专题05 双曲线与方程（6大题型）（期末真题汇编 云南专用）高二数学上学期

专题05 双曲线与方程（6大题型） 6大高频考点概览 考点01 双曲线的定义与方程 考点02 双曲线的离心率 考点03 直线与双曲线的位置关系 考点04 双曲线的弦长、中点弦相关问题 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线县官问题 考点06 双曲线中与向量相关的问题 双曲线的定义与方程 地 城 考点01 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B 2．（24-25高二上·云南保山·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上（顶点除外），过点引角平分线的垂线，垂足为点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，由，且是的角平分线，得到，结合双曲线定义，和为的中位线，求出，进而得到渐近线. 【详解】如图，延长交于点，由，且是的角平分线， 是等腰三角形，且，又∵点在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义有， 又有为的中位线，∴，∴， ∴双曲线的渐近线方程为，即， 故选：B． 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】先判断两圆外离，根据圆M与圆及圆都外切，可得，再根据双曲线的定义可得答案. 【详解】设所求圆的半径为，圆心为， 圆的圆心，半径， 圆化为标准方程得，则圆心，半径， 因为，所以两圆相离， 因为圆M与圆及圆都外切 所以，两式相减得， 所以圆心在双曲线的一支上. 故选：D. 4．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 5．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 6．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为 【答案】AB 【分析】根据双曲线的简单性质计算即可. 【详解】由标准方程可得， 所以，A正确； 离心率，B正确； ，，C错误； 渐近线方程为，D错误. 故选：AB. 7．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，由此可得双曲线的右焦点，得到，解得，再根据渐近线方程公式计算. 【详解】由椭圆，易知其右焦点坐标为， ∴双曲线的右焦点为，则，得到. ∴该双曲线的渐近线方程为. 故选：A 8．（19-20高二上·云南楚雄·期末）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程是，即. 故选：D. 9．（24-25高二上·云南文山·期末）若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实轴长以及焦距可得，，计算可得，再由渐近线方程的形式即可求得结果. 【详解】根据题意可知，即可得，且，即； 因此可得，可得； 再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 10．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知曲线，则下列正确的有（    ） A．若，则曲线的离心率为 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则为双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是圆，其半径为 【答案】ACD 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断. 【详解】对于选项A：若，则C为双曲线，，故A正确； 对于选项B：若，则是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误； 对于选项C：若，则为双曲线，其渐近线方程为，即，故C正确； 对于选项D：若，则是圆,半径为，故D正确. 故选：ACD. 地 城 考点02 双曲线的离心率 11．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量等式可得，由焦点到渐近距离，结合离心率的意义求得答案. 【详解】设双曲线的半焦距为c，由对称性不妨取渐近线为， 由，得， 则，即，，， 由，得，所以的离心率为. 故选：B 12．（24-25高二上·云南红河·期末）双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】判断是双曲线曲线，先分别求解两双曲线的焦距、实轴长、虚轴长、离心率，再判断选项即可． 【详解】的实轴的长为，虚半轴的长为4， 因为，所以曲线是双曲线， 实轴的长为，虚轴的长为， 显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确； 双曲线与双曲线的离心率分别为：和，不相等，所以C不正确． 双曲线与双曲线的焦距都为8，焦距相等，所以D正确； 故选：D． 13．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．点的坐标为 D．四边形面积的最小值为4 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质判断A，B选项；根据A，M的坐标写出直线的方程求出的纵坐标即可判断C；根据及基本不等式判断D. 【详解】双曲线，故，所以，故A错误； 渐近线方程为，故B错误； 由，，则的方程为， 即，令得，故C错误； 对于D项， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确. 故选：D. 14．（22-23高二上·云南楚雄·期末）已知双曲线：的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据点到直线距离公式可得，然后可得. 【详解】由题可知，点到直线为， 所以 所以，所以 双曲线的离心率 故选：A 15．（22-23高二上·云南·期末）已知点P为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件和面积公式得出，的关系，从而得出离心率的范围. 【详解】设的内切圆的半径为r， 则， 因为， 所以， 由双曲线的定义可知， 所以，即，又由， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：D 16．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的焦点坐标为， B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 【答案】B 【分析】根据焦点相同求出双曲线方程为，逐项分析即可判断. 【详解】对A，因为椭圆的方程为，所以，故焦点为， 故双曲线的焦点坐标为，故A错误； 对B，由A得，解得，故双曲线方程为， 故其渐近线方程为，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，由双曲线方程可知其实轴长为2，故D错误； 故选：B. 17．（21-22高二上·云南昆明·期末）已知双曲线：的离心率是，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据以及计算即可. 【详解】由已知得，解得，负值舍去． 故选：B. 18．（24-25高二上·云南文山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 【答案】BCD 【分析】由已知及双曲线的定义得且、，再依次判断各项的正误. 【详解】如图所示，若为直角三角形， 由双曲线的对称性知，且， 设，由双曲线的定义得. 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 则的面积为：，D正确； 由，得，C正确： 由知，，则，A错误： 双曲线的离心率，B正确， 故选：BCD 19．（24-25高二上·云南昭通·期末）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，分别是与共同的左，右焦点，且的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．若，则 D．若与轴交于点平分，则 【答案】BD 【分析】对于A，利用椭圆和双曲线的定义求解判断；对于B，由椭圆中焦点三角形面积公式为求解判断；对于C，利用余弦定理得到求解判断；对于D，由A知，设，点在轴上，点关于轴对称，得到平分，，然后在中，利用正弦定理和余弦定理求解判断. 【详解】对于A，由题意可知，，所以，故A错误； 对于B，在中，若，由椭圆中焦点三角形面积公式得，故B正确； 对于C，若，由题知椭圆和双曲线的半焦距为，椭圆的长半轴为， 则，整理解得， 而，故C错误； 对于D.，由A可知， 设，点在轴上，点关于轴对称， 则平分，则， 在中，由正弦定理得， 则，得， 在中，由余弦定理得，， 解得或（舍），故离心率，故D正确， 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：D选项的解题关键是在中依次利用正弦定理和余弦定理建立关于m的等量关系式，进而得解. 20．（24-25高二上·云南大理·期末）双曲线的左、右焦点分别为，.若点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．若为双曲线上的一动点，则到两条渐近线的距离之积为定值 【答案】CD 【分析】对于A：根据题意可知渐近线的倾斜角分别为，，进而可得渐近线方程；对于B：可知，进而可求离心率；对于C：根据题意可得，，进而可求面积；对于D：可得双曲线方程为，结合点到直线的距离公式分析判断. 【详解】对于选项A，因为点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上， 可知，则渐近线的倾斜角分别为，， 所以双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于选项B，由选项A可知， 所以双曲线的离心率为，故B错误； 对于选项C，因为，且， 可知，且， 在中，可得，， 所以的面积为，故C正确； 对于选项D，由及，得，， 则双曲线的方程为. 设，则， 所以到两条渐近线的距离之积为，故D正确； 故选：CD. 21．（24-25高二上·云南昆明·期末）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，一镜面的轴截面是双曲线的一部分，是它的一条对称轴，是它的左焦点，光线从发出，经过镜面上点，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为 ．    【答案】/ 【分析】设双曲线的右焦点为，由题意推出为等腰三角形，求出，依据双曲线定义及离心率公式即可求得答案. 【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为c，长半轴长为a， 依题意可知三点共线， 由于，则， 结合可知为等腰三角形， 故， 又，故，即得， 故答案为：. 22．（24-25高二上·云南德宏·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为 【答案】 【分析】根据题意，利用双曲线焦点三角形的性质，推出，再由勾股定理求出的关系即可得出离心率. 【详解】如图，延长与交于点， 由，得，由双曲线对称性，知， 设，则，，即， 于是，， 即，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得. 故答案为： 23．（24-25高二上·云南昆明·期末）若双曲线的一条渐近线是，则其离心率为 . 【答案】 【分析】由题意可得，利用可求双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线是，所以， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 24．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线：（）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，且，以线段为直径的圆恰好过点，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意，设，，由双曲线定义表示出，,在直角中求得和，再在中，利用余弦定理求出，即可得离心率. 【详解】如图，因为，设，，，则， 由双曲线定义知，， 以线段为直径的圆恰好过点，则， 由，得， 化简得，即， 因为， 所以，. 在中，， 在中，由余弦定理， 所以，解得，所以， 因，所以. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，重在对问题的分析，关键是利用双曲线的定义，通过直角和焦点三角形建立边角关系，找到关系得到离心率.考查运算能力，题目具有一定的难度． 25．（24-25高二上·云南文山·期末）年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. 【答案】 【分析】根据渐近线倾斜角可得离心率为，代入点坐标计算即可得双曲线方程，求得结果. 【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为， 即可得，因此离心率为； 设双曲线的方程为，将代入计算可得， 解得； 所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm. 故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题目信息，根据渐近线倾斜角得出离心率，再由过的点坐标得出实半轴长. 26．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点为，，过的直线与轴交于点，点在上，且满足，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】如图，设，， 由，可得， ，后由结合斜率公式可得，后将A点坐标代入，整理后可得答案. 【详解】如图，设，，，，其中. 由，则，则. 又，则，将A点坐标代入， 可得， 则，又因，则. 故答案为： 27．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线标准方程的特征求出m的范围，再利用离心率公式求出的范围. 【详解】双曲线的焦点在轴上，将双曲线方程化为所以，解得，即. 离心率 ， 因为，所以，所以，从而. 故答案为： 28．（23-24高二上·云南昆明·期末），分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 【答案】3 【分析】根据双曲线的定义，代入结合基本不等式可得，当且仅当时取最小值为，再根据求解即可. 【详解】，是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，即. 故答案为：3 29．（22-23高二上·云南临沧·期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】 利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得,,由和关系可求得，，由此可求得离心率． 【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：， 直线 为双曲线的通径，则 由得，则， 由得，则 由得： 即 所以， 所以离心率 故答案为： 30．（21-22高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【答案】或2 【分析】由圆的方程有圆心，半径为，讨论双曲线的焦点分别在x或y轴上对应的渐近线方程，根据已知及弦长与半径、弦心距的几何关系得到双曲线参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为， 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 综上，双曲线的离心率为或2. 故答案为：或2. 直线与双曲线的位置关系 地 城 考点03 31．（24-25高二上·云南红河·期末）已知双曲线与直线有唯一的公共点.请写出一个符合题目条件的值 . 【答案】（答案不唯一，，中写出一个即可） 【分析】根据条件，分和两种情形讨论，联立直线与双曲线方程，利用直线与双曲线的判断方法，即可求解. 【详解】易知双曲线C的渐近线方程为：， 当直线与渐近线平行，即斜率时，此时直线方程为或， 由，消得到，所以与只有一个交点， 由，消得到，所以与只有一个交点， 故满足题意， 当直线与渐近线不平行，联立方程组，消并化简得 ， 由题意知，解得. 综上所述，或时，直线与双曲线C有唯一的公共点. 故答案为：（答案不唯一，，中任取一个即可） 32．（22-23高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是 【答案】（或，，，只需写出一个答案即可） 【分析】根据直线与圆，以及双曲线相切，可根据点到直线的距离以及判别式进行联立方程求解满足题意的直线. 【详解】显然直线存在斜率，设直线：， 联立方程组 , 得 因为直线与曲线相切，所以， 即. 因为直线与单位圆相切，所以 联立方程组 解得， 故直线的方程可能是，，， 故答案为： 33．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】直线过，根据渐近线斜率可得到取值范围. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 故答案为：. 34．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． 【详解】（1）已知点，，， 则，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； （2）过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 35．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知原点为中心，坐标轴为对称轴的双曲线过点，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)直线与曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 【答案】(1)； (2)，的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（除两个顶点外）. 【分析】（1）设出双曲线方程，利用给定条件求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，由可得，求得的坐标，再求出过点且与直线垂直的直线方程，从而得到、的关系，即可得解. 【详解】（1）依题意，设双曲线的方程为， 由双曲线过点，得，由双曲线的离心率为，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由消去得， 又，且是双曲线与直线唯一的公共点， 则，得，，点， 过点且与直线垂直的直线为， 令，得，令，得， 因此， 于是的轨迹方程为，， 所以的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（除两个顶点外）.    36．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点. (1)若的斜率存在，求出斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得 ，再利用的单调性可得答案. 【详解】（1）由的渐近线方程为可得， 易知直线的斜率不为0，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线得，， 则 解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ； （3）由（2）可知，， 设直线与直线的方程分别为，， 联立两直线方程可得交点的横坐标为1， 故 . 当且仅当时等号成立， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法：（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 37．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离，列出的方程组，解得结果即可. （2）设出直线方程及相应点坐标，与双曲线方程联立，根据题目条件结合坐标参数，写出，根据的范围即可求出结果. 【详解】（1）设双曲线的右焦点，其中一条渐近线方程为， 则右焦点到渐近线的距离， 又，则， ∴双曲线的方程为 ； （2）由上可知，双曲线的渐近线方程为， 由题意可设直线的方程为，， 联立方程得 ， 所以， ，整理得，所以， 因为即，则A到两条渐近线的距离满足 联立方程，故 同理，联立方程则 ， ， 所以 . 又恒成立 即恒成立， 由可得， ∴所求的取值范围为. 【点睛】思路点睛：利用双曲线上点到两渐近线的距离之积为定值可简化面积乘积的计算，另外的面积利用铅锤高水平底计算也较方便. 地 城 考点04 双曲线的弦长、中点弦相关问题 38．（23-24高二上·云南·阶段练习）已知双曲线，，是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设，，坐标，根据直线的斜率为，求得，将，代入双曲线方程得出，，利用点差法求直线斜率. 【详解】设，，，因为，是上的两点， 是的中点，为坐标原点，且直线的斜率为， 所以①，②，③，，， 所以②-③得，即， 整理得，即， 所以. 故答案为： 39．（2022·全国·模拟预测）如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】取AB的中点M，连接OM，求得直线OM的斜率，再利用点差法求得，进而求得该双曲线的离心率 【详解】如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接AC，OM， 由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点，则， 所以.由直线AB的斜率，得， 则直线OM的斜率. 设，，则 两式相减，得，化简得， 即， 所以该双曲线的离心率. 故答案为： 40．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线？ (2)若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【答案】(1)曲线的方程为，曲线是除去左、右顶点的双曲线 (2) 【分析】（1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程，并说明曲线类型即可． （2）先求直线的方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算即可． 【详解】（1）因为，所以直线，的斜率分别为，，则有，化简得， 即曲线的方程为，故曲线是除去左、右顶点的双曲线． （2）根据已知作图如下．    由已知得直线，联立，消去y，整理得，． 设点，点，则，， 所以． 故的值为． 41．（25-26高二上·云南昆明·期中）双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）设，得到，结合即可求解； （2）根据直线的倾斜角求得斜率，进而根据点斜式写出直线的方程，与双曲线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 设，则，即 或， ， 又或，所以时，取得最小值1； （2）双曲线的左焦点，又因为直线的倾斜角为，所以， 则直线的方程为， 联立直线方程与双曲线方程，得， 设，则， 则． 42．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与C的左支相交于P，Q两点，满足，且，. (1)求双曲线C的方程； (2)过点与直线PQ平行的直线l与双曲线C交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：设，，根据双曲线定义可得，再根据勾股定理求；解法二：设，，根据题意结合双曲线的定义求； （2）可知直线l的斜率为，联立方程求交点坐标，即可得面积. 【详解】（1）解法一：由，设，，    由，得， 则，， 而，解得， 因此，， 令，在中，由， 得，   则， 由，可得， 所以双曲线方程为C：； 解法二：由题意，设，， 所以，    设，则①，， 所以②， 由①②解得，，    又因为，所以，    因为，所以，，    所以， 所以双曲线方程为C： （2）由（1）得：， 结合对称性，图中P，Q位置可互换，则直线PQ的斜率为，故直线l的斜率为， 设点，，    当直线l的方程为时，联立， 可得，解得，，， 因此，    结合对称性，当直线l的方程为时，结果不变， 综上：的面积为. 43．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【答案】(1)方程为，左、右焦点坐标分别为 (2) 【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得. 【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 44．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知离心率为的双曲线经过点. (1)求的方程； (2)如图，点为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出的值，结合双曲线的离心率可求得的值，进而可求得的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设点，则，求出以及点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为，则， 因为双曲线经过点，则，则， 所以，， 故双曲线的方程为. （2）证明：设点，则， 由图可知，直线的方程为，直线的方程为， 因为，则直线的方程为， 联立可得， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，平行四边形的面积为为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 45．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线 的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 地 城 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线县官问题 46．（19-20高二上·云南楚雄·期末）已知双曲线(，)上的一点，直线与双曲线交于，两点(，都不与重合)，设，的斜率分别为，取最小值时，双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与双曲线交于，两点(，都不与重合)，可知点关于原点对称，设，，由斜率公式结合点在双曲线上，可求出，再由基本不等式可得，，当且仅当时等号成立，求出关系，即可求解. 【详解】设，，， 且，，两式相减可得， 即，， 当，即时取等号，即， 故该双曲线的渐近线方程为. 故选:D. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，要挖掘两点关于原点对称关系，将问题转化为圆锥曲线的参数关系，考查基本不等式的应用，属于中档题. 47．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于两点，若∥(为坐标原点)，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】先把图形画出来，根据已知条件得到为等腰三角形，然后作出辅助线证明，从而有，根据已知条件用含的式子分别表示，结合即可求解. 【详解】如图所示，    ∵∥， ∴， 又∵双曲线的渐近线关于y轴对称， ∴， 则， ∴为等腰三角形，作，垂足为M， 过点B作轴，交渐近线第一象限部分于点D， 则， 由等腰三角形三线合一可知， 且注意到， 由勾股定理得， 由相似三角形的性质可得， 所以， 整理可得， 又， 所以. 故答案为：. 48．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，点在双曲线C上． (1)双曲线C方程； (2)已知点，一条斜率为k的直线l（不过点A）交C于M，N两点，是否存在一个实数k，使得直线的斜率之和为定值？若存在，请求出k和定值；若不存在，请说明理由； (3)已知双曲线C与直线有唯一的公共点T，过点T且与l垂直的直线分别交于x轴、y轴于两点，当点T运动时，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)存在，，定值0． (3)点G的轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为6的双曲线（去掉两个顶点）． 【分析】（1）由离心率，及点在双曲线C上可得双曲线方程； （2）设将直线与双曲线方程联立，由韦达定理可得，据此可完成判断； （3）将代入，由双曲线C与直线有唯一的公共点T，可得联立方程判别式为0，据此可得，从而可得，据此可得轨迹方程. 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为， 由已知①，将点代入双曲线方程得②，                             且③，由①②③得，所以双曲线方程为 （2）设 联立，化简后可得， 由韦达定理：， 所以由 ，所以当时，的和为定值0． （3）将代入， 化简可得，， 因为，是双曲线与直线唯一的公共点， 所以， 解得的坐标为，即，其中， 所以过点且与垂直的直线为 可得，，所以，即，                                 因此，即， 所以点G的轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为6的双曲线（去掉两个顶点）． 【点睛】关键点睛：对于定值问题，常用恰当参数表示研究要判断是否为定值的表达式，随后利用韦达定理，代数恒等变形等知识完成判断；对于轨迹问题，常利用题目条件得到轨迹上一点坐标满足的等量关系，据此得轨迹方程. 49．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 【分析】（1）根据渐近线可得，即可代入点的坐标即可求出双曲线方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）根据渐近线方程为，故， 将代入可得，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且， 则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 50．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知双曲线 的焦距与圆M:：的直径相等，且圆的圆心在C 的一条渐近线上. (1)求的标准方程； (2)已知，是轴上不与原点重合的不同的两点，且两点的横坐标互为倒数，点为的下顶点，若直线与的另一个交点的横坐标为，直线与的另一个交点的横坐标为，是否为定值? 若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由. 【答案】(1)； (2)是定值，该定值为. 【分析】（1）求出圆的圆心坐标及半径大小，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）先确定直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组求直线与双曲线的方程求，同理可求，再求的坐标，由此可求. 【详解】（1）方程可化为 所以圆的圆心的坐标为，半径， 设双曲线的焦距为， 由已知可得，故， 双曲线的渐近线方程为，， 因为在渐近线上，所以， 所以，， 所以的标准方程为， （2）设直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为， 若的斜率不存在，则为原点，与条件矛盾，故直线的斜率存在， 由（1）曲线的方程为，又点为的下顶点， 故， 设直线的方程为， 联立，化简可得， 由已知，，故或， 所以， 若的斜率不存在，则为原点，与条件矛盾，故直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，化简可得， 由已知，，故或， 所以， 直线与轴的交点坐标为，即的坐标为， 直线与轴的交点坐标为，即的坐标为， 由已知，所以， 所以， 所以的值为定值，且. 51．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点. (1)求C的方程； (2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助双曲线定义计算即可得； （2）设，则有，即可得，结合得到，即可得解. 【详解】（1）由题意知，，由双曲线定义得， 所以，所以C的方程为． （2）设点，则，即， 由，则①， 又②， 因为N，A，B三点共线，所以，由①②得，即． 52．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及的关系，列出等式求出和的值，进而可得双曲线的标准方程； （2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，列由点差法得到，利用斜率公式进行求证即可； （3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，结合韦达定理，求出，再利用韦达定理进行求证． 【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为， 所以，解得，则双曲线的标准方程为； （2）证明：设，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得，整理得， 则，得证； （3）证明：设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，， 联立，消去y并整理得， 因为该方程有两个正根，则，解得，（舍） 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为，即，① 直线的方程为， 因为，即，② 联立①②，两式相加得，两式相减得， 因为，则，， 所以， 则都在直线上，故共线． 53．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，且定直线方程为 【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则，， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 地 城 考点06 双曲线中与向量相关的问题 54．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【答案】ABC 【分析】A根据渐近线方程并结合图形；B利用双曲线的定义以及余弦定理即可；C根据双曲线的定义计算圆心距和半径之差的绝对值，即可判断两圆的位置关系；D根据圆的切线段性质以及双曲线的定义可得出点的横坐标，再根据勾股定理计算，再利用等面积得出半径即可. 【详解】因渐近线方程为，故结合图形可知A正确； 因，则， 在中由余弦定理可得， 即， 由于，，则，得， 由于，故，故B正确； 设以为直径的圆圆心为，则， 是线段的中点，则圆与圆的圆心距， 又，则， 则两圆半径之差的绝对值为，故圆心距等于两圆的半径之差的绝对值， 则以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确； 如图，设圆与三边相切于，则， 则， 因，则， 则，故点的横坐标为， 记，则， 因，则，则，解得（负值舍去）， 则， 则 的面积为， 设的内切圆半径为，则，所以， 故或，D错误. 故选：ABC． 55．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据条件及离心率的公式确定的值，再根据求出，即可得双曲线C的方程； （2）先根据题意设直线的方程为，及的坐标，进而得到的坐标，联立方程组，由韦达定理得到的值，代入化简即可. 【详解】（1）由双曲线的左、右顶点 分别为可知， 又由离心率为2，即，可得， 又在双曲线中，可得， 所以双曲线C的方程为. （2） 因为直线过点且斜率不为0， 且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限）， 所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数）， （由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为， 所以直线的斜率，解得）. 设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以， 所以， ， 联立，可得， 所以由韦达定理可得， 所以 ， 所以. 56．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的离心率为2，左顶点为，过右焦点的直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的方程； (2)从下面两个结论中选择一个给出证明（多选则按照第一个给分）. ①；②若线段的垂直平分线交轴于点，则为定值. 【答案】(1)； (2)选①：证明见解析；选②：为定值. 【分析】（1）由题意可得，再结合即可求解； （2）选①：分直线的斜率不存在与斜率存在讨论，根据即可证明；选②：易知直线的斜率存在，设直线的方程为，根据弦长公式求，求线段的垂直平分线可求的坐标及，从而进而证明. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为2，右焦点为， 则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）若选①：若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 代入，可得，不妨设, 又，则, 所以， 所以. （ii）若直线的斜率不存在，设直线的方程为， 联立,可得, 化简可得. 因为过右焦点的直线交双曲线于两点, 所以，且. 设，则， ， 则 ， 所以. 综上所述，. 若选②：易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 设， 由①可得， 则 . ， 所以的中点的坐标为. 当时，线段的垂直平分线为，则, 则, 则. 当时，线段的垂直平分线为. 令，可得，即. 则, 所以. 综上所述，为定值1. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 57．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若． (1)求双曲线的离心率； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义可得，进而由离心率公式即可求解， （2）根据数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由可得，所以， 故，离心率为 （2），， 所以， 由于，所以， 解得， 58．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第二象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据离心率以及双曲线方程计算可得； （2）由为等腰三角形对底边进行分类讨论，求出点的轨迹并与双曲线联立即可解得的坐标； （3）设点，根据双曲线对称性可得，对直线斜率分类讨论并与双曲线联立，由数量积的坐标表示可得，即求出结果. 【详解】（1）由题意得，则； 因此. （2）当时，双曲线，其中， 如下图所示： 因为为等腰三角形，则 当以为底时，显然点在直线上，这与点在第二象限矛盾，故舍去； 当以为底时，， 设，则点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆， 其方程为； 联立，解得或或； 因为点在第二象限，显然不合题意，舍去； 当以为底时，， 设，其中，则点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆， 其方程为； 则有解得. 综上所述：点的坐标为. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有，可得， 显然二次项系数， 其中， ①，②， 可得， 则，因为在直线上， 则， 即， 将①②代入有， 即， 所以，代入到，得. 且，解得，则， 因此. 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线对称性，对直线斜率分类讨论并与双曲线联立，根据韦达定理以及向量数量积的坐标表示求出，再解不等式即求出结果. 59．（23-24高三上·云南昆明·期中）已知动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2； (1)求点P的轨迹C的方程； (2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设，由化简可求轨迹C的方程； （2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得m，得到直线l的方程. 【详解】（1）设，由动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2， 可得，化简得，即， 故点P的轨迹C的方程为； （2）设l的方程为，则，故， 由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故. 与双曲线方程联立得：， 由对应渐近线方程为：，易判断， 得，设，， 则，①， 由，得： ， ， 即，， 消去得：， 即② 由①②得：，化简得，由已知， 故存在定直线l：满足条件.    60．（21-22高二·全国·期中）已知双曲线C： 的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）待定系数法去求双曲线C的方程； （2）联立直线PQ的方程与双曲线C的方程，以设而不求的方法得到的表达式，再对其求最小值即可解决. 【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为， 所以，双曲线的方程可设为． 因为点在双曲线上，可解得，所以双曲线C的方程为； （2）当直线PQ不垂直与x轴时，设其方程为y＝kx＋m，设点、， 将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为， 所以① 则，． 由 即，所以 化简得， ． 则（当k=0时等号成立）且满足①， 又因为当直线PQ垂直x轴时，，所以的最小值是24． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双曲线与方程（6大题型） 6大高频考点概览 考点01 双曲线的定义与方程 考点02 双曲线的离心率 考点03 直线与双曲线的位置关系 考点04 双曲线的弦长、中点弦相关问题 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线县官问题 考点06 双曲线中与向量相关的问题 双曲线的定义与方程 地 城 考点01 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 2．（24-25高二上·云南保山·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上（顶点除外），过点引角平分线的垂线，垂足为点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 4．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 6．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为 7．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（19-20高二上·云南楚雄·期末）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·云南文山·期末）若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知曲线，则下列正确的有（    ） A．若，则曲线的离心率为 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则为双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是圆，其半径为 地 城 考点02 双曲线的离心率 11．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·云南红河·期末）双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 13．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．点的坐标为 D．四边形面积的最小值为4 14．（22-23高二上·云南楚雄·期末）已知双曲线：的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 15．（22-23高二上·云南·期末）已知点P为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的焦点坐标为， B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 17．（21-22高二上·云南昆明·期末）已知双曲线：的离心率是，则（    ） A．1 B． C． D． 18．（24-25高二上·云南文山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 19．（24-25高二上·云南昭通·期末）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，分别是与共同的左，右焦点，且的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．若，则 D．若与轴交于点平分，则 20．（24-25高二上·云南大理·期末）双曲线的左、右焦点分别为，.若点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．若为双曲线上的一动点，则到两条渐近线的距离之积为定值 21．（24-25高二上·云南昆明·期末）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，一镜面的轴截面是双曲线的一部分，是它的一条对称轴，是它的左焦点，光线从发出，经过镜面上点，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为 ．    22．（24-25高二上·云南德宏·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为 23．（24-25高二上·云南昆明·期末）若双曲线的一条渐近线是，则其离心率为 . 24．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线：（）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，且，以线段为直径的圆恰好过点，则的离心率为 . 25．（24-25高二上·云南文山·期末）年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. 26．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点为，，过的直线与轴交于点，点在上，且满足，，则双曲线的离心率为 . 27．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ． 28．（23-24高二上·云南昆明·期末），分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 29．（22-23高二上·云南临沧·期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ． 30．（21-22高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 直线与双曲线的位置关系 地 城 考点03 31．（24-25高二上·云南红河·期末）已知双曲线与直线有唯一的公共点.请写出一个符合题目条件的值 . 32．（22-23高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是 33．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 34．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 35．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知原点为中心，坐标轴为对称轴的双曲线过点，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)直线与曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 36．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点. (1)若的斜率存在，求出斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求的取值范围. 37．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 地 城 考点04 双曲线的弦长、中点弦相关问题 38．（23-24高二上·云南·阶段练习）已知双曲线，，是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为 ． 39．（2022·全国·模拟预测）如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为 . 40．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线？ (2)若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 41．（25-26高二上·云南昆明·期中）双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 42．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与C的左支相交于P，Q两点，满足，且，. (1)求双曲线C的方程； (2)过点与直线PQ平行的直线l与双曲线C交于A，B两点，求的面积. 43．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 44．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知离心率为的双曲线经过点. (1)求的方程； (2)如图，点为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值. 45．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线 的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 地 城 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线县官问题 46．（19-20高二上·云南楚雄·期末）已知双曲线(，)上的一点，直线与双曲线交于，两点(，都不与重合)，设，的斜率分别为，取最小值时，双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 47．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于两点，若∥(为坐标原点)，则该双曲线的离心率为 . 48．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，点在双曲线C上． (1)双曲线C方程； (2)已知点，一条斜率为k的直线l（不过点A）交C于M，N两点，是否存在一个实数k，使得直线的斜率之和为定值？若存在，请求出k和定值；若不存在，请说明理由； (3)已知双曲线C与直线有唯一的公共点T，过点T且与l垂直的直线分别交于x轴、y轴于两点，当点T运动时，求点的轨迹方程． 49．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 50．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知双曲线 的焦距与圆M:：的直径相等，且圆的圆心在C 的一条渐近线上. (1)求的标准方程； (2)已知，是轴上不与原点重合的不同的两点，且两点的横坐标互为倒数，点为的下顶点，若直线与的另一个交点的横坐标为，直线与的另一个交点的横坐标为，是否为定值? 若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由. 51．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点. (1)求C的方程； (2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系． 52．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 53．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 地 城 考点06 双曲线中与向量相关的问题 54．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 55．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 56．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的离心率为2，左顶点为，过右焦点的直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的方程； (2)从下面两个结论中选择一个给出证明（多选则按照第一个给分）. ①；②若线段的垂直平分线交轴于点，则为定值. 57．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若． (1)求双曲线的离心率； (2)当时，求的取值范围． 58．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第二象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 59．（23-24高三上·云南昆明·期中）已知动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2； (1)求点P的轨迹C的方程； (2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 60．（21-22高二·全国·期中）已知双曲线C： 的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $