专题03 圆与方程（5大题型）（期末真题汇编 云南专用）高二数学上学期 原卷版

专题03 圆与方程（5大题型） 5大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 考点04 弦长相关问题 考点05 切线相关问题 圆的方程 地 城 考点01 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知圆，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A．8 B． C． D．6 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．无公共点 4．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 5．（24-25高二上·云南昭通·期末）直线与以点为圆心的圆相交于两点，且，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南红河·期末）设直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 7．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知点在圆 上，则直线被截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·云南文山·期末）点，点是圆上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 12．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 13．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知曲线，则下列正确的有（    ） A．若，则曲线的离心率为 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则为双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是圆，其半径为 14．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知实数满足方程，则下列命题是真命题的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则 .（写出满足条件的一个的值即可） 16．（22-23高二上·云南楚雄·期末）过直线：上一点向圆：作切线，切点为，则 ；圆关于直线对称的圆的标准方程为 . 17．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知圆经过点，，半径为5． (1)求圆的标准方程； (2)当位于轴右侧时，若直线经过点，且与圆交于，两点，且，求的方程． 18．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 19．（24-25高三上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·云南昆明·期末）直线与曲线有公共点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·云南大理·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交 22．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知直线：，圆：，下列结论错误的是（    ） A．直线的纵截距为 B．上的点到直线的最大距离为5 C．上的点到点的最小距离为 D．上恰有三个点到直线的距离为2 23．（20-21高二上·云南昆明·期末）若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 24．（20-21高二上·云南昭通·期末）直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B．1 C． D．3 25．（20-21高二上·云南玉溪·期末）已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程（    ） A．2x-y-2=0 B．2x-y-4=0 C． D． 26．（24-25高二上·云南文山·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相离 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 27．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（    ） A．2 B．0 C． D． 28．（21-22高二上·云南玉溪·期末）已知直线，圆C的方程则下列说法正确的是（    ） A．对于任意的，直线过定点 B．存在m，使得直线与圆C相切 C．存在m，使得直线与圆C相交时弦长为4 D．存在m，使得直线与圆C相交时弦长为 29．（22-23高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是 30．（19-20高二上·云南曲靖·期末）已知直线平分圆：的面积，则的最小值为 . 31．（20-21高二上·云南临沧·期末）圆上的点到直线的最大距离是 . 32．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知椭圆的右焦点为，且，直线与椭圆相交于A、B，A为上方的交点. (1)求椭圆的方程； (2)过点A作两条互相垂直的直线，分别于椭圆相交于P，Q，证明：直线PQ过定点； (3)在中，过点A作PQ的垂线，垂足为H，是否存在H，使H到左顶点的距离最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由. 33．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 34．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线． (1)求圆的方程； (2)证明：直线与圆相交． 35．（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆． (1)过点作圆的切线，求切线的斜率 (2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值 36．（22-23高二上·云南楚雄·期末）已知椭圆：的右焦点为，为椭圆上一动点，的最大值为3，最小值为1，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. (1)若，求直线的斜率. (2)当直线的斜率存在时，试判断轴上是否存在一点，使.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 37．（22-23高二上·云南·期末）已知圆M的圆心为，它过点，且与直线相切． (1)求圆M的标准方程； (2)若过点且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若弦AB的长为，求直线l的方程． 38．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知圆：，直线：. (1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系； (2)当时，直线与圆交于不同的两点A，B，求. 圆与圆的位置关系 地 城 考点03 39．（24-25高二上·云南昆明·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 40．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知圆，圆，则圆与圆的公切线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 41．（25-26高二上·云南昆明·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 42．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 43．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知圆的圆心坐标为，则关于圆的说法正确的是（    ） A． B．圆与圆有且仅有2条公切线 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆在点处的切线方程为 44．（22-23高二上·云南大理·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆公共弦所在直线的方程为 45．（24-25高二上·云南昭通·期末）如图，已知半圆，圆，作圆与半圆，圆轴均相切，点，且.    (1)求的周长； (2)证明：为等比数列； (3)证明：对任意正整数. 46．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知圆和圆． (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长． 47．（21-22高二上·云南曲靖·期末）已知点是平面内的一个动点，且，点为坐标原点． (1)求动点的轨迹方程； (2)圆与只有一个公共点，求的值． 地 城 考点04 弦长相关问题 48．（23-24高二下·云南·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 49．（23-24高二上·云南昆明·期末）经过点的直线与圆相交于两点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 50．（22-23高二上·云南昆明·期末）直线与圆交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 51．（21-22高二下·云南楚雄·期末）已知圆：，直线过点与圆交于A，B两点，若点为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 53．（24-25高二上·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 55．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线恒过点，过点作直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 56．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 57．（23-24高二下·云南保山·期末）平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 58．（21-22高二上·云南曲靖·期末）直线与圆相交于两点，则弦的长度可能为（    ） A．2 B． C． D． 59．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 60．（21-22高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 61．（21-22高二上·云南大理·阶段练习）已知圆C的圆心在上，点在圆C上，且圆C与直线相切. (1)求圆C的标准方程； (2)过点A和点的直线l交圆C于A，E两点，求弦的长. 62．（18-19高二上·云南昆明·期末）已知点M（2，0），圆C：x2+y2+4x=0. （1）求直线3x+4y+1=0与圆C：x2+y2+4x=0相交所得的弦长|MN|； （2）过点M的直线与圆C交于A，B两个不同的点，求弦AB的中点P的轨迹方程. 63．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 64．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 65．（24-25高二上·云南·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角，利用公式，可得到点.现将双曲线绕原点按逆时针旋转得到双曲线. (1)求双曲线的标准方程； (2)以双曲线的右顶点为圆心作半径为1的圆，直线与圆相交于，两点，求； (3)在（2）的条件下，是圆上的动点，求面积的取值范围. 66．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知圆过两点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设，过点作两条互相垂直的直线和直线，交圆于、两点，交圆于、两点，求的最小值和四边形面积的最大值． 地 城 考点05 切线相关问题 67．（21-22高二下·云南玉溪·期末）已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 68．（24-25高二下·云南·开学考试）过点作的切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．2 69．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）过点作圆的切线，则的斜率为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 70．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D．2 71．（23-24高二上·云南昆明·月考）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 72．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知椭圆：（）的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆：上任意一点，的最小值为2，则下列结论正确的是（   ） A． B．直线与椭圆相交于，两点，则 C．过作圆切线的斜率为 D．动点到点的距离的最大值为 73．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当直线与圆相切时，切线方程是 C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D．圆上的一点到直线的最大距离是 74．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 75．（24-25高二下·云南昆明·月考）圆在点处的切线方程为 ． 77．（23-24高二上·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 78．（22-23高二上·云南昆明·期末）圆在点处的切线方程为 . 79．（23-24高二上·云南昆明·期末）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 80．（21-22高二上·云南临沧·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线：上． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 81．（21-22高二上·云南昭通·期末）已知圆的半径为，圆心在直线上，点在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)若原点在圆内，求过点且与圆相切的直线方程. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆与方程（5大题型） 5大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 考点04 弦长相关问题 考点05 切线相关问题 圆的方程 地 城 考点01 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知圆，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A．8 B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据题意先解出直线的方程，再设点，然后根据已知条件解出点的轨迹方程，即可得到结果. 【详解】由点得. 设，由已知且， 所以. 又点在上，得， 故点轨迹为以为圆心，半径的圆， 则点到直线距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．无公共点 【答案】D 【分析】求出椭圆的蒙日圆方程，求出点的轨迹方程为，判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为， 设点，则，整理可得， 圆的圆心为原点，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，所以，， 故两圆相交，所以，点的轨迹与椭圆的蒙日圆无公共点. 故选：D. 4．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【分析】根据两点距离公式计算可得根据圆的方程与两点距离公式，根据三角形三边关系求最值即可. 【详解】 化简整理得 ∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离， ∴的最小值即为的最小值， 而，∴的最小值为. 故选：A． 5．（24-25高二上·云南昭通·期末）直线与以点为圆心的圆相交于两点，且，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得圆心到直线的距离，再利用求解. 【详解】解：点到直线的距离为， 所以圆的半径为， 则圆的方程为， 故选：B. 6．（24-25高二上·云南红河·期末）设直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式求得的高，利用圆的几何性质求得的底边长，进而可求的面积. 【详解】由题意，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则， 由此，. 故选：B. 7．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D 8．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知点在圆 上，则直线被截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在圆上列方程求，由此确定圆心的坐标及半径，求圆心到直线的距离，结合弦长公式求结论. 【详解】因为点在圆 上， 所以， 所以， 所以圆的方程为，即， 所以圆心的坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被截得的弦长为. 故选：A. 9．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，直线经过定点，结合图形可得，当且仅当轴时，点到直线的距离最大，即可求得. 【详解】 如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 又直线经过定点， 由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大， 即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为. （理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点， 在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）. 故选：D. 10．（24-25高二上·云南文山·期末）点，点是圆上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设点，PQ中点，利用M和Q的关系得到，再通过点是圆上的一个点，代入圆方程化简即为的轨迹方程。 【详解】设，PQ中点， ∴，即， 又∵点是圆上的一个点， ∴，化简得， ∴的轨迹方程为. 故选：A 11．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 12．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 13．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知曲线，则下列正确的有（    ） A．若，则曲线的离心率为 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则为双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是圆，其半径为 【答案】ACD 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断. 【详解】对于选项A：若，则C为双曲线，，故A正确； 对于选项B：若，则是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误； 对于选项C：若，则为双曲线，其渐近线方程为，即，故C正确； 对于选项D：若，则是圆,半径为，故D正确. 故选：ACD. 14．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知实数满足方程，则下列命题是真命题的是（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】BCD 【分析】设，由直线与圆有公共点，从而求得最值判断AB；设，由直线与圆有公共点，可求的最小值判断C；，表示上的点与之间的距离，求得最大值判断D. 【详解】由，可得圆心，半径为， 对于AB：设，由直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的最大值是，的最小值是，故A错误，B正确； 对于C：设，可得， 由直线与圆有公共点，可得， 解得，所以的最小值是，故C正确； 对于D：因为表示上的点与之间的距离， 最大距离为点与圆心的距离加半径2，又， 所以的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：转化思想是数学的常用思想方法，本题把求的范围问题转化为直线与圆的交点问题，从而求得最值就是转化思想的应用. 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则 .（写出满足条件的一个的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据动点轨迹定义求出轨迹方程，依题意得出两圆有公共点，由两圆位置关系的判定方法可求得的取值范围，在其中任意取值即得. 【详解】 不妨设点，因满足，则，化简得：， 即点的轨迹方程为，依题意点又在圆上, 如图，两圆必有公共点，须使，（由图知圆C半径），而， 解得：.故可取区间内的任何数. 故答案为：3（答案不唯一） 16．（22-23高二上·云南楚雄·期末）过直线：上一点向圆：作切线，切点为，则 ；圆关于直线对称的圆的标准方程为 . 【答案】 4 【分析】利用勾股定理即可求出切线长，求出圆心关于直线的对称点，结合半径一样即可求出圆的标准方程 【详解】圆：即，圆心，半径为2，则圆心到直线的距离， 又，所以当时，. 设圆心关于直线对称的点为，则 解得即，半径为2， 故圆关于直线对称的圆的标准方程为. 故答案为：4； 17．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知圆经过点，，半径为5． (1)求圆的标准方程； (2)当位于轴右侧时，若直线经过点，且与圆交于，两点，且，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知：圆心在直线上，设，根据半径可得，即可得方程； （2）由题意可知圆心为，且圆心到直线的距离，分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离运算求解. 【详解】（1）由题意可知：圆心在直线上，半径， 设，因为，解得， 所以圆的标准方程为. （2）若圆心位于轴右侧，则，圆的标准方程为， 由题意可知：圆心到直线的距离， 又因为直线经过点， 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 此时直线； 综上所述：的方程为或. 18．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线垂直关系求出PM直线方程，与直线方程联立求得圆心，再求出半径即可得解； （2）先判断直线与圆相离，然后利用对称性得四边形面积为，结合垂线段最短利用点线距离求解即可. 【详解】（1）设圆心坐标为， 则设过点的半径所在的直线为，代入，可得， 由解得所以. 所以， 所以圆的方程为. （2）因为到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 由题意四边形面积为， 可得，当与直线垂直时，最小，四边形面积最小. 由 .所以四边形面积的最小值为. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 19．（24-25高三上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于轴的对称点，方法一、利用直线与圆的关系计算圆心到反射光线的距离即可；方法二、利用反射光线与圆相切作临近值，借助两点距离公式、正切的和差角公式计算反射光线的斜率范围，再利用截距的意义计算即可. 【详解】方法一：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点． 又，所以直线的方程为，即． 由题知圆的圆心为，半径为1， 直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于1， 所以，解得． 方法二：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点， 临界情况为直线与圆相切． 设切点为，令，易得， 所以． 因为直线的斜率为， 所以直线的斜率． 易得直线的方程为．所以．    故选：A 【点睛】思路点睛：对于光线的反射问题一般作对称点由入射光线得出反射光线所在直线，再利用直线与圆的位置关系计算即可，法二、计算反射光线与圆相切时的斜率从而得出反射光线的斜率范围，再结合直线的截距意义计算，计算略显复杂，但也是一种很好的方向. 20．（23-24高二上·云南昆明·期末）直线与曲线有公共点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的截距、直线与圆的位置关系及数形结合的思想计算即可. 【详解】 由，即曲线为以原点为圆心的半圆， 如图所示，因为直线与曲线有公共点， 而，即为直线在纵轴上的截距， 易知当直线与相切时纵截距最大， 即，所以； 过时纵截距最小，即，所以. 故选：B 21．（23-24高二上·云南大理·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】易知直线过定点且该点在圆内，即可知直线与圆的位置关系为相交. 【详解】将直线整理变形可得， 令，解得， 即直线恒过定点， 显然，即定点在圆内， 可知直线与圆一定相交. 故选：D 22．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知直线：，圆：，下列结论错误的是（    ） A．直线的纵截距为 B．上的点到直线的最大距离为5 C．上的点到点的最小距离为 D．上恰有三个点到直线的距离为2 【答案】B 【分析】根据直线方程的性质、直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，依次判断选项即可. 【详解】对选项A，直线：，纵截距为，故A正确. 对选项B，圆：，圆心，半径， 上的点到直线的最大距离为，故B错误. 对选项C，因为，所以点在圆外， 所以上的点到点的最小距离为， 故C正确. 对选项D，圆心到直线：的距离， 因为，所以上恰有三个点到直线的距离为2，故D正确. 故选：B 23．（20-21高二上·云南昆明·期末）若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意分析得知：直线经过圆心，求出b；由直线与直线垂直，求出k； 【详解】∵直线与圆的两个交点关于直线对称， ∴直线经过圆心（-2,0）且直线与直线垂直， ∴解得： 故选：B 【点睛】(1)坐标法是解析几何的基本方法； (2)解析几何归根结底还是几何，寻找合适的几何关系可以简化运算． 24．（20-21高二上·云南昭通·期末）直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】由圆的方程求得圆心坐标，再把圆心坐标代入直线方程，即可求得a值． 【详解】由，得， 则圆心坐标为， 又直线是圆的一条对称轴， 由圆的对称性可知，该圆的圆心在直线上， 则， 故选：B． 25．（20-21高二上·云南玉溪·期末）已知直线l：x+2y-3=0与圆交于A､B两点，求线段AB的中垂线方程（    ） A．2x-y-2=0 B．2x-y-4=0 C． D． 【答案】B 【解析】由圆的几何性质可得线段的中垂线与直线垂直，并且过圆心，求直线方程. 【详解】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心， 所以，即，所以. 故选：B 26．（24-25高二上·云南文山·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相离 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】根据两圆圆心距与半径间的关系判断各项中圆与圆的位置关系，结合点线距离与半径的大小关系判断直线与圆的关系，相交情况下两圆方程相减求得公共弦所在直线的方程. 【详解】由题可知圆心，半径，圆心，半径； 故两圆圆心距为， 对于A，当时，，此时两圆相离，故圆与圆有4条公切线，即A错误； 对于B，当时，是圆的切线， 又圆心到的距离为，即圆与相切， 所以是圆与圆的一条公切线，即B正确； 对于C，当时，，此时圆与圆相离，即C正确； 对于D，当时，，此时圆与圆相交， 将两圆方程相减可得，即圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D错误. 故选：BC 27．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】BCD 【分析】先确定出直线所过的定点以及圆心和半径，根据条件分析出，由此确定出所满足的不等关系，则的取值范围可求，故的可取值可确定. 【详解】因为即， 令，解得，所以过定点， 圆，圆心为，半径为， 由切线性质可知： 当时，，， 因为存在使得，所以， 记到的距离为， 又因为，当最大时，此时， 所以，所以，所以，解得， 又因为，所以可取， 故选：BCD.    【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的综合运用，涉及圆的切线相关问题，着重考查学生分析转化问题的能力，难度较大.解答问题的关键在于分析的取值范围并将其正弦值与圆心到直线的距离联系在一起，从而求出参数的可取值. 28．（21-22高二上·云南玉溪·期末）已知直线，圆C的方程则下列说法正确的是（    ） A．对于任意的，直线过定点 B．存在m，使得直线与圆C相切 C．存在m，使得直线与圆C相交时弦长为4 D．存在m，使得直线与圆C相交时弦长为 【答案】AD 【分析】由可求直线过的定点，再根据定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，并利用弦长、半径、弦心距的几何关系求最短弦长，即可判断各选项的正误. 【详解】当时，有，故对于任意的，直线过定点，A正确； 又且，故到圆心的距离为， 所以直线与圆C相交，且相交弦最短为，故B、C错误，D正确. 故选：AD 29．（22-23高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是 【答案】（或，，，只需写出一个答案即可） 【分析】根据直线与圆，以及双曲线相切，可根据点到直线的距离以及判别式进行联立方程求解满足题意的直线. 【详解】显然直线存在斜率，设直线：， 联立方程组 , 得 因为直线与曲线相切，所以， 即. 因为直线与单位圆相切，所以 联立方程组 解得， 故直线的方程可能是，，， 故答案为： 30．（19-20高二上·云南曲靖·期末）已知直线平分圆：的面积，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用直线平分圆：的面积得到，对利用基本不等式中“1的代换”即可求出最小值. 【详解】把圆：化为标准方程：，圆心为（1,1）. 因为直线平分圆：的面积， 所以直线经过圆心，即， 所以 当且仅当时取等号. 即的最小值为4. 故答案为：4 31．（20-21高二上·云南临沧·期末）圆上的点到直线的最大距离是 . 【答案】5 【分析】先求解出圆心坐标，计算圆心到直线的距离进而求解出圆上的点到到直线距离的最大值. 【详解】由题意可得，圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径 ∴圆心到直线的距离，从而所求最大距离为： 故答案为：5. 32．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知椭圆的右焦点为，且，直线与椭圆相交于A、B，A为上方的交点. (1)求椭圆的方程； (2)过点A作两条互相垂直的直线，分别于椭圆相交于P，Q，证明：直线PQ过定点； (3)在中，过点A作PQ的垂线，垂足为H，是否存在H，使H到左顶点的距离最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)直线恒过定点. (3)所以存在点满足题意，且H到左顶点的最小距离为. 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求解即可； （2）先求出，设直线的方程为：，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用，可得的等量关系，再将其代入直线的方程，即可求出直线PQ过的定点； （3）结合（2）中所得，根据，可知点在以为直径的圆上，再求最小值即可. 【详解】（1）由题意可得：，即椭圆. （2）证明：把代入椭圆可得：， 因为A为上方的交点，所以， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，联立， ，， 因为，所以， 所以， 整理得：， 所以， 化简可得：， 即，或； 当时，直线恒过A点，不合题意； 当时，直线， 恒过定点， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为：， 代入，解得：， 设， ， 所以 则，解得：（舍去）或， 所以直线的斜率不存在时，直线恒过定点. 综上所述：直线恒过定点. （3）设直线恒过定点，由题意可得：，， 则点在以为直径的圆上，其中圆心为的中点， 半径，所以点的轨迹方程为， 设椭圆的左顶点为，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以存在点满足题意，且H到左顶点的最小距离为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 33．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 34．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上，直线． (1)求圆的方程； (2)证明：直线与圆相交． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法，根据已知条件列出方程组即可求解. （2）先根据直线方程得出直线过定点；再根据两点间距离公式可判断点在圆内即可证明直线与圆相交. 【详解】（1）方法一：设所求圆的标准方程为， 由已知条件得：，解得：， 所以圆的方程为． 方法二：因为点为圆心，点在直线上， 则可设. 所以，即，解得， 所以圆心，半径长， 所以圆的方程为． 方法三：由已知可得线段的中点坐标为，， 所以弦的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线方程为， 则圆心是直线与的交点. 由得：， 即圆心坐标为，半径长， 所以圆的方程为. （2）证明： 方法一：因为，即 所以由直线的方程可知：直线恒过定点， 又因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内部，即直线与圆相交． 方法二：由直线， 可得圆心到的距离. 因为， 所以， 即， 所以直线与圆相交． 35．（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆． (1)过点作圆的切线，求切线的斜率 (2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线方程，利用点到直线的距离列方程求解； （2）求出圆心到直线距离即可得以为底边时，高的最大值，然后求出，进而可得面积最大值. 【详解】（1）显然当切线的斜率不存在时，此时直线方程为，圆心到该直线的距离为7，不等于半径，则此时不相切， 则切线的斜率存在，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得； （2）圆心到直线的距离， ， ∴三角形面积的最大值为：． 36．（22-23高二上·云南楚雄·期末）已知椭圆：的右焦点为，为椭圆上一动点，的最大值为3，最小值为1，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. (1)若，求直线的斜率. (2)当直线的斜率存在时，试判断轴上是否存在一点，使.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）直线方程与椭圆标准方程联立消，由韦达定理得到，，又，代入化简，即可得到本题答案； （2）若，则，转化并逐步化简，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由题意知，解得，. 因为，所以， 所以椭圆的方程为， 易知点坐标为，设直线的方程为，，， 联立方程组，得， 则，， 因为， 所以， 化简得，，得， 所以直线的斜率为 （2）解：假设轴上存在点，使，则， 因为， 化简得，， 所以，得， 因为直线的斜率存在，所以，所以， 故存在点，使. 【点睛】关键点点睛：本题中（1）问中，主要联立直线方程和椭圆标准方程消，得到，然后把，转化为，即可求解，（2）问中，的等价条件为，由此得到方程，转化并逐步化简，即可求解;考查了学生的转化和运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题. 37．（22-23高二上·云南·期末）已知圆M的圆心为，它过点，且与直线相切． (1)求圆M的标准方程； (2)若过点且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若弦AB的长为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆M的标准方程为：，由圆心M到直线的距离，解方程即可得出答案. （2）设直线l的方程为，圆心M到直线l的距离为，则，解方程即可得出答案. 【详解】（1）由题意，设圆M的标准方程为：， 则圆心M到直线的距离为， 由题意得． 解得或（舍去）． 所以圆M的方程为． （2）设直线l的方程为，则圆心M到直线l的距离为． ，解得． 则直线的方程为． 38．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知圆：，直线：. (1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系； (2)当时，直线与圆交于不同的两点A，B，求. 【答案】(1)圆的圆心坐标为，半径为，直线与圆相交 (2) 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线所过的定点，判断出定点在圆内，由此判断直线与圆的位置关系； （2）求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求弦长. 【详解】（1）整理得：， 故圆的圆心坐标为，半径为， 直线变形为， 故直线过定点， 因为，故在圆内， 所以直线与圆相交； （2）当时，直线的方程为 因为圆心到直线的距离为： 所以，. 圆与圆的位置关系 地 城 考点03 39．（24-25高二上·云南昆明·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】先判断两圆外离，根据圆M与圆及圆都外切，可得，再根据双曲线的定义可得答案. 【详解】设所求圆的半径为，圆心为， 圆的圆心，半径， 圆化为标准方程得，则圆心，半径， 因为，所以两圆相离， 因为圆M与圆及圆都外切 所以，两式相减得， 所以圆心在双曲线的一支上. 故选：D. 40．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知圆，圆，则圆与圆的公切线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【分析】根据两圆的方程求出圆心和半径，判断两圆的位置关系，即得公切线条数. 【详解】由可得，则其圆心为，半径为； 由可得其圆心为，半径为， 因，由可知两圆外离， 故圆与圆的公切线有4条. 故选：A. 41．（25-26高二上·云南昆明·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，然后求出圆心距，进而判断即可. 【详解】因为圆的圆心和半径为和2， 圆的圆心和半径为和3， 所以圆心距为. 所以两圆的位置关系是外切. 故选：D. 42．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 43．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知圆的圆心坐标为，则关于圆的说法正确的是（    ） A． B．圆与圆有且仅有2条公切线 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆在点处的切线方程为 【答案】AD 【分析】对于A，由圆心坐标列方程求出参数即可判断；对于B，判断两圆的位置关系即可；对于C，由点到直线的距离公式结合圆的弦长公式即可判断；对于B，发现点与点都在直线上，由此即可判断. 【详解】对于A，由题意圆即圆的圆心坐标为， 所以，解得，所以，故A正确； 对于B，由A可知的圆心、半径分别为， 圆的圆心、半径分别为， 所以圆心距满足，即两圆外切， 所以圆与圆有且仅有3条公切线，故B错误； 对于C，的圆心、半径分别为， 点到直线的距离为， 所以线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，易得点在圆上， 而点与点都在直线上，即该点处切线斜率为0， 所以圆在点处的切线方程为，故D正确. 故选：AD. 44．（22-23高二上·云南大理·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【分析】根据圆心距结合两圆半径可判断两圆的位置关系，故可判断D的正误，求出的最值后可判断AB的正误，利用公式可求连心线的斜率，故可判断C的正误. 【详解】根据题意，圆：，其圆心，半径， 圆：，即，其圆心，半径， 则圆心距，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确； 的最小值为，最大值为， 故A正确，B不正确； 对于C，圆心，圆心， 则两个圆心所在直线斜率，故C正确， 故选：AC. 45．（24-25高二上·云南昭通·期末）如图，已知半圆，圆，作圆与半圆，圆轴均相切，点，且.    (1)求的周长； (2)证明：为等比数列； (3)证明：对任意正整数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)利用两圆外切和内切的条件，表示出两圆的圆心距，即可求得三角形周长； (2)首先根据两圆外切和内切，用,和,表示圆心距，消去,后得到,的递推公式，代入得到与的关系,从而证明数列为等比数列； (3)利用第(2)小问的结论，求得的通项公式，利用分析法证明不等式. 【详解】（1）因为圆，圆与轴均相切，且圆的圆心坐标为， 所以圆的半径为，圆的半径为. 又圆，圆均与半圆相内切，圆与圆相外切， 所以. 所以的周长为. （2）证明：依题意，有， 得即 消去得， 整理，得， 两边同时减去，得. 依题意，易得，所以，即， 所以， 所以为等比数列，首项为1，公比为. （3）证明：由（2）得，. 令，则当时，. 要证，即证， 即证. 当时， （当且仅当时，等号成立） （当且仅当时，等号成立） . 所以， 得证. 【点睛】关键点点睛： 由圆和圆均与半圆相内切，且圆和圆相外切，有，消去,可处理各小问的问题. 46．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知圆和圆． (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)公共弦方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）根据圆的方程确定圆心、半径，由圆心距与半径和差的关系即可证； （2）两圆方程作差求公共弦方程，应用点线距离公式、几何法求公共弦的长. 【详解】（1）由题设，则， ，则， 所以，即圆和圆相交； （2）由（1）结论，将两圆方程作差得，即公共弦方程为， 又到的距离， 所以公共弦的长为. 47．（21-22高二上·云南曲靖·期末）已知点是平面内的一个动点，且，点为坐标原点． (1)求动点的轨迹方程； (2)圆与只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据，列出方程，即可求解； （2）由圆的方程，求得，且圆心，半径，根据圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 又由圆心，半径为， 【详解】（1）解：设，则， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. （2）解：由圆，可得为圆， 则满足，解得，且圆心，半径， 又由圆心，半径为， 因为两圆内切，可得，即，解得：或 且满足，所以或. 地 城 考点04 弦长相关问题 48．（23-24高二下·云南·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知圆心，半径，由几何法求弦长，可知为等边三角形，然后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由题可知圆心，半径，点到直线的距离， 则，所以为等边三角形， 故． 故选：C 49．（23-24高二上·云南昆明·期末）经过点的直线与圆相交于两点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断点在圆内部，再利用弦长公式即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 所以点到圆心的距离为，则点在圆内部， 记圆心到直线的距离为，则， 当最大，即时，弦长最小， 此时 . 故选：C． 50．（22-23高二上·云南昆明·期末）直线与圆交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆方程求圆心坐标和半径，利用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合弦长公式求. 【详解】方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以， 故选：D. 51．（21-22高二下·云南楚雄·期末）已知圆：，直线过点与圆交于A，B两点，若点为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而得，再求直线的方程即可. 【详解】解：由已知得，所以. 因为为弦的中点，所以，所以， 所以，直线的方程为，即. 故选：B 52．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所求弦长为. 故选：D 53．（24-25高二上·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离，可求出点到直线距离的最大值，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则， 点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为. 故选：A. 54．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题计算可得直线过定点，则当时，有最小，借助垂径定理计算即可得. 【详解】直线可化为：，令，，则，， 所以直线过定点，设， 由圆可得圆心，半径， 则，则当时，最小， 此时. 故选：B. 55．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线恒过点，过点作直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先得到直线l恒过点，圆C的圆心坐标为，然后由时，最小求解. 【详解】解：由题意得：直线恒过点， 圆的圆心坐标为， ， 当时，最小，， 故选：B 56．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 【答案】ACD 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 57．（23-24高二下·云南保山·期末）平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 【答案】ACD 【分析】对于A：设点，结合题意分析求解即可；对于B：分析可知点在圆内，结合圆的性质分析求解；对于C：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D：分析可知当时，取到最小值，四边形面积取最小值，运算求解即可. 【详解】对于选项A：设点， 因为，整理可得，故A正确； 对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是， 且，可知点在圆内， 过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点， 根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误； 对于选项C：圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C正确； 对于选项D：因为四边形面积， 由数形分析可知：当时，取到最小值， 所以四边形面积取最小值，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：对于BD：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值. 58．（21-22高二上·云南曲靖·期末）直线与圆相交于两点，则弦的长度可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】CD 【分析】易知直线恒过定点，分别求出过点的弦长的最大值和最小值，即可得出结论. 【详解】将直线整理可得， 令，可得，即直线恒过定点； 易知圆的圆心为，半径， 定点到圆心的距离， 当直线与垂直时，弦的长度最小， 当直线过圆心时，弦的长度最大， 所以可得，可知CD符合题意. 故选：CD 59．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合圆的性质可得点到渐近线的距离为1，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆C：的圆心，半径，由，得， 则点到直线的距离为1，双曲线E：的渐近线为， 于是，解得，所以E的焦距为. 故答案为：    60．（21-22高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 . 【答案】或2 【分析】由圆的方程有圆心，半径为，讨论双曲线的焦点分别在x或y轴上对应的渐近线方程，根据已知及弦长与半径、弦心距的几何关系得到双曲线参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为， 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 若双曲线为时，渐近线为且， 所以圆心到双曲线渐近线的距离为， 由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又， 所以，故. 综上，双曲线的离心率为或2. 故答案为：或2. 61．（21-22高二上·云南大理·阶段练习）已知圆C的圆心在上，点在圆C上，且圆C与直线相切. (1)求圆C的标准方程； (2)过点A和点的直线l交圆C于A，E两点，求弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可设圆的标准方程为，由已知得，解方程即可求解； （2）由两点求出直线l方程，结合点到直线距离公式求出弦心距，结合勾股定理可求出. 【详解】（1）设圆的标准方程为，由题意得，解得，所以圆的标准方程为； （2）直线l过点和点，直线的斜率为， 直线l为，即. 设圆心到直线的距离为， ∵， ， ∴弦的长为. 62．（18-19高二上·云南昆明·期末）已知点M（2，0），圆C：x2+y2+4x=0. （1）求直线3x+4y+1=0与圆C：x2+y2+4x=0相交所得的弦长|MN|； （2）过点M的直线与圆C交于A，B两个不同的点，求弦AB的中点P的轨迹方程. 【答案】（1）2；（2）x2+y2=4，（x<﹣1）. 【分析】（1）将圆的方程转化为标准形式，求出圆心与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求出弦长|MN|=22. （2）当M与P不重合时，连结CP，则CP⊥MP，从而可得|CP|2+|MP|2=|CM|2，设P（x，y），利用两点间的距离公式列方程即可求解. 【详解】（1）圆C：x2+y2+4x=0 可得圆C：（x+2）2+y2=4，圆心坐标（﹣2，0）半径为2， 圆的圆心到直线的距离为：d1， ∴直线3x+4y+1=0与圆C：x2+y2+4x=0相交所得的弦长|MN|=22； （2）解：当M与P不重合时，连结CP，则CP⊥MP， ∴|CP|2+|MP|2=|CM|2， 设P（x，y），则（x+2）2+y2+（x﹣2）2+y2=16， 化简得：x2+y2=4（x<﹣1）， 故弦AB中点P的轨迹方程是x2+y2=4，（x<﹣1）. 【点睛】本题考查了直线与圆相交求弦长、求动点的轨迹方程，属于基础题. 63．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 64．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点列式计算求解； （2）设直线方程分斜率存在及斜率不存在，分别再应用点到直线距离求解即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为. 圆经过点和，且圆心在直线：上， ，解得，，， 圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设，圆心到直线的距离为， 根据点到直线的距离公式得， 解得：，即直线的方程为； 当直线斜率不存在时，，满足条件. 故直线的方程为或. 65．（24-25高二上·云南·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角，利用公式，可得到点.现将双曲线绕原点按逆时针旋转得到双曲线. (1)求双曲线的标准方程； (2)以双曲线的右顶点为圆心作半径为1的圆，直线与圆相交于，两点，求； (3)在（2）的条件下，是圆上的动点，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，设曲线上任意一点绕原点按逆时针旋转后的坐标为，列式运算得解； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，求得弦长； （3）根据题意，的面积范围，即求点到直线的距离范围， 利用圆的性质求解. 【详解】（1）设曲线上任意一点绕原点按逆时针旋转后的坐标为， 则即 得，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1），可得圆心到直线的距离，则. （3）圆心到直线的距离， 点到直线距离的最大值为，最小值为， 所以面积的最大值为，最小值为. 故面积的取值范围为. 66．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知圆过两点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设，过点作两条互相垂直的直线和直线，交圆于、两点，交圆于、两点，求的最小值和四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）设，表示出圆C的标准方程，利用待定系数法计算即可求解； （2）当直线 时最小，利用几何法求弦长即可；如图，先证，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，设，则圆C的标准方程为， 又圆C过点， 所以，解得， 故圆C的标准方程为； （2）由（1）知，连接，则， 当直线 时，最小，此时， 所以的最小值为； 如图，    取弦长的中点，连接，， 则四边形为矩形，， ， 又，所以，， 当且仅当时，等号成立. 所以四边形的面积为， 即四边形面积的最大值为6. 地 城 考点05 切线相关问题 67．（21-22高二下·云南玉溪·期末）已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线经过点，且与圆相切可知，再使用点斜式即可. 【详解】直线经过点，且与圆相切，则, 故直线的方程为，即. 故选：A. 68．（24-25高二下·云南·开学考试）过点作的切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出和的长以及夹角即可求解数量积. 【详解】由题可知，，， 则， 故 故选：B. 69．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）过点作圆的切线，则的斜率为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，化简得，解得或，所以的斜率为0或. 故选：C. 70．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】设出双曲线右焦点，连接，利用双曲线的定义和中位线进行解题. 【详解】依题意，双曲线实半轴长，虚半轴长，令半焦距为c， 设是双曲线的右焦点，连接， 由分别为的中点，得，由双曲线定义，得， 由切圆于点，得， 所以. 故选：D 71．（23-24高二上·云南昆明·月考）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B 72．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知椭圆：（）的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆：上任意一点，的最小值为2，则下列结论正确的是（   ） A． B．直线与椭圆相交于，两点，则 C．过作圆切线的斜率为 D．动点到点的距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】数形结合即可判断A；联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求解判断B；先设切线方程，再由圆心到且线距离等于圆的半径即可求解判断C；设点P坐标，由代数法结合二次函数性质即可求解判断D. 【详解】如图，由图可知的最小值为，故A正确； 由椭圆：（）得， 所以椭圆：，联立， 则，设， 则， 所以 ，故B正确； 由图可知过作圆切线，切线斜率存在， 设切线方程为即， 则点到切线距离为，故C错误；    而点P在椭圆上，则可设， 则 ， 即当时，动点P到点的距离的最大值为，故D正确. 故选：ABD 73．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当直线与圆相切时，切线方程是 C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D．圆上的一点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【分析】将直线方程整理为，由，可得直线恒过的定点的坐标，判断出A的对错；由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，可得参数a的值，即求出直线的方程，判断出B的对错；当时，可得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，可得圆上有四个点到直线的距离为，判断出C的对错；直线恒过的定点，当时，则圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，进而可得圆上的点到直线的距离的最大值为，可判断出D的对错. 【详解】对于A，将直线转化为， 由，解得，直线恒过定点，A正确； 对于B，圆，可得圆心，半径， 由直线与圆相切，可得圆心C到直线l的距离， 即，解得， 故切线方程为，即，B正确； 对于C，当时，直线， 点到此直线距离为， 因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C错误； 对于D，因为直线恒过定点，可得， 当时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确. 故选：ABD. 74．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离即可判断AB，根据圆上切线特点即可判断C，再根据切线长的计算公式可得最值，即可判断D. 【详解】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 75．（24-25高二下·云南昆明·月考）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 76．（25-26高二上·云南玉溪·月考）过点作圆：的切线，则切线方程为 ． 【答案】 【分析】易得点在圆上，则切线必垂直于切点与圆心的连线，进而求解即可. 【详解】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 77．（23-24高二上·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【分析】利用切线长公式求出切线长度；求出以为直径的圆的方程，两圆相减得到AB直线方程 【详解】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 78．（22-23高二上·云南昆明·期末）圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】因为点在圆上，所以过点的切线和圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程. 【详解】设圆的圆心 ，点 将代入圆的方程成立，所以在圆上，与切线垂直， 所以切线斜率， 切线方程为，即. 故答案为： 79．（23-24高二上·云南昆明·期末）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)选择见解析； (2) 【分析】（1）设圆方程为，利用待定系数法即可得解； （2）考虑切线斜率存在和不存在两种情况，利用直线与圆相切的性质得到相应方程，解之即可得解. 【详解】（1）若选①： 依题意，设圆方程为，，， 则，解得， 所以圆方程为，标准方程为． 若选②： 依题意，设圆方程为，， 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆方程为，标准方程为. （2）因为点是圆上的一点，故切线只有一条， 又圆 的圆心为，半径为， 当切线l的斜率不存在时，其方程为，显然不符合题意； 当切线l的斜率存在时，设切线，即． 则圆心到切线的距离，解得， 所以切线l的方程为，即. 80．（21-22高二上·云南临沧·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线：上． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据题意设圆的一般方程，代入求解即可； （2）根据题意，分切线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用点到直线的距离等于半径可求出切线的斜率，进而求出切线的方程. 【详解】（1）设圆的方程为（）， 圆经过，两点， ①， ②， 又圆心在直线上，故③， 由①②③解得，，， 故圆的方程为； （2）由（1）可知圆：， 设过的圆的切线为，当的斜率不存在时，不是圆的切线； 当的斜率存在时，设所求切线方程为，即， 圆心到切线的距离， 整理得：， 解得或， 即切线方程为或. 81．（21-22高二上·云南昭通·期末）已知圆的半径为，圆心在直线上，点在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)若原点在圆内，求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先设出圆的标准方程，利用点在圆上和圆心在直线上得到圆心坐标的方程组，进而求出圆的标准方程； （2）先利用原点在圆内求出圆的方程，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径进行求解. 【详解】（1）解：设圆的标准方程为， 由已知得， 解得或， 故圆的方程为或. （2）解：因为， ，且原点在圆内， 故圆的方程为， 则圆心为，半径为， 设切线为，即， 则，解得或， 故切线为或， 即或即为所求. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $