若直线过且与直线在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线的斜率是（   ） A．1 B． C． D．或1 39．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 40．（25-26高二上·云南玉溪·月考）两条平行直线：与：之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 41．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 42．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 43．（25-26高二上·云南昆明·期中）下列结论正确的是（   ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 44．（24-25高二上·云南昆明·期末）两条平行直线与间的距离为： . 45．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 46．（23-24高二上·云南曲靖·期末）已知两个定点是坐标系原点，轴于点是线段上任意一点，轴于点于点与相交于点，则点的取值范围是 . 47．（21-22高二上·云南曲靖·期末）点到直线的距离为 ． 48．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 49．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 50．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 地 城 考点04 直线的综合问题 51．（21-22高二上·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高二上·云南·阶段练习）已知直线与曲线有1个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高二上·云南文山·阶段练习）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 55．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当直线与圆相切时，切线方程是 C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D．圆上的一点到直线的最大距离是 56．（24-25高二上·云南大理·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 57．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 58．（24-25高二上·云南大理·期末）双曲线的左、右焦点分别为，.若点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．若为双曲线上的一动点，则到两条渐近线的距离之积为定值 59．（24-25高二上·云南西双版纳·阶段练习）已知直线和圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．直线与圆相离 C．圆与圆有三条公切线 D．直线被圆截得的最短弦长为 60．（25-26高二上·云南楚雄·阶段练习）若直线：与直线：平行，则与间的距离为 ． 61．（25-26高二上·云南·阶段练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 . 62．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点，且，写出一条满足上述条件的直线的方程 ． 63．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为，直线：（）与交于，两点，为坐标原点，直线与直线：交于点. (1)若，求的值； (2)证明：轴. 64．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知圆经过点，且过直线与直线的交点. (1)求圆的方程； (2)求过点的圆的切线方程. 65．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知直线：与直线：的交点为M． (1)求点M关于直线的对称点N； (2)求点到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 66．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知，，三点，点在圆上运动． (1)若的最大值和最小值分别为和，求的值； (2)过点向圆作切线，切点分别为，，求直线的一般式方程． 67．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与方程 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 直线的综合问题 直线的倾斜角与斜率 地 城 考点01 1．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案. 【详解】直线的倾斜角为. 故选：B. 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）若直线和直线平行，则m的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据直线平行建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）过，两点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间斜率公式可得斜率，再由倾斜角与斜率关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，所以， 因，所以， 故选：A. 4．（24-25高二上·云南文山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】由题意直线的斜率为，因此倾斜角为． 故选：C． 5．（23-24高二下·云南大理·期末）在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点再根据斜率公式计算即可. 【详解】设，可得,x不为0， 所以. 故选：D. 6．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为直线，，若，则，解得. 故选：B. 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知直线过点与点，则这条直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点坐标算出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线过点与点，其斜率； 直线倾斜角，故. 故选：D 8．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由直线方程可得直线恒过定点可判断AB；由两直线垂直的充要条件可判断C；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中， 由勾股定理可得：， 所以，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD. 9．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义求得，，再逐项计算判断即可. 【详解】由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于A，，A错误； 对于B，显然，则，B正确； 对于C，令，在中，由，得， 则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确； 对于D，由，结合对称性,则直线的斜率为，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 10．（24-25高二上·云南文山·期末）已知直线，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由两直线垂直的条件求解． 【详解】因为直线，且， 所以，解得． 故答案为： 11．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知直线l的方程为，则该直线倾斜角的正切值为 ． 【答案】2 【分析】根据直线方程求出斜率，即为倾斜角的正切值. 【详解】根据直线的一般式方程可知直线斜率为2， 所以直线倾斜角的正切值为2. 故答案为：2. 12．（21-22高二上·云南丽江·期末）若直线 :x-2y+1=0与直线 :2x+my-1=0相互垂直，则实数m的值为 . 【答案】1 【分析】由两条直线垂直可知，进而解得答案即可. 【详解】因为两条直线垂直，所以. 故答案为：1. 13．（20-21高二下·云南昆明·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的两点A，B均在E上，若，则直线AB的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】如图，过分别作准线的垂线，则可得，过作的垂线，则可得，结合的值，可求出，从而可求出直线AB的倾斜角 【详解】解：如图，过分别作准线的垂线，垂足分别为，过作于，则 ， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 所以直线AB的倾斜角为， 故答案为：    地 城 考点02 直线的方程 14．（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 15．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D 16．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 17．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．点的坐标为 D．四边形面积的最小值为4 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质判断A，B选项；根据A，M的坐标写出直线的方程求出的纵坐标即可判断C；根据及基本不等式判断D. 【详解】双曲线，故，所以，故A错误； 渐近线方程为，故B错误； 由，，则的方程为， 即，令得，故C错误； 对于D项， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确. 故选：D. 18．（23-24高二上·云南曲靖·期末）过双曲线的右焦点且倾斜角等于的直线与双曲线的渐近线相交于两点，是坐标原点，则数量积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出双曲线右焦点坐标及直线的方程，再与双曲线渐近线方程联立，结合数量积的坐标表示求解即得. 【详解】双曲线的右焦点，渐近线方程为， 显然直线的方程为，由消去得， 设，于是，， 所以. 故选：A 19．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知，经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对参数是否为0进行分类讨论，将直线方程的不同形式进行比较即可得出结果. 【详解】当都不为0时，所有经过两点的直线方程均可以用表示， 即， 当中有一个为0时，比如时，则直线为,符合上式； 比如时，则直线为，也符合上式， 故选项符合题意， 故选：. 20．（23-24高二上·云南大理·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】易知直线过定点且该点在圆内，即可知直线与圆的位置关系为相交. 【详解】将直线整理变形可得， 令，解得， 即直线恒过定点， 显然，即定点在圆内， 可知直线与圆一定相交. 故选：D 21．（21-22高二上·云南临沧·期末）直线与直线平行，则为（    ） A．或 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意直线的斜率存在，将两直线方程化为斜截式方程，由两直线平行，斜率相等且截距不等可得. 【详解】由已知直线与直线平行， 知直线的斜率存在，则直线的斜率也存在， 故直线的方程可化为：， 直线的方程可化为：， ，且，解得， 故选：D. 22．（21-22高二上·云南曲靖·期末）已知两点，，直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过定点P，再计算直线PM，PN的斜率，然后结合图形即可列式计算作答. 【详解】直线：变形为， 于是得过定点，斜率， 直线PM斜率为，直线PN斜率为， 直线过点且与线段相交，则斜率k满足：或，如图，    即或，于是有或．解得或， 所以的取值范围是：. 故选：B. 23．（21-22高二上·云南玉溪·期末）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离是1 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【分析】求解直线的倾斜角判断A；利用直线的斜率乘积判断B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D． 【详解】直线，直线的斜率为：，所以直线的倾斜角为：，所以A不正确； 直线的斜率为：，两条直线不垂直，所以B不正确； 点到直线的距离是：，所以C不正确； 过与直线平行的直线方程是，正确，所以D正确； 故选：D． 24．（23-24高二上·云南昆明·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且垂直于直线的直线方程为 C．直线在轴和轴上截距相等 D．直线与直线之间的距离是 【答案】BC 【分析】利用直线方程的相关性质进行判断即可得解. 【详解】对于A，将代入直线，得，不恒成立，故A错误； 对于B，设过点且垂直于直线的直线为， 所以，得，则所求直线为，故B正确； 对于C，直线，令，则，令，则， 所以直线在轴和轴上截距相等，故C正确； 对于D，将直线化为， 则直线与直线之间的距离为，故D错误. 故选：BC. 25．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】BCD 【分析】先确定出直线所过的定点以及圆心和半径，根据条件分析出，由此确定出所满足的不等关系，则的取值范围可求，故的可取值可确定. 【详解】因为即， 令，解得，所以过定点， 圆，圆心为，半径为， 由切线性质可知： 当时，，， 因为存在使得，所以， 记到的距离为， 又因为，当最大时，此时， 所以，所以，所以，解得， 又因为，所以可取， 故选：BCD.    【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的综合运用，涉及圆的切线相关问题，着重考查学生分析转化问题的能力，难度较大.解答问题的关键在于分析的取值范围并将其正弦值与圆心到直线的距离联系在一起，从而求出参数的可取值. 26．（24-25高二上·云南保山·期末）已知数列满足，点在直线上，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】点代入直线得到，，得到数列是等差数列，运用等差数列公式计算即可. 【详解】由题知，，即，∴数列是首项公差为2的等差数列，∴，从而． 故答案为：. 27．（24-25高二上·云南文山·期末）已知平面过点，，三点.直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平面法向量的求法求出一个法向量，即可得出直线的一个方向向量. 【详解】易知， 可设平面的一个法向量为， 可得，令，可得； 所以； 因为直线与平面垂直，所以直线的一个方向向量与共线， 所以直线的一个方向向量的坐标可以是. 故答案为：（答案不唯一） 28．（24-25高二上·云南文山·期末）写出满足下列条件的直线的方程． (1)在y轴上的截距是2，且与x轴平行； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率是，在y轴上的截距是7； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）易知斜率为0，可得直线方程； （2）易知倾斜角为，可得结果； （3）利用直线的斜截式方程计算可得结果. 【详解】（1）在y轴上的截距是2，且与轴平行， 则所求直线方程为，即 （2）经过点，且与轴垂直， 则直线方程为，即 （3）斜率是，在轴上的截距是7， 则直线方程为，即 29．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线． (1)求圆的方程； (2)证明：直线与圆相交． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法，根据已知条件列出方程组即可求解. （2）先根据直线方程得出直线过定点；再根据两点间距离公式可判断点在圆内即可证明直线与圆相交. 【详解】（1）方法一：设所求圆的标准方程为， 由已知条件得：，解得：， 所以圆的方程为． 方法二：因为点为圆心，点在直线上， 则可设. 所以，即，解得， 所以圆心，半径长， 所以圆的方程为． 方法三：由已知可得线段的中点坐标为，， 所以弦的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线方程为， 则圆心是直线与的交点. 由得：， 即圆心坐标为，半径长， 所以圆的方程为. （2）证明： 方法一：因为，即 所以由直线的方程可知：直线恒过定点， 又因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内部，即直线与圆相交． 方法二：由直线， 可得圆心到的距离. 因为， 所以， 即， 所以直线与圆相交． 30．（25-26高二上·云南文山·月考）已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由可得则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 31．（24-25高二上·云南楚雄·月考）已知点和直线． (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）先根据平行得出斜率，再点斜式得出直线方程，最后转化为一般式即可； （2）先分直线经过原点及直线不经过原点，应用点斜式及截距式设直线再代入点计算求参，最后转化为一般式即可. 【详解】（1）由直线的方程可知它的斜率为， 因为，所以直线的斜率为． 又直线经过点， 所以直线的方程为：，即 ． （2）若直线经过原点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即； 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，即，故直线方程为 ． 综上所述，直线的方程为或． 32．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）的三个顶点分别是、、 (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出边上的高所在直线的斜率，再由点斜式即可求得直线的方程； （2）先求出的中垂线方程，将其与联立，求得圆心，再求其半径，即得圆的标准方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线l的斜率为， 故上的高所在直线l的方程为，即. （2）因为的中点为，斜率为，则的中垂线斜率为2， 故的中垂线方程为，即， 由联立，求解可得圆心，则圆的半径， 故圆的标准方程为． 33．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)24， 【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解； （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【详解】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 直线的交点坐标与距离公式 地 城 考点03 34．（25-26高二上·云南昆明·期中）直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一，联立直线方程可得交点坐标，然后结合直线过点可得直线方程；法2，设直线的方程为，代入，可得直线方程. 【详解】法1，，则两直线交点为，直线过点， 又经过点，则直线斜率为， 直线方程为； 法2，设直线的方程为， 因经过点，代入所设方程，则， 则直线的方程为. 故选：B 35．（25-26高二上·云南·期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两直线平行求出，利用两平行线间的距离公式求出这两条直线之间的距离. 【详解】根据题意，直线与直线平行，则有， 则两直线的方程分别为， 直线可化为，则它们之间的距离. 故选：C. 36．（25-26高二上·云南·期中）已知圆与直线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求解即可. 【详解】由圆，得， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交的弦. 故选：A． 37．（25-26高二上·云南昆明·阶段练习）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一，当斜率不存在时，求出直线与两条直线的交点坐标，验证点是否为中点；当斜率不存在时，设直线且，用含的式子表示出直线与两条直线的交点坐标，再利用中点坐标公式列出关系式，求出即可直线；方法二，设直线与两直线的交点分别为，，利用中点坐标公式得到与，与之间的关系，分别代入直线方程求出点坐标，即可求出直线. 【详解】方法一： ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时与直线的交点分别为， 所截得的线段中点为，不是点，故不符合题意，舍去； ②当直线的斜率存在时，设直线且， 由可得，， 由可得， 由中点坐标公式可得，解得， 所以直线的方程为，整理得. 方法二： 设直线与直线交于点， 直线与直线交于点. 因为点为的中点，所以，即. 所以，解得. 所以直线的方程为，整理得. 故选：B 38．（25-26高二上·云南文山·阶段练习）已知直线，若直线过且与直线在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线的斜率是（   ） A．1 B． C． D．或1 【答案】B 【分析】根据题意，设直线的斜率为，直线交于点，而点为直线的交点，根据角度关系，可求得，所以，所以必为等腰三角顶角的顶点，所以，可得，求解即可. 【详解】由题意，如图所示，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的斜率为，所以，，， 直线与直线交于点， 点在直线上，直线与直线交于点， 又，所以， 所以，又为等腰锐角三角形，故必为等腰三角顶角的顶点， 所以必有，且， 又，， 所以，即， 所以，即， 解得或， 又，所以. 故选：B 39．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所求弦长为. 故选：D 40．（25-26高二上·云南玉溪·月考）两条平行直线：与：之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据距离公式可求距离，从而可得正确的选项. 【详解】由距离公式可得两条平行线之间的距离为， 故选：C. 41．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 42．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 【答案】CD 【分析】根据直线过定点、两直线垂直和平行的条件以及两平行直线的距离公式进行判断计算即可. 【详解】对于A：变形为， 令得，因此直线过定点，故A错误； 对于B：当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C：当时，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D：当时，则满足，得， 此时，， 则两直线间的距离为，故D正确. 故选：CD. 43．（25-26高二上·云南昆明·期中）下列结论正确的是（   ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【分析】求出直线倾斜角判断A；利用垂直关系求出判断B；求出两条平行线间距离判断C；利用对称求出最小值判断D. 【详解】对于A，直线倾斜角为，斜率，，A不正确； 对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确； 对于C，平行线间的距离，C不正确； 对于D，令点关于轴的对称点为， 连结交轴与，为轴上任一点，连接， 如图，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时取等号， ， 因此，的最小值为5，D正确. 故选：BD 44．（24-25高二上·云南昆明·期末）两条平行直线与间的距离为： . 【答案】/0.5 【分析】利用两平行线之间的距离公式即可计算求解. 【详解】可化为， 故两条平行直线间的距离为. 故答案为：. 45．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合圆的性质可得点到渐近线的距离为1，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆C：的圆心，半径，由，得， 则点到直线的距离为1，双曲线E：的渐近线为， 于是，解得，所以E的焦距为. 故答案为：    46．（23-24高二上·云南曲靖·期末）已知两个定点是坐标系原点，轴于点是线段上任意一点，轴于点于点与相交于点，则点的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再利用两点间的距离公式求解即得. 【详解】设点，由轴于点，令，又于点，则， 直线，而点在线段上，则，且，于是， 显然，，则，即， ， 所以，， 故答案为：.    47．（21-22高二上·云南曲靖·期末）点到直线的距离为 ． 【答案】1 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为：. 48．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线垂直关系求出PM直线方程，与直线方程联立求得圆心，再求出半径即可得解； （2）先判断直线与圆相离，然后利用对称性得四边形面积为，结合垂线段最短利用点线距离求解即可. 【详解】（1）设圆心坐标为， 则设过点的半径所在的直线为，代入，可得， 由解得所以. 所以， 所以圆的方程为. （2）因为到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 由题意四边形面积为， 可得，当与直线垂直时，最小，四边形面积最小. 由 .所以四边形面积的最小值为. 49．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 50．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点列式计算求解； （2）设直线方程分斜率存在及斜率不存在，分别再应用点到直线距离求解即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为. 圆经过点和，且圆心在直线：上， ，解得，，， 圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设，圆心到直线的距离为， 根据点到直线的距离公式得， 解得：，即直线的方程为； 当直线斜率不存在时，，满足条件. 故直线的方程为或. 地 城 考点04 直线的综合问题 51．（21-22高二上·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算，，画出图像，根据图像得到答案. 【详解】，，画出图像，如图所示：    根据图像知：. 故选：D. 52．（25-26高二上·云南·阶段练习）已知直线与曲线有1个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线进行化简，得曲线表示上半圆，直线恒过定点，利用直线与圆的位置关系，数形结合求解即可. 【详解】由可得，，所以曲线表示上半圆， 又由直线即，可得恒过定点， 记，则， 当直线与半圆相切时， 圆心到直线的距离为，解得，如下图，    由图可知，当或时，直线与曲线有1个公共点. 故选：B. 53．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用动点与定点的距离之比为2，坐标化可以得到点的轨迹方程，数形结合即可求解. 【详解】设动点，则，化简得， 所以点M的轨迹为圆E：， 如图，过点O作圆E的切线，切点分别为M、，连接， 则，，所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C. 54．（25-26高二上·云南文山·阶段练习）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意可知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大，求得，即可得出答案. 【详解】因为两平行线分别经过点， 易知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大， 即，所以， 故距离可能等于. 故选：AB. 55．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当直线与圆相切时，切线方程是 C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D．圆上的一点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【分析】将直线方程整理为，由，可得直线恒过的定点的坐标，判断出A的对错；由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，可得参数a的值，即求出直线的方程，判断出B的对错；当时，可得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，可得圆上有四个点到直线的距离为，判断出C的对错；直线恒过的定点，当时，则圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，进而可得圆上的点到直线的距离的最大值为，可判断出D的对错. 【详解】对于A，将直线转化为， 由，解得，直线恒过定点，A正确； 对于B，圆，可得圆心，半径， 由直线与圆相切，可得圆心C到直线l的距离， 即，解得， 故切线方程为，即，B正确； 对于C，当时，直线， 点到此直线距离为， 因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C错误； 对于D，因为直线恒过定点，可得， 当时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确. 故选：ABD. 56．（24-25高二上·云南大理·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为，的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】对于A，若点在圆上，则，所以圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相切，故A正确； 对于B，若点在圆内，则，所以圆心 到直线的距离， 所以直线与圆相离，故B正确； 对于C，若点在圆外，则， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，故C不正确； 对于D，因为点在直线上，所以，圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相切，D正确． 故选：ABD. 57．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 58．（24-25高二上·云南大理·期末）双曲线的左、右焦点分别为，.若点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．若为双曲线上的一动点，则到两条渐近线的距离之积为定值 【答案】CD 【分析】对于A：根据题意可知渐近线的倾斜角分别为，，进而可得渐近线方程；对于B：可知，进而可求离心率；对于C：根据题意可得，，进而可求面积；对于D：可得双曲线方程为，结合点到直线的距离公式分析判断. 【详解】对于选项A，因为点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上， 可知，则渐近线的倾斜角分别为，， 所以双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于选项B，由选项A可知， 所以双曲线的离心率为，故B错误； 对于选项C，因为，且， 可知，且， 在中，可得，， 所以的面积为，故C正确； 对于选项D，由及，得，， 则双曲线的方程为. 设，则， 所以到两条渐近线的距离之积为，故D正确； 故选：CD. 59．（24-25高二上·云南西双版纳·阶段练习）已知直线和圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．直线与圆相离 C．圆与圆有三条公切线 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】AC 【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A，B；求出圆心距，即可判断圆与圆的位置关系，即可判断C；求出，即可判断D. 【详解】对于A，由直线的方程，当时，，可知直线恒经过定点，故A正确； 对于B，因为直线恒经过定点，由圆， 可得圆心，半径，满足，定点在圆内，所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，由圆，圆，圆心，半径， 此时，所以圆与圆相外切，有三条公切线，故C正确； 对于D，由， 根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，故D错误. 故选：AC． 60．（25-26高二上·云南楚雄·阶段练习）若直线：与直线：平行，则与间的距离为 ． 【答案】 【分析】利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【详解】，，即， 当时，与重合，不合题意，， 所以两直线方程为与， 与间的距离． 故答案为：. 61．（25-26高二上·云南·阶段练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 . 【答案】 【分析】时，倾斜角为；时，将方程化为斜截式，根据斜率的范围，求出倾斜角范围. 【详解】当时，此时直线方程为，不存在，故， 当时，方程可化为，所以， 由可得或， 即， 设直线的倾斜角为，由可得， 综上，. 故答案为：. 62．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点，且，写出一条满足上述条件的直线的方程 ． 【答案】（或） 【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用圆中几何关系求出直线方程. 【详解】    因为,故点在圆外． 设点到直线的距离． 由，知， 所以，即， 所以，即． 解得． 当直线的斜率不存在时，即：，此时，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则．解得． 故直线的方程为． 综上，直线的方程为或． 故答案为：（或） 63．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为，直线：（）与交于，两点，为坐标原点，直线与直线：交于点. (1)若，求的值； (2)证明：轴. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设，，根据抛物线的定义可得，联立方程结合韦达定理运算求解； （2）可得直线的方程为，即可得，即可得，可得. 【详解】（1）由题意可知：， 设，，由抛物线定义知，， 因，即，所以. 联立方程，消得， 则显然成立， 可得，， 则，即， 解得或. （2）要证轴，只需证. 因为，则直线的方程为， 联立方程，可得，即， 由得， 所以，所以轴. 64．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知圆经过点，且过直线与直线的交点. (1)求圆的方程； (2)求过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出点的坐标，设出圆的一般式方程，列出方程组求解即得. （2）按切线斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求出切线方程. 【详解】（1）由，解得，即点， 设圆的方程为， 依题意，，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由，得点在圆外， 圆的圆心到直线的距离为2，则过点的圆切线方程可以是； 当切线斜率存在，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. 65．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知直线：与直线：的交点为M． (1)求点M关于直线的对称点N； (2)求点到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 【答案】(1)； (2)，； 【分析】（1）解方程组求出点的坐标，再利用轴对称的意义列方程组求出点的坐标. （2）利用几何意义，结合两点间距离公式求出最大距离及对应直线方程. 【详解】（1）由，解得，则点， 设点关于直线的对称点，则，解得， 所以点. （2）由（1）知，点，则，直线斜率， 以点为圆心，为半径的圆与直线始终有公共点， 当时，直线与该圆相切，点到直线的距离； 当与直线不垂直时，直线与该圆相交，点到直线的距离， 因此点到直线的距离的最大值为，此时直线的斜率为， 方程为，即， 所以点到经过点M的直线l距离的最大值为，此时直线的方程为. 66．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知，，三点，点在圆上运动． (1)若的最大值和最小值分别为和，求的值； (2)过点向圆作切线，切点分别为，，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据两点间距离公式以及在圆上运动得到，结合的范围求解即可； （2）设切点，，利用点斜式求出直线的方程，同理得到直线的方程，由均过点，代入可得，，即点，都在直线上，即得直线的一般式方程. 【详解】（1）设，且， 故 ， 而，当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以； （2）因为过且斜率不存在的直线不是圆的切线， 过且斜率为0的直线也不是圆的切线， 所以直线，，，的斜率都存在， 设切点，，则，， 直线方程为， 整理得， 同理可得直线方程为：， 由直线，均过点，则， ， 即点，都在直线上， 所以直线的方程为. 67．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)最小值为4，直线的方程为. 【分析】（1）转化为斜截式，根据直线不经过第三象限得到不等式，求出答案； （2）表达出，利用基本不等式求出面积的最小值，并得到直线的方程. 【详解】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得， 的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得， 取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”， 此时的最小值为4，直线的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $